5、－μmgLcos θ－μmgLBC＝0 ①
mgLsin θ－μmgLcos θ－μmgLBD＝－mv ②
由①②得：LCD＝.
[答案]
(對應(yīng)學(xué)生用書第82頁)
動能定理的理解
1．定理中“外力”的兩點理解
(1)重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力或其他力，它們可以同時作用，也可以不同時作用．
(2)既可以是恒力，也可以是變力．
2．公式中“＝”體現(xiàn)的三個關(guān)系
[題組通關(guān)]
1．(多選)如圖5-2-2所示，電梯質(zhì)量為M，在它的水平地板上放置一質(zhì)量為m的物體．電梯在鋼索的拉力作用下豎直向上加速運動，當(dāng)電梯的速度由v1增加到v2時，上升高度為H，則在這
6、個過程中，下列說法或表達式正確的是( )
圖5-2-2
A．對物體，動能定理的表達式為WFN＝mv，其中WFN為支持力的功
B．對物體，動能定理的表達式為W合＝0，其中W合為合力的功
C．對物體，動能定理的表達式為WFN－mgH＝mv－mv
D．對電梯，其所受合力做功為Mv－Mv
CD [電梯上升的過程中，對物體做功的有重力mg、支持力FN，這兩個力的總功才等于物體動能的增量ΔEk＝mv－mv，故A、B均錯誤，C正確；對電梯，無論有幾個力對它做功，由動能定理可知，其合力做的功一定等于其動能的增量，故D正確．]
2．(多選)如圖5-2-3所示，甲、乙兩個質(zhì)量相同的物體，用大小
7、相等的力F分別拉它們在水平面上從靜止開始運動相同的距離s.甲在光滑水平面上，乙在粗糙水平面上，則下列關(guān)于力F對甲、乙做的功和甲、乙兩物體獲得的動能的說法中正確的是( )
【導(dǎo)學(xué)號：84370211】
圖5-2-3
A．力F對甲做功多
B．力F對甲、乙兩個物體做的功一樣多
C．甲物體獲得的動能比乙大
D．甲、乙兩個物體獲得的動能相同
BC [由功的公式W＝Flcos α＝Fs可知，兩種情況下力F對甲、乙兩個物體做的功一樣多，A錯誤，B正確；根據(jù)動能定理，對甲有：Fs＝Ek1，對乙有：Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，C正確，D錯誤．]
動能定理的應(yīng)用
8、
1．應(yīng)用動能定理解題應(yīng)抓好“兩狀態(tài)，一過程”
“兩狀態(tài)”即明確研究對象的始、末狀態(tài)的速度或動能情況，“一過程”即明確研究過程，確定這一過程研究對象的受力情況和位置變化或位移信息．
2．應(yīng)用動能定理解題的基本思路
[多維探究]
考向1 用動能定理分析求解變力做功問題
1．如圖5-2-4所示，光滑斜面的頂端固定一彈簧，一小球向右滑行，并沖上固定在地面上的斜面．設(shè)小球在斜面最低點A的速度為v，壓縮彈簧至C點時彈簧最短，C點距地面高度為h，則小球從A到C的過程中彈簧彈力做功是( )
圖5-2-4
A．mgh－mv2 B.mv2－mgh
C．－mgh D．－
9、(mgh＋mv2)
[題眼點撥] “C點時彈簧最短，距地面高度為h”可知此時小球的速度為零，彈力是小球所受外力要用動能定理求解．
A [小球從A點運動到C點的過程中，重力和彈簧的彈力對小球做負(fù)功，由于支持力與位移始終垂直，則支持力對小球不做功，由動能定理，可得WG＋WF＝0－mv2，重力做功為WG＝－mgh，則彈簧的彈力對小球做功為WF＝mgh－mv2，所以正確選項為A.]
2. 如圖5-2-5所示，一輛汽車通過一根繩PQ跨過定滑輪提升井中質(zhì)量為m的物體，繩的P端拴在車后的掛鉤上，Q端拴在物體上．設(shè)繩的總長不變，繩的質(zhì)量、定滑輪的質(zhì)量和尺寸、繩與滑輪間的摩擦都忽略不計．開始時，車在A處，
10、滑輪左右兩側(cè)的繩都繃緊并且是豎直的，左側(cè)繩長為H.提升時車水平向左加速運動，沿水平方向從A經(jīng)過B駛向C，設(shè)A到B的距離也為H，車經(jīng)過B時的速度為v0，求車由A運動到B的過程中，繩對物體所做的功.
