2019版高考物理一輪復(fù)習(xí) 第五章 機(jī)械能及其守恒定律 第3講 機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用學(xué)案
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1、 第3講 機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用 微知識(shí)1 機(jī)械能 1.重力做功的特點(diǎn) 重力做功與運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān),只與初末位置的高度差有關(guān),大?。篧G=mgΔh。 2.重力勢(shì)能 (1)概念:物體的重力勢(shì)能等于它所受重力與所處高度的乘積。公式:Ep=mgh。 (2)重力勢(shì)能是標(biāo)量,但有正、負(fù),其意義是表示物體的重力勢(shì)能比它在參考平面上大還是小,這與功的正、負(fù)的物理意義不同。 (3)重力勢(shì)能是物體和地球共有的。重力勢(shì)能具有相對(duì)性,重力勢(shì)能的大小與參考平面的選取有關(guān)。重力勢(shì)能的變化是絕對(duì)的,與參考平面的選擇無關(guān)。 (4)重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系:重力做正功時(shí),重力勢(shì)能減少;重力做負(fù)功時(shí),
2、重力勢(shì)能增加;重力做多少正(負(fù))功,重力勢(shì)能就減少(增加)多少,即WG=-ΔEp。 3.彈性勢(shì)能 (1)概念:物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能。 (2)大?。簭椥詣?shì)能的大小與形變量及勁度系數(shù)有關(guān),彈簧的形變量越大,勁度系數(shù)越大,彈簧的彈性勢(shì)能越大。 (3)彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系:彈力做正功,彈性勢(shì)能減少;彈力做負(fù)功,彈性勢(shì)能增加。即彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)過程中彈力做正功,彈性勢(shì)能減少,形變量變大的過程中彈力做負(fù)功,彈性勢(shì)能增加。 微知識(shí)2 機(jī)械能守恒定律 1.內(nèi)容 在只有重力(或彈簧的彈力)做功的物體系統(tǒng)內(nèi),動(dòng)能與重力勢(shì)能(或彈性勢(shì)能)可以相互轉(zhuǎn)化,而總的機(jī)械能保持不變。 2.表達(dá)式
3、:Ek1+Ep1=Ek2+Ep2。 3.機(jī)械能守恒的條件 對(duì)單個(gè)物體,只有重力做功;對(duì)系統(tǒng),只有重力或系統(tǒng)內(nèi)的彈簧彈力做功。 一、思維辨析(判斷正誤,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”。) 1.被舉到高處的物體的重力勢(shì)能一定不為零。(×) 2.重力做正功物體的重力勢(shì)能反而是減小的。(√) 3.彈簧彈力做正功時(shí),彈性勢(shì)能增加。(×) 4.物體受到的合外力為零,物體的機(jī)械能一定守恒。(×) 5.物體除受重力外還受其他力作用,但其他力不做功,則物體的機(jī)械能一定守恒。(√) 二、對(duì)點(diǎn)微練 1.(重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系)將質(zhì)量為100 kg的物體從地面提升到10 m高處,在這個(gè)
4、過程中,下列說法正確的是(取g=10 m/s2)( ) A.重力做正功,重力勢(shì)能增加1.0×104 J B.重力做正功,重力勢(shì)能減少1.0×104 J C.重力做負(fù)功,重力勢(shì)能增加1.0×104 J D.重力做負(fù)功,重力勢(shì)能減少1.0×104 J 解析 WG=-mgh=-1.0×104 J,ΔEp=-WG=1.0×104 J,C項(xiàng)正確。 答案 C 2.(彈簧彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系) 如圖所示,在光滑水平面上有一物體,它的左端連接著一輕彈簧,彈簧的另一端固定在墻上,在力F作用下物體處于靜止?fàn)顟B(tài),當(dāng)撤去力F后,物體將向右運(yùn)動(dòng),在物體向右運(yùn)動(dòng)的過程中,下列說法正確的是( )
