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1、
第3節(jié) 全等三角形
(必考,1~2道,近5年每年1道,7~16分)
玩轉(zhuǎn)重慶10年中考真題(2008~2017年)
命題點(diǎn) (必考,多在解答題中涉及)
類型一 三角形全等的相關(guān)證明(2016,2015,A、B卷,2012,2011年考查)
與平行線有關(guān)
1. (2016重慶B卷19題7分)如圖,在△ABC和△CED中,AB∥CD,AB=CE,AC=CD.
求證:∠B=∠E.
第1題圖
2. (2016重慶A卷19題7分)如圖,點(diǎn)A、B、C、D在同一條直線上,CE∥DF,EC=BD,AC=FD.求證:AE=FB.
第2題圖
2、3. (2015重慶B卷20題7分)如圖,△ABC和△EFD分別在線段AE的兩側(cè),點(diǎn)C,D在線段AE上,AC=DE,AB∥EF,AB=EF.
求證:BC=FD.
第3題圖
含公共邊
4. (2015重慶A卷20題7分)如圖,在△ABD和△FEC中,點(diǎn)B,C,D,E在同一直線上,且AB=FE,BC=DE,∠B=∠E.
求證:∠ADB=∠FCE.
第4題圖
5. (2011重慶19題6分)如圖,點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上,點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè),且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.
求證:BC∥EF.
3、
第5題圖
含公共角(旋轉(zhuǎn)型)
6. (2012重慶18題6分)已知:如圖,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.
求證:BC=ED.
第6題圖
拓展訓(xùn)練
1. 如圖,已知AB⊥AC,AB=AC,DE過點(diǎn)A,且CD⊥DE,BE⊥DE,垂足分別為點(diǎn)D,E.
求證:CD=AE.
第1題圖
類型二 三角形全等的證明及計(jì)算(涉及輔助線)(2017,2014,2013,A、B卷,2008~2010年考查)
等腰三角形中的輔助線
7. (2014重慶B卷24題10分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC
4、=BC,E為AC邊的中點(diǎn),過點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長線于點(diǎn)D,CG平分∠ACB交BD于點(diǎn)G,F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn),連接CF,且∠ACF=∠CBG.
求證:(1)AF=CG;
(2)CF=2DE.
第7題圖
倍長中線
8. (2017重慶A卷24題10分)在△ABM中,∠ABM=45°,AM⊥BM,垂足為M.點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn),連接AC.
(1)如圖①,若AB=3,BC=5,求AC的長;
(2)如圖②,點(diǎn)D是線段AM上一點(diǎn),MD=MC,點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn),EC=AC,連接ED并延長交BC于點(diǎn)F,且點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn).求證:∠BDF=∠CEF.
5、
第8題圖
構(gòu)造直角三角形
9. (2017重慶B卷24題10分)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)E是AC上一點(diǎn),連接BE.
(1)如圖①,若AB=4,BE=5,求AE的長.
(2)如圖②,點(diǎn)D是線段BE延長線上一點(diǎn),過點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F,連接CD,CF.當(dāng)AF=DF時,求證:DC=BC.
第9題圖
拓展訓(xùn)練
2. 在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC.在等腰Rt△BDE中,∠BDE=90°,B
6、D=DE.連接AD,CD,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn).
(1)如圖①,當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)F重合時,若BD=,求CD的長;
(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)F恰好在BE上,AB=AD時,求證:BD=CD.
第2題圖
答案
1. 證明:∵AB∥CD,
∴∠BAC=∠ECD,(2分)
在△ABC和△CED中,,
∴△ABC≌△CED(SAS),(5分)
∴∠B=∠E.(7分)
2. 證明:∵CE∥DF,
∴∠ACE=∠FDB,(2分)
在△ACE和△FDB中,
∴△ACE≌△FDB(SAS),(5分)
∴AE=FB.(7分)
7、
3. 證明:∵AB∥EF,點(diǎn)C、D在線段AE上,
∴∠A=∠E,(3分)
∵AC=ED,AB=EF,
∴△ABC≌△EFD(SAS),(5分)
∴BC=FD.(7分)
4. 證明:∵BC=DE,
∴BC+CD=DE+CD,即BD=EC.(3分)
又∵∠B=∠E,AB=FE,
∴△ABD≌△FEC(SAS),(5分)
∴∠ADB=∠FCE.(7分)
5. 證明:∵AF=DC,
∴AF+FC=DC+FC,即AC=DF.
又∵AB=DE,∠A=∠D,
∴△ABC≌△DEF(SAS),(4分)
∴∠ACB=∠DFE,(5分)
∴BC∥EF.(6分)
6. 證明:∵∠
8、1=∠2,
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD,(1分)
即∠EAD=∠BAC,
在△EAD和△BAC中,,(2分)
∴△ABC≌△AED(ASA),(5分)
∴BC=ED.(6分)
拓展訓(xùn)練1 證明:∵AB⊥AC,CD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠BAC=∠D=∠E=90°,
∴∠CAD+∠BAE=90°,∠DCA+∠CAD=90°,
∴∠DCA=∠EAB,
在△ADC和△BEA中,,
∴△ADC≌△BEA(AAS).
∴CD=AE.
7. 證明:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=45°,
∵CG平分∠ACB,
∴∠BCG=∠ACB=45°,
∴
9、∠CAB=∠BCG,(2分)
在△ACF和△CBG中,,
∴△ACF≌△CBG(ASA),(4分)
∴AF=CG.(5分)
(2)如解圖,延長CG交AB于點(diǎn)H.
