2020年中考數(shù)學(xué)必考考點 專題8 分式方程及其應(yīng)用（含解析）

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1、專題08 分式方程及其應(yīng)用 專題知識回顧 1．分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程. 2．解分式方程的一般方法:解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”。 （1）去分母(方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程); （2）按解整式方程的步驟求出未知數(shù)的值; （3）驗根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，原分式方程無解；若不等于零，就是原方程的根。 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019?湖北孝感）方程＝的解為　 ?。? 【答案】x＝1． 【解析】解一個分式方程時，可按照“

2、一去（去分母）、二解（解整式方程）、三檢驗（檢查求出的根是否是增根）”的步驟求出方程的解即可．注意：解分式方程時，最后一步的驗根很關(guān)鍵．觀察可得方程最簡公分母為2x（x+3）．去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程求解．結(jié)果要檢驗．兩邊同時乘2x（x+3），得 x+3＝4x， 解得x＝1． 經(jīng)檢驗x＝1是原分式方程的根． 【例題2】（2019黑龍東地區(qū)）已知關(guān)于x的分式方程 的解是非正數(shù)，則m的取值范圍是（ ） A．m≤3 B．m＜3 C．m＞－3 D．m≥－3 【答案】A 【解析】知識點是分式方程的增根。 由得x=m-3， ∵方程的解是非正數(shù)， ∴m-3≤0，∴m≤

3、3. 當x-3=0即x=3時，3=m-3，m=6， ∵m=6不在m≤3內(nèi)，∴m≤3.故選A. 【例題3】（2019?廣東省廣州市）甲、乙二人做某種機械零件，已知每小時甲比乙少做8個，甲做120個所用的時間與乙做150個所用的時間相等，設(shè)甲每小時做x個零件，下列方程正確的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 【答案】 【解析】設(shè)甲每小時做x個零件，根據(jù)甲做120個所用的時間與乙做150個所用的時間相等得出方程解答即可． 設(shè)甲每小時做x個零件，可得： 【例題4】（2019?四川自貢）解方程：﹣＝1． 【答案】x＝2． 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程

4、的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解． 去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x， 解得：x＝2， 檢驗：當x＝2時，方程左右兩邊相等， 所以x＝2是原方程的解． 【例題5】（2019?江蘇揚州）“綠水青山就是金山銀山”，為了進一步優(yōu)化河道環(huán)境，甲乙兩工程隊承擔河道整治任務(wù)，甲、乙兩個工程隊每天共整治河道1500米，甲工程隊整治3600米所用的時間與乙工程隊整治2400米所用時間相等。甲工程隊每天整治河道多少米？ 【答案】甲工程隊每天整治河道900米. 【解析】解設(shè)甲工程隊每天整治河道xm，則乙工程隊每天整治（1500-x）m 由題意得：＝， 解得：x=900 經(jīng)檢驗的x=

5、900是該方程的解。 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1.（2019?黑龍江哈爾濱）方程＝的解為（　?。? A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝ 【答案】C 【解析】本題考查解分式方程；熟練掌握分式方程的解法及驗根是解題的關(guān)鍵． 將分式方程化為，即可求解x＝；同時要進行驗根即可求解。 ＝， ， ∴2x＝9x﹣3， ∴x＝； 將檢驗x＝是方程的根， ∴方程的解為x＝ 2.（2019山東淄博）解分式方程＝﹣2時，去分母變形正確的是（　?。? A．﹣1+x＝﹣1﹣2（x﹣2） B．1﹣x＝1﹣2（x﹣2） C．﹣1+x＝1+2（2﹣x）

6、 D．1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2） 【答案】D 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，即可得到結(jié)果． 去分母得：1﹣x＝﹣1﹣2（x﹣2） 3.（2019?廣西貴港）若分式的值等于0，則x的值為（　?。? A．±1 B．0 C．﹣1 D．1 【答案】D 【解析】化簡分式＝＝x﹣1＝0即可求解。 ＝＝x﹣1＝0， ∴x＝1； 經(jīng)檢驗：x＝1是原分式方程的解。 4.（2019遼寧本溪）為推進垃圾分類，推動綠色發(fā)展，某化工廠要購進甲、乙兩種型號機器人用來進行垃圾分類.用360萬元購買甲型機器人和用480萬元購買乙型機器人的臺數(shù)相同，兩種型

7、號機器人的單價和為140萬元.若設(shè)甲型機器人每臺x萬元，根據(jù)題意，所列方程正確的是 A. B. C. D. 【答案】A. 【解析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)甲種型號機器人每臺的價格是x萬元，根據(jù)“用360萬元購買甲型機器人和用480萬元購買乙型機器人的臺數(shù)相同”，列出關(guān)于x的分式方程． 設(shè)甲型機器人每臺x萬元，根據(jù)題意，可得： 5. （2019?湖北十堰）十堰即將跨入高鐵時代，鋼軌鋪設(shè)任務(wù)也將完成．現(xiàn)還有6000米的鋼軌需要鋪設(shè)，為確保年底通車，如果實際施工時每天比原計劃多鋪設(shè)20米，就能提前15天完成任務(wù)．設(shè)原計劃每天鋪設(shè)鋼軌x米，則根