5、 A.彈簧的彈性勢(shì)能逐漸減少 B.物體的機(jī)械能不變 C.彈簧的彈性勢(shì)能先增加后減少 D.彈簧的彈性勢(shì)能先減少后增加 解析 因彈簧左端固定在墻上,右端與物體連接,故撤去F后,彈簧先伸長(zhǎng)到原長(zhǎng)后,再被物體拉伸,其彈性勢(shì)能先減少后增加,物體的機(jī)械能先增大后減小,故D項(xiàng)正確,A、B、C項(xiàng)錯(cuò)誤。 答案 D 3.(對(duì)機(jī)械能守恒的理解)(多選)下列關(guān)于機(jī)械能是否守恒的論述,正確的是( ) A.做變速曲線運(yùn)動(dòng)的物體,機(jī)械能可能守恒 B.沿水平面運(yùn)動(dòng)的物體,機(jī)械能一定守恒 C.合外力對(duì)物體做功等于零時(shí),物體的機(jī)械能一定守恒 D.只有重力對(duì)物體做功時(shí),機(jī)械能一定守恒 解析 判斷機(jī)械
6、能是否守恒,就要依據(jù)機(jī)械能守恒的條件來分析。要看是不是只有重力(或系統(tǒng)內(nèi)彈簧的彈力)做功,而不是看物體如何運(yùn)動(dòng)。物體做變速曲線運(yùn)動(dòng),機(jī)械能可能守恒,如平拋運(yùn)動(dòng),A項(xiàng)對(duì);合外力做功為零,只是動(dòng)能不變,勢(shì)能的變化情況不確定,機(jī)械能不一定守恒,如物體勻速下落,機(jī)械能減少,C項(xiàng)錯(cuò);沿水平面運(yùn)動(dòng)的物體,重力勢(shì)能不變,如果不是勻速,動(dòng)能發(fā)生變化,機(jī)械能就不守恒,B項(xiàng)錯(cuò);只有重力對(duì)物體做功時(shí),機(jī)械能一定守恒,D項(xiàng)對(duì)。 答案 AD 4.(機(jī)械能守恒定律的簡(jiǎn)單應(yīng)用)在同一位置以相同的速率把三個(gè)小球分別沿水平、斜向上、斜向下方向拋出,不計(jì)空氣阻力,則落在同一水平地面時(shí)的速度大小( ) A.一樣大 B
7、.水平拋的最大 C.斜向上拋的最大 D.斜向下拋的最大 解析 不計(jì)空氣阻力,小球在空中只受重力作用,機(jī)械能守恒。拋出時(shí)高度、速度大小相等,落地時(shí)速度大小一定相等。 答案 A 見學(xué)生用書P076 微考點(diǎn) 1 機(jī)械能守恒的判斷 核|心|微|講 機(jī)械能守恒的判斷方法 1.利用機(jī)械能的定義判斷(直接判斷):若物體動(dòng)能、勢(shì)能均不變,則機(jī)械能不變。若一個(gè)物體動(dòng)能不變、重力勢(shì)能變化,或重力勢(shì)能不變、動(dòng)能變化或動(dòng)能和重力勢(shì)能同時(shí)增加(減小),其機(jī)械能一定變化。 2.用做功判斷:若物體或系統(tǒng)只有重力(或彈簧的彈力)做功,雖受其他力,但其他力不做功,機(jī)械能守恒。 3.用能量轉(zhuǎn)化來判斷
8、:若物體或系統(tǒng)中只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化而無機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化,則物體或系統(tǒng)機(jī)械能守恒。 4.對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng),除考慮外力是否只有重力做功外,還要考慮系統(tǒng)內(nèi)力做功,如有滑動(dòng)摩擦力做功時(shí),因摩擦生熱,系統(tǒng)機(jī)械能將有損失。 典|例|微|探 【例1】(多選)如圖所示,一輕彈簧一端固定在O點(diǎn),另一端系一小球,將小球從與懸點(diǎn)O在同一水平面且使彈簧保持原長(zhǎng)的A點(diǎn)無初速度地釋放,讓小球自由擺下,不計(jì)空氣阻力,在小球由A點(diǎn)擺向最低點(diǎn)B的過程中,下列說法正確的是( ) A.小球的機(jī)械能守恒 B.小球的機(jī)械能減少 C.小球的重力勢(shì)能與彈簧的彈性勢(shì)能之和不變 D.小球和彈簧組成的系統(tǒng)
9、機(jī)械能守恒 【解題導(dǎo)思】 (1)若以小球?yàn)檠芯繉?duì)象,其機(jī)械能守恒嗎? 答:不守恒,對(duì)小球不只有重力做功,還有彈簧彈力對(duì)其做功,其機(jī)械能發(fā)生變化。 (2)若以小球和彈簧整體為研究對(duì)象,機(jī)械能守恒嗎? 答:守恒,對(duì)小球和彈簧整體,有重力和彈簧彈力做功,小球動(dòng)能、重力勢(shì)能和彈簧彈性勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化,但總機(jī)械能不變。 解析 小球由A點(diǎn)下擺到B點(diǎn)的過程中,彈簧被拉長(zhǎng),彈簧的彈力對(duì)小球做了負(fù)功,所以小球的機(jī)械能減少,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤,B項(xiàng)正確;在此過程中,由于有重力和彈簧的彈力做功,所以小球與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,即小球減少的重力勢(shì)能等于小球獲得的動(dòng)能與彈簧增加的彈性勢(shì)能之和,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,D項(xiàng)
