人教版九年級上冊數(shù)學(xué) 21.3 實際問題與一元二次方程 教案

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1、教學(xué)課題 21.3實際問題與一元二次方程 教學(xué)目標(biāo) 1. 知識與技能：學(xué)會列一元二次方程解簡單應(yīng)用題。 2. 過程與方法：通過建立方程模型解決實際應(yīng)用問題。 3. 情感態(tài)度與價值觀 ：進一步培養(yǎng)學(xué)生化實際問題為數(shù)學(xué)問題的能力和分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識解決實際問題。 教學(xué)重點與難點 1、 重點 列一元二次方程解應(yīng)用題 2、 難點 找相等關(guān)系列方程 教學(xué)過程 知識點一： 1、列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟: 和列一元一次方程解應(yīng)用題一樣，列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟是： “審、設(shè)、列、解、答”． (1)“審”指讀懂題目、審清題意，明確已知和

2、未知，以及它們之間的數(shù)量關(guān)系．這一步是解決問題的基礎(chǔ)； (2)“設(shè)”是指設(shè)元，設(shè)元分直接設(shè)元和間接設(shè)元，所謂直接設(shè)元就是問什么設(shè)什么，間接設(shè)元雖然所設(shè)未知數(shù)不是我們所要求的，但由于對列方程有利，因此間接設(shè)元也十分重要．恰當(dāng)靈活設(shè)元直接影響著列方程與解方程的難易； (3)“列”是列方程，這是非常重要的步驟，列方程就是找出題目中的等量關(guān)系，再根據(jù)這個相等關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式，即方程．找出相等關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵； (4)“解”就是求出所列方程的解； (5)“答”就是書寫答案，應(yīng)注意的是一元二次方程的解，有可能不符合題意，如線段的長度不能為負(fù)數(shù)，降低率不能大于100%等等．因此，解

3、出方程的根后，一定要進行檢驗． 2、列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵 (1)審題是設(shè)未知數(shù)、列方程的基礎(chǔ)，所謂審題，就是要善于理解題意，弄清題中的已知量和未知數(shù)，分清它們之間的數(shù)量關(guān)系，尋求隱含的相等關(guān)系； (2)設(shè)未知數(shù)分直接設(shè)未知數(shù)和間接設(shè)未知數(shù)，這就需根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系正確選擇設(shè)未知數(shù)的方法和正確地設(shè)出未知數(shù)． ★列方程解應(yīng)用題應(yīng)注意： (1)要充分利用題設(shè)中的已知條件，善于分析題中隱含的條件，挖掘其隱含關(guān)系； (2)由于一元二次方程通常有兩個根，為此要根據(jù)題意對兩根加以檢驗．即判斷或確定方程的根與實際背景和題意是否相符，并將不符合題意和實際意義的 知識點二 1、數(shù)與數(shù)字的關(guān)系

4、 兩位數(shù)=(十位數(shù)字)×10＋個位數(shù)字 三位數(shù)=(百位數(shù)字)×100＋(十位數(shù)字)×10＋個位數(shù)字 2、翻一番 翻一番即表示為原量的2倍，翻兩番即表示為原量的4倍． 3、增長率問題 (1)增長率問題的有關(guān)公式： 增長數(shù)=基數(shù)×增長率　　　　實際數(shù)=基數(shù)＋增長數(shù) (2)兩次增長，且增長率相等的問題的基本等量關(guān)系式為： 　　　　原來的×(1＋增長率)增長期數(shù)=后來的 　說明：(1)上述相等關(guān)系僅適用增長率相同的情形； 　(2)如果是下降率，則上述關(guān)系式為：　　　原來的×(1－增長率)下降期數(shù)=后來的 例1：兩年前生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是5000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成

5、本是6000元,隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步,現(xiàn)在生產(chǎn) 1噸甲種藥品的成本是3000元,生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大? 分析:甲種藥品成本的年平均下降額為 (5000-3000)÷2=1000(元) 乙種藥品成本的年平均下降額為 (6000-3600)÷2=1200(元) 乙種藥品成本的年平均下降額較大.但是,年平均下降額(元)不等同于年平均下降率 解:設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x,則一年后甲種藥品成本為5000(1-x)元,兩年后甲種藥品成本為 5000(1-x)2 元,依題意得

6、 5000（1-x）2=3000 解方程,得 答:甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5%. 例2．某人將2000元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率． 分析：設(shè)這種存款方式的年利率為x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就變?yōu)?000+2000x·80%，其它依此類推． 解：設(shè)這種存款方式的年利率為x 則：1000+2000x·80%+（1000+20

7、00x·8%）x·80%=1320 整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0 解得：x1=-2（不符，舍去），x2==0.125=12.5% 答：所求的年利率是12．5%． 例3．某林場計劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？ （2）如果計劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？ 分析：因為渠深最小，為了便于計算，不妨設(shè)渠深為xm，則上口寬為x+2，渠底為x+0.4，那么，根據(jù)

8、梯形的面積公式便可建模． 解：（1）設(shè)渠深為xm 則渠底為（x+0.4）m，上口寬為（x+2）m 依題意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6 整理，得：5x2+6x-8=0 解得：x1==0.8m，x2=-2（舍） ∴上口寬為2.8m，渠底為1.2m． （2）=25天 答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道． 例4．如圖，要設(shè)計一本書的封面，封面長27cm，寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬

9、，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？ 思考： (1)本體中有哪些數(shù)量關(guān)系？ （2）正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形如何理解？ （3）如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？ 老師點評：依據(jù)題意知：中央矩形的長寬之比等于封面的長寬之比＝9：7，由此可以判定：上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意，得：中央矩形的長為（27-18x）cm，寬為（21-14x）cm． 因為四周的彩色邊襯所點面積是封面面積的，則中央矩形的面積是封面面積的．