8、據(jù)題意所列的方程是（　?。? A．﹣＝15 B．﹣＝15 C．﹣＝20 D．﹣＝20 【答案】A 【解析】考查由實際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)以時間為等量關(guān)系列出方程． 設(shè)原計劃每天鋪設(shè)鋼軌x米，根據(jù)如果實際施工時每天比原計劃多鋪設(shè)20米，就能提前15天完成任務(wù)可列方程． 設(shè)原計劃每天鋪設(shè)鋼軌x米，可得： 6. （2019?山東省濟寧市 ）世界文化遺產(chǎn)“三孔”景區(qū)已經(jīng)完成5G基站布設(shè)，“孔夫子家”自此有了5G網(wǎng)絡(luò)．5G網(wǎng)絡(luò)峰值速率為4G網(wǎng)絡(luò)峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸500兆數(shù)據(jù)，5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快45秒，求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率．設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x

9、兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是（　?。? A．﹣＝45 B．﹣＝45 C．﹣＝45 D．﹣＝45 【答案】A 【解析】由實際問題抽象出分式方程直接利用5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快45秒得出等式進而得出答案． 設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x兆數(shù)據(jù)，依題意，可列方程是： ﹣＝45． 7.（2019?江蘇蘇州）小明5元買售價相同的軟面筆記本，小麗用24元買售價相同的硬面筆記本（兩人的錢恰好用完），已知每本硬面筆記本比軟面筆記本貴3元，且小明和小麗買到相同數(shù)量的筆記本，設(shè)軟面筆記本每本售價為元，根據(jù)題意可列出的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】考察分

10、式方程的應(yīng)用，簡單題型。找到等量關(guān)系為兩人買的筆記本數(shù)量 二、填空題 8.（2019?甘肅）分式方程＝的解為　 ?。? 【答案】x＝ 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解． 去分母得：3x+6＝5x+5， 解得：x＝， 經(jīng)檢驗x＝是分式方程的解． 9.（2019?山東省濱州市）方程+1＝的解是　 ?。? 【答案】x＝1． 【解析】本題考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要驗根． 去分母，得x﹣3+x﹣2＝﹣3， 移項、合并，得2x

11、＝2， 解得x＝1， 檢驗：當x＝1時，x﹣2≠0， 所以，原方程的解為x＝1 10.（2019?山東省德州市）方程﹣＝1的解為　 ?。? 【答案】x＝﹣4 【解析】根據(jù)分式方程的解法，先將式子通分化簡為＝1，最后驗證根的情況，進而求解。 ﹣＝1， ＝1， ＝1， ＝1， x+1＝﹣3， x＝﹣4， 經(jīng)檢驗x＝﹣4是原方程的根。 11.（2019?湖北黃石）分式方程：﹣＝1的解為　 ?。? 【答案】x＝﹣1 【解析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解． 去分母得：4﹣x＝x2﹣4x，即x2﹣3x﹣4＝0

12、， 解得：x＝4或x＝﹣1， 經(jīng)檢驗x＝4是增根，分式方程的解為x＝﹣1 12.（2019四川巴中）若關(guān)于x的分式方程+＝2m有增根，則m的值為　 ?。? 【答案】1 【解析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母x﹣2＝0，得到x＝2，然后代入化為整式方程的方程算出m的值． 方程兩邊都乘x﹣2，得x﹣2m＝2m（x﹣2） ∵原方程有增根， ∴最簡公分母x﹣2＝0， 解得x＝2， 當x＝2時，m＝1 故m的值是1 13.（2019?江蘇宿遷）關(guān)于x的分式方程+＝1的解為正數(shù)，則a的取值范圍是　　． 【答案】a＜5且a≠3．

13、 【解析】直接解分式方程，進而利用分式方程的解是正數(shù)得出a的取值范圍，進而結(jié)合分式方程有意義的條件分析得出答案． 去分母得：1﹣a+2＝x﹣2， 解得：x＝5﹣a， 5﹣a＞0， 解得：a＜5， 當x＝5﹣a＝2時，a＝3不合題意， 故a＜5且a≠3． 14.（2019?貴州省安順市）某生態(tài)示范園計劃種植一批蜂糖李，原計劃總產(chǎn)量達36萬千克，為了滿足市場需求，現(xiàn)決定改良蜂糖李品種，改良后平均每畝產(chǎn)量是原計劃的1.5倍，總產(chǎn)量比原計劃增加了9萬千克，種植畝數(shù)減少了20畝，則原計劃和改良后平均每畝產(chǎn)量各多少萬千克？設(shè)原計劃平均畝產(chǎn)量為x萬千克，則改良后平均每畝產(chǎn)量為1.5x萬千克，

