《重慶市2018年中考數(shù)學(xué)題型復(fù)習(xí) 題型八 二次函數(shù)綜合題 類型四 與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題練習(xí)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《重慶市2018年中考數(shù)學(xué)題型復(fù)習(xí) 題型八 二次函數(shù)綜合題 類型四 與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題練習(xí)（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
類型四 與直角三角形有關(guān)的問(wèn)題
1. (2017重慶南開(kāi)一模)如圖，拋物線y＝－x2＋x＋3與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線l交拋物線于點(diǎn)Q.
(1)求直線BD的解析式；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l交BD于點(diǎn)M，當(dāng)△DQB面積最大時(shí)，在x軸上找一點(diǎn)E，使QE＋EB的值最小，求E的坐標(biāo)和最小值；
(3)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
第1題圖
2.
2、 (2016重慶B卷)如圖①，二次函數(shù)y＝x2－2x＋1的圖象與一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，點(diǎn)M是一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線，垂足為N，且S△AMO∶S四邊形AONB＝1∶48.
(1)求直線AB和直線BC的解析式；
(2)點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D是線段BC上一點(diǎn)，PD∥x軸，射線PD與拋物線交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PF⊥BC于點(diǎn)F.當(dāng)PF與PE的乘積最大時(shí)，在線段AB上找一點(diǎn)H(不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合)，使GH＋BH的值最?。簏c(diǎn)H的坐標(biāo)和GH＋
3、BH的最小值；
(3)如圖②，直線AB上有一點(diǎn)K(3，4)，將二次函數(shù)y＝x2－2x＋1沿直線BC平移，平移的距離是t(t≥0)，平移后拋物線上點(diǎn)A，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′，點(diǎn)C′；當(dāng)△A′C′K是直角三角形時(shí)，求t的值．
第2題圖
答案
1. 解：(1)令y＝0，即－x2＋x＋3＝0，解得x1＝6，x2＝－1，
∴A(－1，0)，B(6，0)，
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，則C(0，3)，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)D為(0，－3)，
設(shè)直線BD的解析式為y＝kx＋b，將D(0，－3)和B(6，0)分別代入得，
解得：k＝，b＝－3，
∴直線BD的解析
4、式為y＝x－3；
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，0)，則點(diǎn)Q(m，－m2＋m＋3)，M(m，m－3)．
∴S△QBD＝OB·QM＝×6×(－m2＋m＋3－m＋3)＝－(m－2)2＋24，
∴當(dāng)m＝2時(shí)，△QBD的面積有最大值，此時(shí)Q(2，6)，
如解圖所示，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BD，垂足為點(diǎn)F，
第1題解圖
在Rt△OBD中，OB＝6，OD＝3，則BD＝3，
∴sin∠EBF＝sin∠OBD＝＝，
∴EF＝BE，
∴QE＋EB＝QE＋EF，
∴當(dāng)點(diǎn)Q、E、F在同一條直線上時(shí)，QE＋EB有最小值．
過(guò)點(diǎn)Q作QF′⊥BD，垂足為點(diǎn)F′，QF′交OB于點(diǎn)E′.
設(shè)QF′的的解析式為
5、y＝－2x＋c，將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入得－4＋c＝6，解得c＝10，
∴QF′的解析式為y＝－2x＋10.