【導(dǎo)學(xué)號：84370212】
圖5-2-5
[題眼點撥]?、佟袄K總長不變”想到用幾何關(guān)系求解物體上升的高度；②“過B時速度為v0”要用分解的方法求出物體上升的速度．
[解析] 物體上升的過程中，物體的重力和繩的拉力均做功．設(shè)車運動至B時，物體的速度為v，繩的拉力對物體做的功為W
由幾何關(guān)系得物體上升的高度為h＝(－1)H
所以物體的重力做的功為WG＝－mgh＝(1－)mgH
對物體
11、應(yīng)用動能定理有W＋WG＝mv2
又物體的速度v＝v0cos 45°＝v0
由以上各式解得W＝mv＋(－1)mgH.
[答案] mv＋(－1)mgH
(2018·長春模擬)如圖所示，豎直平面內(nèi)放一直角桿MON，OM水平，ON豎直且光滑，用不可伸長的輕繩相連的兩小球A和B分別套在OM和ON桿上，B球的質(zhì)量為2 kg，在作用于A球的水平力F的作用下，A、B均處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時OA＝0.3 m，OB＝0.4 m，改變水平力F的大小，使A球向右加速運動，已知A球向右運動0.1 m時速度大小為3 m/s，則在此過程中繩的拉力對B球所做的功為(g取10 m/s2)( )
A．11 J
12、 B．16 J
C．18 J D．9 J
C [A球向右運動0.1 m時，vA＝3 m/s，OA′＝0.4 m，OB′＝0.3 m，設(shè)此時∠B′A′O＝α，則有tan α＝.vAcos α＝vBsin α，解得：vB＝4 m/s.此過程中B球上升高度h＝0.1 m，由動能定理，W－mgh＝mv，解得繩的拉力對B球所做的功為W＝mgh＋mv＝2×10×0.1 J＋×2×42 J＝18 J，選項C正確．]
考向2 利用動能定理求解多過程問題
3. 如圖5-2-6所示，ABCD是一個盆式容器，盆內(nèi)側(cè)壁與盆底BC的連接處都是一段與BC相切的圓弧，BC是水平的，其距離d＝0.50
13、m．盆邊緣的高度為h＝0.30 m．在A處放一個質(zhì)量為m的小物塊并讓其從靜止開始下滑．已知盆內(nèi)側(cè)壁是光滑的，而盆底BC面與小物塊間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.10.小物塊在盆內(nèi)來回滑動，最后停下來，則停止的地點到B的距離為( )
圖5-2-6
A．0.50 m B．0.25 m
C．0.10 m D．0
D [設(shè)小物塊在BC段通過的總路程為s，由于只有水平面上存在摩擦力，則小物塊從A點開始運動到最終靜止的整個過程中，摩擦力做功為－μmgs，而重力做功與路徑無關(guān)，由動能定理得mgh－μmgs＝0－0，代入數(shù)據(jù)可解得s＝3 m．由于d＝0.50 m，所以小物塊在BC段經(jīng)過3次往復(fù)運
14、動后，又回到B點．]
4．(2017·上海高考)如圖5-2-7所示，與水平面夾角θ＝37°的斜面和半徑R＝0.4 m的光滑圓軌道相切于B點，且固定于豎直平面內(nèi)．滑塊從斜面上的A點由靜止釋放，經(jīng)B點后沿圓軌道運動，通過最高點C時軌道對滑塊的彈力為零．已知滑塊與斜面間動摩擦因數(shù)μ＝0.25.(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
圖5-2-7
(1)滑塊在C點的速度大小vC；
(2)滑塊在B點的速度大小vB；
(3)A、B兩點間的高度差h.
[題眼點撥]?、佟巴ㄟ^最高點C時軌道對滑塊的彈力為零”，則此時速度為vC＝；②“與斜面間動摩擦因數(shù)為μ”說
15、明沿AB運動的摩擦力做負(fù)功．
[解析](1)對C點：滑塊豎直方向所受合力提供向心力
mg＝ ①
vC＝＝2 m/s.
(2)對B→C過程由動能定理得：
－mgR(1＋cos 37°)＝mv－mv ②
vB＝＝4.29 m/s.
(3)滑塊在A→B的過程，利用動能定理：
mgh－mgμcos 37°·＝mv－0 ③
代入數(shù)據(jù)解得h＝1.38 m.