∵AC=BC, CG平分∠ACB,
∴CH⊥AB,且點(diǎn)H是AB的中點(diǎn),
又∵AD⊥AB,
∴CH∥AD,
∴∠D=∠CGE,
又∵點(diǎn)H是AB的中點(diǎn),
∴點(diǎn)G是BD的中點(diǎn),
∴DG=GB,
∵△ACF≌△CBG,
∴CF=BG,
∴CF=DG,(7分)
∵E為AC邊的中點(diǎn),
∴AE=CE,
在△AED和△CEG中,,
∴△AED≌△CEG(AAS),(8分)
∴DE=GE,
∴DG=2DE,
10、又∵CF=DG,
∴CF=2DE.(10分)
第7題解圖
8. (1)解:∵AM⊥BM,點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn),
∴∠AMB=∠AMC=90°,
∴△AMB和△AMC是直角三角形,
∵∠ABM=45°,AB=3,
∴AM=BM=3,
∵BC=5,
∴MC=5-3=2,
在Rt△AMC中,AM=3,CM=2,
∴AC==.(4分)
(2)證明:延長EF至點(diǎn)H,使FH=FE,連接BH,如解圖①,
第8題解圖①
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn),
∴BF=CF,
在△BFH和△CFE中,,
∴△BFH≌△CFE(SAS),(7分)
∴BH=CE,∠H=∠CEF,
又∵
11、∠BMD=∠AMC=90°,AM=BM,MD=MC,
∴△BMD≌△AMC(SAS),
∴BD=AC,
又∵AC=EC,EC=BH,
∴BD=BH,
∴∠BDF=∠H=∠CEF,
∴∠BDF=∠CEF.(10分)
【一題多解】∵∠ABM=45°,AM⊥BM,點(diǎn)C是BM延長線上一點(diǎn).
∴BM=AM,∠BMD=∠AMC=90°.
在△BMD和△AMC中,
∵BM=AM,∠BMD=∠AMC,MD=MC,
∴△BMD≌△AMC(SAS).(6分)
∴BD=AC.
∵EC=AC,
∴BD=EC.
延長DF到點(diǎn)G,使FG=FD,連接CG,如解圖②,
第8題解圖②
∵點(diǎn)
12、F是線段BC的中點(diǎn),
∴CF=BF.
∵∠CFG=∠BFD,F(xiàn)G=FD,
∴△CFG≌△BFD(SAS).
∴CG=BD,∠G=∠BDF.
∵BD=EC,
∴CG=EC.
∴∠G=∠CEF.
∵∠G=∠BDF,
∴∠BDF=∠CEF.(10分)
9. (1)解:在△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∴AC=BC=AB·sin45°=4,(2分)
∴在Rt△BCE中,CE==3,
∴AE=AC-CE=4-3=1.(4分)
(2)證明:如解圖,過C點(diǎn)作CM⊥CF交BD于點(diǎn)M,
∴∠FCM=90°,
∵∠ACB=90°,
13、∴∠FCA=∠MCB,
∵AF⊥BD,
∴∠AFB=90°,
∴∠AFE=∠ACB,
∵∠AEF=∠BEC,
∴∠CAF=∠CBM,
在△ACF和△BCM中,,
∴△ACF≌△BCM(ASA),(7分)
∴FC=MC,
又∵∠FCM=90°,
∴∠CFM=∠CMF=45°,
∴∠AFC=∠AFB+∠CFM=90°+45°=135°,
∠DFC=180°-∠CFM=180°-45°=135°,
∴∠AFC=∠DFC,
在△ACF和△DCF中,,
∴△ACF≌△DCF(SAS),(9分)
∴AC=DC,
∵AC=BC,
∴DC=BC.(10分)
第9題解圖
14、
拓展訓(xùn)練2
(1)解:如解圖①,∵∠1+∠ABD=90°,
在Rt△ABD中,∠2+∠ABD=90°,
第2題解圖①
∴∠1=∠2,
∵BD=ED,F(xiàn)為AD的中點(diǎn),點(diǎn)E和點(diǎn)F重合,
∴AE=ED=BD,
在△ABE和△BCD中,,
∴△ABE≌△BCD(SAS),
∴BE=CD.
在Rt△BED中,BE2=BD2+ED2,
∵BD=ED=,
∴BE=,
∴CD=.
(2)證明:過點(diǎn)A作AN⊥BD于點(diǎn)N,交BE于點(diǎn)M,如解圖②,
第2題解圖②
∵AB=AD,
∴N是BD的中點(diǎn),∠3=∠4,
∵∠ANB=∠BDE=90°,
∴AN∥ED,
∴∠4=∠5,∠6=∠7=45°,
∵F是AD的中點(diǎn),
∴AF=FD,
在△AFM和△DFE中,,
∴△AFM≌△DFE(AAS),
∴AM=ED,
∵BD=ED,
∴BD=AM,
∵AB=AD,
∴∠8=∠ABD,
∵∠8+∠5=90°,∠ABD+∠9=90°,
∴∠5=∠9,
∵∠3=∠4=∠5,
∴∠3=∠9,
在△ABM和△BCD中,,
∴△ABM≌△BCD(SAS),
∴BM=CD.
在等腰Rt△BMN中,BM=BN,
∵BN=BD,
∴BD=BM,
∴BD=CD.
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