重慶市2018年中考數學一輪復習 第四章 三角形 第3節(jié) 全等三角形練習

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1、 第3節(jié)　全等三角形 (必考，1～2道，近5年每年1道，7～16分) 玩轉重慶10年中考真題(2008～2017年) 命題點　(必考，多在解答題中涉及) 類型一　三角形全等的相關證明(2016，2015，A、B卷，2012，2011年考查) 與平行線有關 1. (2016重慶B卷19題7分)如圖，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD. 求證：∠B＝∠E. 　 第1題圖 2. (2016重慶A卷19題7分)如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求證：AE＝FB. 第2題圖

2、3. (2015重慶B卷20題7分)如圖，△ABC和△EFD分別在線段AE的兩側，點C，D在線段AE上，AC＝DE，AB∥EF，AB＝EF. 求證：BC＝FD. 第3題圖 含公共邊 4. (2015重慶A卷20題7分)如圖，在△ABD和△FEC中，點B，C，D，E在同一直線上，且AB＝FE，BC＝DE，∠B＝∠E. 求證：∠ADB＝∠FCE. 第4題圖 5. (2011重慶19題6分)如圖，點A、F、C、D在同一直線上，點B和點E分別在直線AD的兩側，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC. 求證：BC∥EF.

3、 第5題圖 含公共角(旋轉型) 6. (2012重慶18題6分)已知：如圖，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E. 求證：BC＝ED. 第6題圖 拓展訓練　 1. 如圖，已知AB⊥AC，AB＝AC，DE過點A，且CD⊥DE，BE⊥DE，垂足分別為點D，E. 求證：CD＝AE. 第1題圖 類型二　三角形全等的證明及計算(涉及輔助線)(2017，2014，2013，A、B卷，2008～2010年考查) 等腰三角形中的輔助線 7. (2014重慶B卷24題10分)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC

4、＝BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，F為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求證：(1)AF＝CG； (2)CF＝2DE. 第7題圖 倍長中線 8. (2017重慶A卷24題10分)在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足為M.點C是BM延長線上一點，連接AC. (1)如圖①，若AB＝3，BC＝5，求AC的長； (2)如圖②，點D是線段AM上一點，MD＝MC，點E是△ABC外一點，EC＝AC，連接ED并延長交BC于點F，且點F是線段BC的中點．求證：∠BDF＝∠CEF.

5、 第8題圖 構造直角三角形 9. (2017重慶B卷24題10分)如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E是AC上一點，連接BE. (1)如圖①，若AB＝4，BE＝5，求AE的長． (2)如圖②，點D是線段BE延長線上一點，過點A作AF⊥BD于點F，連接CD，CF.當AF＝DF時，求證：DC＝BC. 第9題圖 拓展訓練　 2. 在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC.在等腰Rt△BDE中，∠BDE＝90°，B

6、D＝DE.連接AD，CD，點F是AD的中點． (1)如圖①，當點E和點F重合時，若BD＝，求CD的長； (2)如圖②，當點F恰好在BE上，AB＝AD時，求證：BD＝CD. 第2題圖 答案 1. 證明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ECD，(2分) 在△ABC和△CED中，， ∴△ABC≌△CED(SAS)，(5分) ∴∠B＝∠E.(7分) 2. 證明：∵CE∥DF， ∴∠ACE＝∠FDB，(2分) 在△ACE和△FDB中， ∴△ACE≌△FDB(SAS)，(5分) ∴AE＝FB.(7分)

7、 3. 證明：∵AB∥EF，點C、D在線段AE上， ∴∠A＝∠E，(3分) ∵AC＝ED，AB＝EF， ∴△ABC≌△EFD(SAS)，(5分) ∴BC＝FD.(7分) 4. 證明：∵BC＝DE， ∴BC＋CD＝DE＋CD，即BD＝EC.(3分) 又∵∠B＝∠E，AB＝FE， ∴△ABD≌△FEC(SAS)，(5分) ∴∠ADB＝∠FCE.(7分) 5. 證明：∵AF＝DC， ∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF. 又∵AB＝DE，∠A＝∠D， ∴△ABC≌△DEF(SAS)，(4分) ∴∠ACB＝∠DFE，(5分) ∴BC∥EF.(6分) 6. 證明：∵∠

8、1＝∠2， ∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，(1分) 即∠EAD＝∠BAC， 在△EAD和△BAC中，，(2分) ∴△ABC≌△AED(ASA)，(5分) ∴BC＝ED.(6分) 拓展訓練1　證明：∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠BAC＝∠D＝∠E＝90°， ∴∠CAD＋∠BAE＝90°，∠DCA＋∠CAD＝90°， ∴∠DCA＝∠EAB， 在△ADC和△BEA中，， ∴△ADC≌△BEA(AAS)． ∴CD＝AE. 7. 證明：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝45°， ∵CG平分∠ACB， ∴∠BCG＝∠ACB＝45°， ∴