[答案](1)2 m/s (2)4.29 m/s (3)1.38 m
1．若在題4中滑塊剛好到達與圓心等高的D點，如圖所示，則A、B間的高度差h′應(yīng)為多少？
[解析] 由A→D應(yīng)用動能定理可得：
mgh′－μmgcos
16、 θ·－mgRcos θ＝0
解得：h′＝＝0.48 m.
[答案] 0.48 m
2．若題4中斜面軌道光滑，滑塊從A點釋放后滑到C點，對軌道的壓力是重力的多少倍？(原AB高度差h＝1.38 m不變)
[解析] 由A→C應(yīng)用動能定理，設(shè)C點時的速度為vC.
mgh－mg(R＋Rcos θ)＝mv ①
NC＋mg＝ ②
由①②得：NC＝2.3mg，故是重力的2.3倍．
[答案] 2.3
[反思總結(jié)] 應(yīng)用動能定理注意的三個問題
(1)動能定理中的位移和速度必須是相對于同一個參考系的，一般以地面或相對地面靜止的物體為參考系．
(2)應(yīng)用動能定理時，必須明確各力做功的正、負(fù)．
17、
(3)應(yīng)用動能定理解題，關(guān)鍵是對研究對象進行準(zhǔn)確的受力分析及運動過程分析，并畫出物體運動過程的草圖，借助草圖理解物理過程和各量關(guān)系．
動能定理與圖象的結(jié)合問題
四類圖象所圍面積的含義
v-t圖
由公式x＝vt可知，v-t圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示物體的位移
a-t圖
由公式Δv＝at可知，a-t圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示物體速度的變化量
F-x圖
由公式W＝Fx可知，F(xiàn)-x圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示力所做的功
P-t圖
由公式W＝Pt可知，P-t圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積表示力所做的功
[母題] (2018·宿州模擬)宇航員在某星球表面做了如下實驗，實驗裝置如圖
18、5-2-8甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由斜軌道AB和圓弧軌道BC組成．將質(zhì)量m＝0.2 kg的小球，從軌道AB上高H處的某點由靜止釋放，用力傳感器測出小球經(jīng)過C點時對軌道的壓力大小為F，改變H的大小，可測出F隨H的變化關(guān)系如圖乙所示，求：
甲 乙
圖5-2-8
(1)圓弧軌道的半徑；
(2)星球表面的重力加速度；
(3)作出小球經(jīng)過C點時動能隨H的變化關(guān)系Ek-H圖象.
【導(dǎo)學(xué)號：84370213】
[題眼點撥]?、佟癈點的壓力”要利用重力和軌道對C的壓力提供向心力的條件；②“F隨H的關(guān)系”要根據(jù)條件寫出F－
19、H的函數(shù)關(guān)系．
[解析](1)小球過C點時，由牛頓第二定律得：F＋mg＝m
小球由靜止下滑至C點的過程，由動能定理得：
mg(H－2r)＝mv
解得：F＝H－5mg
由圖可知：當(dāng)H1＝0.5 m時，F(xiàn)1＝0
解得：r＝0.2 m.
(2)當(dāng)H2＝1.0 m時，F(xiàn)2＝5 N
解得：g＝5 m/s2.
(3)小球由靜止下滑至C點的過程，由動能定理得：mg(H－2r)＝Ek－0
解得：Ek＝H－0.4
則Ek-H圖象如圖所示．
[答案](1)0.2 m (2)5 m/s2 (3)見解析
[母題遷移]
遷移1 動能定理與v-t圖象的結(jié)合
1．用起重機提升貨物，貨
20、物上升過程中的v-t圖象如圖5-2-9所示，在t＝3 s到t＝5 s內(nèi)，重力對貨物做的功為W1、繩索拉力對貨物做的功為W2、貨物所受合力做的功為W3，則( )
圖5-2-9
A．W1>0 B．W2<0
C．W2>0 D．W3>0
C [分析題圖可知，貨物一直向上運動，根據(jù)功的定義式可得；重力做負(fù)功，拉力做正功，即W1<0，W2>0，A、B錯誤，C正確；根據(jù)動能定理，合力做的功W3＝0－mv2，v＝2 m/s，即W3<0，D錯誤．]
遷移2 動能定理與a-t圖象結(jié)合