10、正確。 答案 BD 【易錯(cuò)警示】 1.機(jī)械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零,更不是合外力為零。“只有重力做功”不等于“只有重力作用”。 2.分析機(jī)械能是否守恒時(shí),必須明確要研究的系統(tǒng)。 題|組|微|練 1.如圖所示,斜劈劈尖頂著豎直墻壁靜止于水平面上,現(xiàn)將一小球從圖示位置靜止釋放,不計(jì)一切摩擦,則在小球從釋放到落至地面的過程中,下列說法正確的是( ) A.斜劈對(duì)小球的彈力不做功 B.斜劈與小球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒 C.斜劈的機(jī)械能守恒 D.小球重力勢(shì)能減小量等于斜劈動(dòng)能的增加量 解析 不計(jì)一切摩擦,小球下滑時(shí),小球和斜劈組成的系統(tǒng)只有小球重力做功,系統(tǒng)機(jī)械能
11、守恒,小球重力勢(shì)能減小量等于斜劈和小球動(dòng)能的增量之和,A、C、D項(xiàng)錯(cuò)。故選B項(xiàng)。 答案 B 2.一輕質(zhì)彈簧,固定于天花板上的O點(diǎn)處,原長(zhǎng)為L(zhǎng),如圖所示,一個(gè)質(zhì)量為m的物塊從A點(diǎn)豎直向上拋出,以速度v與彈簧在B點(diǎn)相接觸,然后向上壓縮彈簧,到C點(diǎn)時(shí)物塊速度為零,在此過程中無機(jī)械能損失,則下列說法正確的是( ) A.由A到C的過程中,動(dòng)能和重力勢(shì)能之和不變 B.由B到C的過程中,彈性勢(shì)能和動(dòng)能之和不變 C.由A到C的過程中,物塊m的機(jī)械能守恒 D.由B到C的過程中,物塊與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒 解析 物塊由A到C的過程中,只有重力、彈簧彈力做功,因此物塊與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能
12、守恒,由A到B的過程中,彈性勢(shì)能不變,物塊動(dòng)能與重力勢(shì)能之和不變,但物塊由B到C的過程中,彈性勢(shì)能增大,物塊的機(jī)械能減小,重力勢(shì)能增大,彈性勢(shì)能與動(dòng)能之和減小,故只有D項(xiàng)正確。 答案 D 微考點(diǎn) 2 單個(gè)物體的機(jī)械能守恒問題 核|心|微|講 1.機(jī)械能守恒問題的各種表達(dá)形式 形式 表達(dá)式 意義 最適合的 研究對(duì)象 守恒 形式 mgh+mv2= mgh′+mv′2 運(yùn)動(dòng)過程中初、末兩狀態(tài)的機(jī)械能相等 單個(gè)物體 轉(zhuǎn)化 形式 ΔEp=-ΔEk 動(dòng)能的增加量等于勢(shì)能的減少量 一個(gè)或 多個(gè)物體 轉(zhuǎn)移 形式 ΔEA=-ΔEB A物體增加的機(jī)械能等于B物體
13、減少的機(jī)械能 兩個(gè)物體 特別提醒 用“守恒形式”時(shí),需要規(guī)定重力勢(shì)能的參考平面。用“轉(zhuǎn)化形式”和“轉(zhuǎn)移形式”時(shí)則不必規(guī)定重力勢(shì)能的參考平面,因?yàn)橹亓?shì)能的改變量與參考平面的選取沒有關(guān)系。 2.解題步驟 (1)確定研究對(duì)象和研究過程。 (2)判斷機(jī)械能是否守恒。 (3)選定一種表達(dá)式,列式求解。 典|例|微|探 【例2】如圖,在豎直平面內(nèi)有由圓弧AB和圓弧BC組成的光滑固定軌道,兩者在最低點(diǎn)B平滑連接。AB弧的半徑為R,BC弧的半徑為。一小球在A點(diǎn)正上方與A相距處由靜止開始自由下落,經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)。 (1)求小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比。 (2)通過計(jì)算判斷小球能否
14、沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。 【解題導(dǎo)思】 (1)小球由靜止開始經(jīng)A到B的過程中有哪些力做功?小球的機(jī)械能守恒嗎? 答:只有重力做功,機(jī)械能守恒。 (2)假設(shè)小球能到達(dá)C點(diǎn),在C點(diǎn)小球受力又如何? 答:假設(shè)小球到達(dá)C點(diǎn),在C點(diǎn)時(shí)滿足N≥0。 解析 (1)設(shè)小球的質(zhì)量為m,小球在A點(diǎn)的動(dòng)能為EkA,由機(jī)械能守恒得 EkA=mg,① 設(shè)小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為EkB,同理有EkB=mg,② 由①②式得=5。③ (2)若小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn),小球在C點(diǎn)所受軌道的正壓力N應(yīng)滿足N≥0。④ 設(shè)小球在C點(diǎn)的速度大小為vC,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和向心加速度公式有 N+mg=m,⑤ 由④⑤式得,vC應(yīng)