當(dāng)y＝0時(shí)，－2x＋10＝0，解得x＝5，
∴點(diǎn)E′的坐標(biāo)為(5，0)，即點(diǎn)E的坐標(biāo)為(5，0)時(shí)QE＋EB有最小值，
∴QE＋EB的最小值為＋＝3＋＝；
(3)當(dāng)∠QDB＝90°，DQ的解析式為y＝－2x－3，
將y＝－2x－3與y＝－x2＋x＋3聯(lián)立解得x＝或x＝，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，－12－)或(，－12＋)
當(dāng)∠QBD＝90°時(shí)，QB的解析式為y＝－2x＋12，
將y＝－2x＋12與y＝－x2＋x＋3聯(lián)立解得x＝3或x＝6(舍去)，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3，6)．
綜
6、上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，－12－)或(，－12＋)或(3，6)．
2. 解：(1)由題易知BN∥OA，
∴△OAM∽△NBM，
∴＝()2，
∵＝＝，
∴＝，
∴＝()2，即＝()2，
∴BN＝7，
令y＝7，則x2－2x＋1＝7，
解得x1＝6，x2＝－2，則B(6，7)，∴N(6，0)，
把A(0，1)，B(6，7)代入y＝kx＋b中，得，解得，
∴直線AB的解析式為y＝x＋1;
∵拋物線y＝x2－2x＋1＝(x－2)2－1，
∴C(2，－1)，
設(shè)直線BC的解析式為y＝ax＋c，把B(6，7)，C(2，－1)代入得，，解得，
∴直線BC的解析式為y＝2x－
7、5.
(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m＋1)，則D(，m＋1)，∴PE＝m＋1，PD＝，
設(shè)BC與x軸的交點(diǎn)為Q，則Q(，0)，
∴NQ＝，BQ＝，
∵PD∥ON，
∴∠PDF＝∠BQN，
又∵∠PFD＝∠BNQ＝90°，
∴△PDF∽△BQN，
∴＝，即＝，
∴PF＝，
∴PF·PE＝(m＋1)＝－m2＋m＋，
當(dāng)m＝－＝時(shí)，PE·PF的值最大，
此時(shí)P(，)，BP＝，E(，0)與Q點(diǎn)重合，
m＝時(shí)，G(5，)，
如解圖①，以直線AB為對(duì)稱軸，作點(diǎn)G的對(duì)稱點(diǎn)G′，GG′與AB交于點(diǎn)R，過(guò)G′作G′H∥x軸，交BN于點(diǎn)S，交AB于點(diǎn)H，此時(shí)點(diǎn)H就是使GH＋BH的值最小的點(diǎn)
8、．
在Rt△PRG中，PG＝，∠RPG＝∠RGP＝45°，
∴RP＝RG＝＝，
易證∠RHG＝∠BHS＝∠HBS＝45°，
∴RH＝RG′＝RG＝，
∴G′H＝，PH＝，
∴BH＝BP－PH＝，
∴HS＝BH＝1，
∴H(5，6)，
此時(shí)GH＋BH的最小值為G′S＝G′H＋HS＝＋1＝.
第2題解圖①
(3)如解圖②，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸于D，過(guò)C′作C′E⊥CD于點(diǎn)E，設(shè)BC與y軸的交點(diǎn)為F，則F(0，－5)，C(2，－1)，D(0，－1)．CC′＝t，
∴CD＝2，DF＝4，CF＝2，
易證△C′EC∽△FDC，
∵＝＝，即＝＝，
∴C′E＝t，CE＝t，
9、
∴C′(t＋2，t－1)，A′(t，t＋1)，
∵K(3，4)，
∴A′C′2＝AC2＝22＋22＝8，A′K2＝(t－3)2＋(t－3)2＝t2－t＋18，
C′K2＝(t－1)2＋(t－5)2＝t2－t＋26，
第2題解圖②
①當(dāng)∠C′A′K＝90°時(shí)，A′C′2＋A′K2＝C′K2，
8＋t2－t＋18＝t2－t＋26，
解得t＝0；
②當(dāng)∠A′C′K＝90°時(shí)，A′C′2＋C′K2＝A′K2，
8＋t2－t＋26＝t2－t＋18，
解得t＝4；
③當(dāng)∠A′KC′＝90°時(shí)，A′K2＋C′K2＝A′C′2，
t2－t＋26＋t2－t＋18＝8，
解得t＝2＋或t＝2－；
故當(dāng)△A′C′K為直角三角形時(shí)，t＝0或4或2＋或2－.
9
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