2．用傳感器研究質(zhì)量為2 kg的物體由靜止開始做直線運動的規(guī)律時，在計算機上得到0～6 s內(nèi)物體的加速
21、度隨時間變化的關(guān)系如圖5-2-10所示．下列說法正確的是( )
【導(dǎo)學(xué)號：84370214】
圖5-2-10
A．0～6 s內(nèi)物體先向正方向運動，后向負(fù)方向運動
B．0～6 s內(nèi)物體在4 s時的速度最大
C．物體在2～4 s內(nèi)速度不變
D．0～4 s內(nèi)合力對物體做的功等于0～6 s內(nèi)合力做的功
[題眼點撥] 看到“a-t”圖象，要利用圖象面積表示速度變化的結(jié)論．
D [由v＝at可知，a-t圖象中，圖線與坐標(biāo)軸所圍面積表示質(zhì)點的速度的變化量，0～6 s內(nèi)物體的速度始終為正值，故一直為正方向，A項錯；t＝5 s時，速度最大，B項錯；2～4 s內(nèi)加速度保持不變且不為零，速度
22、一定變化，C項錯；0～4 s內(nèi)與0～6 s內(nèi)圖線與坐標(biāo)軸所圍面積相等，故物體4 s末和6 s末速度相同，由動能定理可知，兩段時間內(nèi)合力對物體做功相等，D項對．]
遷移3 動能定理與F-x圖象的結(jié)合
3．如圖5-2-11甲所示，長為4 m的水平軌道AB與半徑為R＝0.6 m的豎直半圓弧軌道BC在B處相連接，有一質(zhì)量為1 kg的滑塊(大小不計)，從A處由靜止開始受水平向右的力F作用，F(xiàn)的大小隨位移變化的關(guān)系如圖乙所示，滑塊與AB間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.25，與BC間的動摩擦因數(shù)未知，g取10 m/s2.求：
甲 乙
圖5-2-11
(1)滑塊到達B處
23、時的速度大??；
(2)滑塊在水平軌道AB上運動前2 m過程所用的時間；
(3)若到達B點時撤去力F，滑塊沿半圓弧軌道內(nèi)側(cè)上滑，并恰好能到達最高點C，則滑塊在半圓弧軌道上克服摩擦力所做的功是多少？
[題眼點撥]?、佟癋大小隨位移變化的關(guān)系”要看到F方向及大小的變化；②“與BC間動摩擦因數(shù)未知”涉及BC間摩擦力或功等問題時要靈活運用動能定理．
[解析](1)對滑塊從A到B的過程，由動能定理得
F1x1－F3x3－μmgx＝mv
代入數(shù)值解得vB＝2 m/s.
(2)在前2 m內(nèi)，有F1－μmg＝ma，且x1＝at
解得t1＝ s.
(3)當(dāng)滑塊恰好能到達最高點C時，有：mg＝m
24、
對滑塊從B到C的過程，由動能定理得：
W－mg·2R＝mv－mv
代入數(shù)值得W＝－5 J，即克服摩擦力做的功為5 J.
[答案](1)2 m/s (2) s (3)5 J
打樁機是利用沖擊力將樁貫入地層的樁工機械．某同學(xué)對打樁機的工作原理產(chǎn)生了興趣．他構(gòu)建了一個打樁機的簡易模型，如圖甲所示．他設(shè)想，用恒定大小的拉力F拉動繩端B，使物體從A點(與釘子接觸處)由靜止開始運動，上升一段高度后撤去F，物體運動到最高點后自由下落并撞擊釘子，將釘子打入一定深度．按此模型分析，若物體質(zhì)量m＝1 kg，上升了1 m高度時撤去拉力，撤去拉力前物體的動能Ek與上升高度h的關(guān)系圖象如圖乙所示．(g取1
25、0 m/s2，不計空氣阻力)
丙
(1)求物體上升到0.4 m高度處F的瞬時功率；
(2)若物體撞擊釘子后瞬間彈起，且使其不再落下，釘子獲得20 J的動能向下運動．釘子總長為10 cm.撞擊前插入部分可以忽略，不計釘子重力．已知釘子在插入過程中所受阻力Ff與深度x的關(guān)系圖象如圖丙所示，求釘子能夠插入的最大深度．
[解析](1)撤去F前，根據(jù)動能定理，有
(F－mg)h＝Ek－0
由題圖乙得，斜率為k＝F－mg＝20 N，得F＝30 N
又由題圖乙得，h＝0.4 m時，Ek＝8 J
則v＝4 m/s，P＝Fv＝120 W.
(2)碰撞后，對釘子，有－fx′＝0－Ek′
已知Ek′＝20 J，f＝
又由題圖丙得k′＝105 N/m，解得：x′＝0.02 m.
[答案](1)120 W (2)0.02 m
13
2019年高考物理一輪復(fù)習(xí) 第5章 機械能及其守恒定律 第2節(jié) 動能定理學(xué)案 新人教版