14、根據(jù)題意列方程為　 　． 【答案】﹣＝20． 【解析】設(shè)原計劃平均畝產(chǎn)量為x萬千克，則改良后平均每畝產(chǎn)量為1.5x萬千克， 依題意，得：﹣＝20． 故答案為：﹣＝20． 15. (2019黑龍江綏化)甲乙兩輛汽車同時從A地出發(fā),開往相距200km的B地,甲,乙兩車的速度之比是4:5,結(jié)果乙車比甲車早30分鐘到達B地,則甲車速度為______km/h. 【答案】80 【解析】分式方程的應(yīng)用。 設(shè)甲車速度為4x,乙車速度為5x,根據(jù)題意得:, 解之,得x＝20,∴甲車速度為4x＝80. 三、解答題 16.（2019廣西梧州）解方程：． 【答案】是分式方程的解． 【解析

15、】直接利用分式方程的解法解方程得出答案．正確去分母、檢驗是解題關(guān)鍵． 方程兩邊同乘以得：， 則， ， 解得：，， 檢驗：當時，，故不是方程的根， 是分式方程的解． 17.（2019?湖北天門）解分式方程：＝． 【答案】見解析。 【解析】去分母化分式方程為整式方程，解之求得x的值，再檢驗即可得． 兩邊都乘以（x+1）（x﹣1），得：2（x+1）＝5， 解得：x＝， 檢驗：當x＝時，（x+1）（x﹣1）＝≠0， ∴原分式方程的解為x＝． 18.（2019貴州省畢節(jié)市）解方程：1－＝． 【答案】見解析。 【解析】觀察可得最簡公分母是2（x+1），方程兩邊乘最簡公分母，

16、可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解． 去分母得， 2x+2﹣（x﹣3）＝6x， ∴x+5＝6x， 解得，x＝1 經(jīng)檢驗：x＝1是原方程的解． 19.（2019年陜西?。┙夥质椒匠蹋?． 【答案】． 【解析】去分母，解整式方程，檢驗根的情況，回答問題． 方程兩邊同乘，得 解得 檢驗：當時，，所以是原分式方程的解 所以原分式方程的解為． 20.(2019黑龍江大慶)某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)50臺機器,現(xiàn)在生產(chǎn)600臺機器所需時間與原計劃生產(chǎn)450臺機器所需時間相同,求該工廠原來平均每天生產(chǎn)多少臺機器? 【答案】見解析。 【解析】由已知列出分式方程

17、,解之可得. 設(shè)原來每天生產(chǎn)x臺機器,則現(xiàn)在每天生產(chǎn)(x+50)臺, 根據(jù)題意得:, 解之,得x＝150, 經(jīng)檢驗,x＝150是原分式方程的解.答:該工廠原來平均每天生產(chǎn)150臺機器. 21.（2019吉林長春）為建國70周年獻禮，某燈具廠計劃加工9000套彩燈，為盡快完成任務(wù)，實際每天加工彩燈的數(shù)量是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)。求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量. 【答案】300套． 【解析】該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量為x套，則實際每天加工彩燈的數(shù)量為1.2x套， 由題意得：， 解得：x=300， 經(jīng)檢驗，x=300是原方程的解，且符合題意。

18、22.（2019?湖南衡陽）某商店購進A、B兩種商品，購買1個A商品比購買1個B商品多花10元，并且花費300元購買A商品和花費100元購買B商品的數(shù)量相等． （1）求購買一個A商品和一個B商品各需要多少元； （2）商店準備購買A、B兩種商品共80個，若A商品的數(shù)量不少于B商品數(shù)量的4倍，并且購買A、B商品的總費用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪幾種購買方案？ 【答案】見解析。 【解析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組． （1）設(shè)購買一個B商品需要

19、x元，則購買一個A商品需要（x+10）元， 依題意，得：＝， 解得：x＝5， 經(jīng)檢驗，x＝5是原方程的解，且符合題意， ∴x+10＝15． 答：購買一個A商品需要15元，購買一個B商品需要5元． （2）設(shè)購買B商品m個，則購買A商品（80﹣m）個， 依題意，得：， 解得：15≤m≤16． ∵m為整數(shù)，∴m＝15或16． ∴商店有2種購買方案，方案①：購進A商品65個、B商品15個； 方案②：購進A商品64個、B商品16個． 23.（2019湖南湘西）列方程解應(yīng)用題： 某列車平均提速80km/h，用相同的時間，該列車提速前行駛300km，提速后比提速前多行駛200km，求該列車提速前的平均速度． 【答案】該列車提速前的平均速度為120km/h． 【解析】設(shè)該列車提速前的平均速度為xkm/h，則提速后的平均速度為（x+80）km/h，根據(jù)時間＝路程÷速度結(jié)合提速前行駛300km和提速后行駛500km（300+200）所用時間相等，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論． 設(shè)該列車提速前的平均速度為xkm/h，則提速后的平均速度為（x+80）km/h， 依題意，得：300x=300+200x+80， 解得：x＝120， 經(jīng)檢驗，x＝120是原方程的解，且符合題意． 11