9、∠CAB＝∠BCG，(2分) 在△ACF和△CBG中，， ∴△ACF≌△CBG(ASA)，(4分) ∴AF＝CG.(5分) (2)如解圖，延長CG交AB于點H. ∵AC＝BC, CG平分∠ACB， ∴CH⊥AB，且點H是AB的中點， 又∵AD⊥AB， ∴CH∥AD， ∴∠D＝∠CGE， 又∵點H是AB的中點， ∴點G是BD的中點， ∴DG＝GB， ∵△ACF≌△CBG， ∴CF＝BG， ∴CF＝DG，(7分) ∵E為AC邊的中點， ∴AE＝CE， 在△AED和△CEG中，， ∴△AED≌△CEG(AAS)，(8分) ∴DE＝GE， ∴DG＝2DE，

10、又∵CF＝DG， ∴CF＝2DE.(10分) 第7題解圖 8. (1)解：∵AM⊥BM，點C是BM延長線上一點， ∴∠AMB＝∠AMC＝90°， ∴△AMB和△AMC是直角三角形， ∵∠ABM＝45°，AB＝3， ∴AM＝BM＝3， ∵BC＝5， ∴MC＝5－3＝2， 在Rt△AMC中，AM＝3，CM＝2， ∴AC＝＝.(4分) (2)證明：延長EF至點H，使FH＝FE，連接BH，如解圖①， 第8題解圖① ∵點F是BC的中點， ∴BF＝CF， 在△BFH和△CFE中，， ∴△BFH≌△CFE(SAS)，(7分) ∴BH＝CE，∠H＝∠CEF， 又∵

11、∠BMD＝∠AMC＝90°，AM＝BM，MD＝MC， ∴△BMD≌△AMC(SAS)， ∴BD＝AC， 又∵AC＝EC，EC＝BH， ∴BD＝BH， ∴∠BDF＝∠H＝∠CEF， ∴∠BDF＝∠CEF.(10分) 【一題多解】∵∠ABM＝45°，AM⊥BM，點C是BM延長線上一點． ∴BM＝AM，∠BMD＝∠AMC＝90°. 在△BMD和△AMC中， ∵BM＝AM，∠BMD＝∠AMC，MD＝MC， ∴△BMD≌△AMC(SAS)．(6分) ∴BD＝AC. ∵EC＝AC， ∴BD＝EC. 延長DF到點G，使FG＝FD，連接CG，如解圖②， 第8題解圖② ∵點

12、F是線段BC的中點， ∴CF＝BF. ∵∠CFG＝∠BFD，FG＝FD， ∴△CFG≌△BFD(SAS)． ∴CG＝BD，∠G＝∠BDF. ∵BD＝EC， ∴CG＝EC. ∴∠G＝∠CEF. ∵∠G＝∠BDF， ∴∠BDF＝∠CEF.(10分) 9. (1)解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠BAC＝∠ABC＝45°， ∴AC＝BC＝AB·sin45°＝4，(2分) ∴在Rt△BCE中，CE＝＝3， ∴AE＝AC－CE＝4－3＝1.(4分) (2)證明：如解圖，過C點作CM⊥CF交BD于點M， ∴∠FCM＝90°， ∵∠ACB＝90°，

13、∴∠FCA＝∠MCB， ∵AF⊥BD， ∴∠AFB＝90°， ∴∠AFE＝∠ACB， ∵∠AEF＝∠BEC， ∴∠CAF＝∠CBM， 在△ACF和△BCM中，， ∴△ACF≌△BCM(ASA)，(7分) ∴FC＝MC， 又∵∠FCM＝90°， ∴∠CFM＝∠CMF＝45°， ∴∠AFC＝∠AFB＋∠CFM＝90°＋45°＝135°， ∠DFC＝180°－∠CFM＝180°－45°＝135°， ∴∠AFC＝∠DFC， 在△ACF和△DCF中，， ∴△ACF≌△DCF(SAS)，(9分) ∴AC＝DC， ∵AC＝BC， ∴DC＝BC.(10分) 第9題解圖

14、 拓展訓練2 (1)解：如解圖①，∵∠1＋∠ABD＝90°， 在Rt△ABD中，∠2＋∠ABD＝90°， 第2題解圖① ∴∠1＝∠2， ∵BD＝ED，F為AD的中點，點E和點F重合， ∴AE＝ED＝BD， 在△ABE和△BCD中，， ∴△ABE≌△BCD(SAS)， ∴BE＝CD. 在Rt△BED中，BE2＝BD2＋ED2， ∵BD＝ED＝， ∴BE＝， ∴CD＝. (2)證明：過點A作AN⊥BD于點N，交BE于點M，如解圖②， 第2題解圖② ∵AB＝AD， ∴N是BD的中點，∠3＝∠4， ∵∠ANB＝∠BDE＝90°， ∴AN∥ED， ∴∠4＝∠5，∠6＝∠7＝45°， ∵F是AD的中點， ∴AF＝FD， 在△AFM和△DFE中，， ∴△AFM≌△DFE(AAS)， ∴AM＝ED， ∵BD＝ED， ∴BD＝AM， ∵AB＝AD， ∴∠8＝∠ABD， ∵∠8＋∠5＝90°，∠ABD＋∠9＝90°， ∴∠5＝∠9， ∵∠3＝∠4＝∠5， ∴∠3＝∠9， 在△ABM和△BCD中，， ∴△ABM≌△BCD(SAS)， ∴BM＝CD. 在等腰Rt△BMN中，BM＝BN， ∵BN＝BD， ∴BD＝BM， ∴BD＝CD. 15