重慶市2018年中考數(shù)學題型復習 題型八 二次函數(shù)綜合題 類型四 與直角三角形有關(guān)的問題練習

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1、 類型四 與直角三角形有關(guān)的問題 1. (2017重慶南開一模)如圖，拋物線y＝－x2＋x＋3與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標為(m，0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q. (1)求直線BD的解析式； (2)當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M，當△DQB面積最大時，在x軸上找一點E，使QE＋EB的值最小，求E的坐標和最小值； (3)在點P的運動過程中，是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由． 第1題圖 2.

2、 (2016重慶B卷)如圖①，二次函數(shù)y＝x2－2x＋1的圖象與一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象交于A，B兩點，點A的坐標為(0，1)，點B在第一象限內(nèi)，點C是二次函數(shù)圖象的頂點，點M是一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象與x軸的交點，過點B作x軸的垂線，垂足為N，且S△AMO∶S四邊形AONB＝1∶48. (1)求直線AB和直線BC的解析式； (2)點P是線段AB上一點，點D是線段BC上一點，PD∥x軸，射線PD與拋物線交于點G，過點P作PE⊥x軸于點E，PF⊥BC于點F.當PF與PE的乘積最大時，在線段AB上找一點H(不與點A，點B重合)，使GH＋BH的值最?。簏cH的坐標和GH＋

3、BH的最小值； (3)如圖②，直線AB上有一點K(3，4)，將二次函數(shù)y＝x2－2x＋1沿直線BC平移，平移的距離是t(t≥0)，平移后拋物線上點A，點C的對應點分別為A′，點C′；當△A′C′K是直角三角形時，求t的值． 第2題圖 答案 1. 解：(1)令y＝0，即－x2＋x＋3＝0，解得x1＝6，x2＝－1， ∴A(－1，0)，B(6，0)， 當x＝0時，y＝3，則C(0，3)， ∵點D與點C關(guān)于x軸對稱， ∴點D為(0，－3)， 設(shè)直線BD的解析式為y＝kx＋b，將D(0，－3)和B(6，0)分別代入得， 解得：k＝，b＝－3， ∴直線BD的解析

4、式為y＝x－3； (2)設(shè)點P的坐標為(m，0)，則點Q(m，－m2＋m＋3)，M(m，m－3)． ∴S△QBD＝OB·QM＝×6×(－m2＋m＋3－m＋3)＝－(m－2)2＋24， ∴當m＝2時，△QBD的面積有最大值，此時Q(2，6)， 如解圖所示，過點E作EF⊥BD，垂足為點F， 第1題解圖 在Rt△OBD中，OB＝6，OD＝3，則BD＝3， ∴sin∠EBF＝sin∠OBD＝＝， ∴EF＝BE， ∴QE＋EB＝QE＋EF， ∴當點Q、E、F在同一條直線上時，QE＋EB有最小值． 過點Q作QF′⊥BD，垂足為點F′，QF′交OB于點E′. 設(shè)QF′的的解析式為

5、y＝－2x＋c，將點Q的坐標代入得－4＋c＝6，解得c＝10， ∴QF′的解析式為y＝－2x＋10. 當y＝0時，－2x＋10＝0，解得x＝5， ∴點E′的坐標為(5，0)，即點E的坐標為(5，0)時QE＋EB有最小值， ∴QE＋EB的最小值為＋＝3＋＝； (3)當∠QDB＝90°，DQ的解析式為y＝－2x－3， 將y＝－2x－3與y＝－x2＋x＋3聯(lián)立解得x＝或x＝， ∴點Q的坐標為(，－12－)或(，－12＋) 當∠QBD＝90°時，QB的解析式為y＝－2x＋12， 將y＝－2x＋12與y＝－x2＋x＋3聯(lián)立解得x＝3或x＝6(舍去)， ∴點Q的坐標為(3，6)． 綜

6、上所述，點Q的坐標為(，－12－)或(，－12＋)或(3，6)． 2. 解：(1)由題易知BN∥OA， ∴△OAM∽△NBM， ∴＝()2， ∵＝＝， ∴＝， ∴＝()2，即＝()2， ∴BN＝7， 令y＝7，則x2－2x＋1＝7， 解得x1＝6，x2＝－2，則B(6，7)，∴N(6，0)， 把A(0，1)，B(6，7)代入y＝kx＋b中，得，解得， ∴直線AB的解析式為y＝x＋1; ∵拋物線y＝x2－2x＋1＝(x－2)2－1， ∴C(2，－1)， 設(shè)直線BC的解析式為y＝ax＋c，把B(6，7)，C(2，－1)代入得，，解得， ∴直線BC的解析式為y＝2x－

7、5. (2)設(shè)P點坐標為(m，m＋1)，則D(，m＋1)，∴PE＝m＋1，PD＝， 設(shè)BC與x軸的交點為Q，則Q(，0)， ∴NQ＝，BQ＝， ∵PD∥ON， ∴∠PDF＝∠BQN， 又∵∠PFD＝∠BNQ＝90°， ∴△PDF∽△BQN， ∴＝，即＝， ∴PF＝， ∴PF·PE＝(m＋1)＝－m2＋m＋， 當m＝－＝時，PE·PF的值最大， 此時P(，)，BP＝，E(，0)與Q點重合， m＝時，G(5，)， 如解圖①，以直線AB為對稱軸，作點G的對稱點G′，GG′與AB交于點R，過G′作G′H∥x軸，交BN于點S，交AB于點H，此時點H就是使GH＋BH的值最小的點

8、． 在Rt△PRG中，PG＝，∠RPG＝∠RGP＝45°， ∴RP＝RG＝＝， 易證∠RHG＝∠BHS＝∠HBS＝45°， ∴RH＝RG′＝RG＝， ∴G′H＝，PH＝， ∴BH＝BP－PH＝， ∴HS＝BH＝1， ∴H(5，6)， 此時GH＋BH的最小值為G′S＝G′H＋HS＝＋1＝. 第2題解圖① (3)如解圖②，過點C作CD⊥y軸于D，過C′作C′E⊥CD于點E，設(shè)BC與y軸的交點為F，則F(0，－5)，C(2，－1)，D(0，－1)．CC′＝t， ∴CD＝2，DF＝4，CF＝2， 易證△C′EC∽△FDC， ∵＝＝，即＝＝， ∴C′E＝t，CE＝t，

9、 ∴C′(t＋2，t－1)，A′(t，t＋1)， ∵K(3，4)， ∴A′C′2＝AC2＝22＋22＝8，A′K2＝(t－3)2＋(t－3)2＝t2－t＋18， C′K2＝(t－1)2＋(t－5)2＝t2－t＋26， 第2題解圖② ①當∠C′A′K＝90°時，A′C′2＋A′K2＝C′K2， 8＋t2－t＋18＝t2－t＋26， 解得t＝0； ②當∠A′C′K＝90°時，A′C′2＋C′K2＝A′K2， 8＋t2－t＋26＝t2－t＋18， 解得t＝4； ③當∠A′KC′＝90°時，A′K2＋C′K2＝A′C′2， t2－t＋26＋t2－t＋18＝8， 解得t＝2＋或t＝2－； 故當△A′C′K為直角三角形時，t＝0或4或2＋或2－. 9