10、 所以（27-18x）（21-14x）=×27×21 整理，得：16x2-48x+9=0 解方程，得：x=， x1≈2.8cm，x2≈0.2 所以：9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm 因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm． 分析:這本書的長寬之比是9:7,依題知正中央的矩形兩邊之比也為9:7 例5 某輛汽車在公路上行駛，它行駛的路程s（m）和時間t（s）之間的關(guān)系為：s=10t+3t2，那么行駛200m需要多長時間? 分析：這是一個加速運運，根據(jù)已知的路程求時間，因此，只

11、要把s=200代入求關(guān)系t的一元二次方程即可． 解：當(dāng)s=200時，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0 解得t=（s） 答：行駛200m需s． 例6：某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價多少元? 老師點評：總利潤=每件平均利潤×總件數(shù)．設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價x元，則每件平均利潤應(yīng)是（0.3-x）元，總件數(shù)應(yīng)是（5

12、00+×100） 解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價x元 則（0.3-x）（500+）=120 解得：x=0.1 答：每張賀年卡應(yīng)降價0.1元． 例7 有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？ 提出問題： （1）第一輪傳染了多少個人？ （2）第一輪后共有多少個人患了流感？ （3）第二輪傳染了多少個人？ （4）第二輪后共有多少個人患了流感？ 師生活動：出示問題，學(xué)生先獨立思考，嘗試完成．了解學(xué)生完成的情況，組織各小組展開討論．教師巡視，獲取小組討論的情況，必要時給予小組點撥和幫助． 解：設(shè)每輪

13、傳染中平均一個人傳染了x個人，根據(jù)題意列方程，得 1＋x＋x(1＋x)=121，，即． 解方程，得． 經(jīng)檢驗：不符合題意，舍去． ∴x=10． 答：每輪傳染中平均一個人傳染了10個人． 思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪傳染后共有多少個人患流感？ 121＋121×10=1 331(人)． 故按照這樣的傳染速度，三輪傳染后共有1 331個人患流感． 例8.兩個相鄰偶數(shù)的積是168，求這兩個偶數(shù)？ 解：設(shè)一個偶數(shù)為2x，另一個偶數(shù)為(2x+2), 則 2x(2x+2)=168 解方程，得 x1=-7（舍去） x2 =6 答： 這兩個偶數(shù)時 12和 14

14、例9.一個直角三角形的兩條直角邊的和是14，面積是24，求兩條直角邊的長. 解：設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長分別為 a , b a + b=14 a=14-b s三角形= 12 a . b 12 (14-b)b=24 解方程， 得 b1=6 b2 =8 答：直角三角形的兩條直角邊的長分別為 6 ，8 課后練習(xí) 1．上海甲商場7月份的利潤為100萬元，9月份的利潤為121萬元，乙商場7月份的利潤為200萬元，9月份的利潤為288萬元，那么哪個商場利潤的年平均

15、上升率較大？ 2． 某電腦公司2015年的各項經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額為200萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共950萬元．如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個增長率． 3．如圖，某中學(xué)為方便師生活動，準(zhǔn)備在長30米、寬20米的矩形草坪上修筑兩橫兩縱四條小路，橫、縱路的寬度之比為3︰2．若要使余下的草坪面積是原來草坪面積的，則路寬分別為多少？ 4．明德小學(xué)為了美化校園，準(zhǔn)備在一塊長32米，寬20米的長方形場地上修筑兩條寬度相同的道路，余下部分作草坪．現(xiàn)在有一位學(xué)生設(shè)計了如圖所示的方案，求圖中道路的寬是多少米時，草坪的面積

16、為540平方米？ 5、某林場計劃修一條長750 m，橫斷面為等腰梯形的渠道，橫斷面面積為1.6 m2，上口寬比渠深多2 m，渠底寬比渠深多0.4 m．渠道的上口寬與渠底寬各是多少米？ 6.參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場，共有多少個隊參加比賽？ 參考答案： 1．解：設(shè)甲商場的增長率為x． 根據(jù)題意列方程，得． 解得x1=－2.1（不合題意，應(yīng)舍去），x2=0.1=10％． 設(shè)乙商場的增長率為y． 根據(jù)題意列方程，得． 解得y1=－2.2（不合題意，應(yīng)舍去

17、），y2=0.2=20％． ∵10%＜20%， ∴乙商場利潤的年平均上升率較大． 2．解：設(shè)平均每月的增長率為x．根據(jù)題意列方程，得 200＋200(1＋x)＋200(1＋x)2=950． 整理，得x2＋3x－1.75=0． 解得x1=0.5=50％，x2=－3.5（不合題意，應(yīng)舍去）． 答：平均每月的增長率為50％． 3、師生活動：設(shè)橫路的寬為3x米，則縱路的寬為2x米．由題意，得 ． 解得（舍去）． 故橫路的寬為米，縱路的寬為米． 答：橫路的寬為米，縱路的寬為米． 4．解：設(shè)道路的寬為x米．根據(jù)題意列方程，得 (32－x)(20－x)=540． 解得（不合題意,應(yīng)舍去）． 答：道路寬為2米． 5．解：設(shè)渠深為x m，則渠底寬為(x＋0.4)m，上口寬為(x＋2)m． 根據(jù)題意列方程，得(x＋2＋x＋0.4)x=1.6． 整理，得5x2＋6x－8=0． 解得x1==0.8，x2=－2（不合題意，應(yīng)舍去）． 答：上口寬為2.8 m，渠底寬為1.2 m． 6、解：設(shè)共有x個隊參加比賽,則根據(jù)題意列方程，得 x(x-1)=90 解方程 ， 得x1=10 x2 =-9(舍去) 答：共有10個隊參加比賽. 15 / 15