15、滿足 mg≤m,⑥ 由機(jī)械能守恒有mg=mv,⑦ 由⑥⑦式可知,小球恰好可以沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。 答案 (1)5 (2)恰好運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn) 題|組|微|練 3.一小球以初速度v0豎直上拋,它能到達(dá)的最大高度為H,如圖的幾種情況中,小球不可能達(dá)到高度H的是(忽略空氣阻力)( ) A.以初速度v0沿光滑斜面向上運(yùn)動(dòng)(圖甲) B.以初速度v0沿光滑的拋物線軌道,從最低點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)(圖乙) C.以初速度v0沿半徑為R的光滑圓軌道,從最低點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)(圖丙,H>R>) D.以初速度v0沿半徑為R的光滑圓軌道,從最低點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)(圖丁,R>H) 解析 四種情況中只有C中到達(dá)最大高度時(shí)速度不
16、能為零,故不能達(dá)到高度H。 答案 C 4.(多選)由光滑細(xì)管組成的軌道如圖所示,其中AB段和BC段是半徑為R的四分之一圓弧,軌道固定在豎直平面內(nèi)。一質(zhì)量為m的小球,從距離水平地面高為H的管口D處由靜止釋放,最后能夠從A端水平拋出落到地面上。下列說法正確的是( ) A.小球落到地面時(shí)相對(duì)于A點(diǎn)的水平位移值為2 B.小球落到地面時(shí)相對(duì)于A點(diǎn)的水平位移值為2 C.小球能從細(xì)管A端水平拋出的條件是H>2R D.小球能從細(xì)管A端水平拋出的最小高度Hmin=R 解析 要使小球從A點(diǎn)水平拋出,則小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度v>0,根據(jù)機(jī)械能守恒定律,有mgH-mg·2R=mv2,所以H>2R,
17、故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤;小球從A點(diǎn)水平拋出時(shí)的速度v=,小球離開A點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng),則有2R=gt2,水平位移x=vt,聯(lián)立以上各式可得水平位移x=2 ,選項(xiàng)A錯(cuò)誤,選項(xiàng)B正確。 答案 BC 微考點(diǎn) 3 多個(gè)物體組成系統(tǒng)的機(jī)械能守恒的應(yīng)用 核|心|微|講 1.對(duì)多個(gè)物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運(yùn)動(dòng)過程中,系統(tǒng)的機(jī)械能是否守恒。 2.注意尋找用繩或桿連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系。 3.列機(jī)械能守恒方程時(shí),一般選用ΔEk=-ΔEp的形式。 典|例|微|探 【例3】 (多選)如圖所示,在傾角θ=30°的光滑固定斜面上,放有兩個(gè)質(zhì)量分別為1 kg和2 kg
18、的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B,兩球之間用一根長(zhǎng)L=0.2 m的輕桿相連,小球B距水平面的高度h=0.1 m。兩球從靜止開始下滑到光滑地面上,不計(jì)球與地面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失,g取10 m/s2,則下列說法正確的是( ) A.下滑的整個(gè)過程中A球機(jī)械能守恒 B.下滑的整個(gè)過程中兩球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒 C.兩球在光滑水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小為2 m/s D.下滑的整個(gè)過程中B球機(jī)械能的增加量為 J 【解題導(dǎo)思】 (1)以A、B整體為研究對(duì)象,機(jī)械能守恒嗎? 答:機(jī)械能守恒。 (2)以A或B為研究對(duì)象,其機(jī)械能守恒嗎? 答:不守恒。 解析 當(dāng)小球A在斜面上、小球B在平面上時(shí)桿
19、分別對(duì)A、B做功,因此下滑的整個(gè)過程中A球機(jī)械能不守恒,而兩球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,A項(xiàng)錯(cuò)誤,B項(xiàng)正確;從開始下滑到兩球在光滑水平面上運(yùn)動(dòng),利用機(jī)械能守恒定律可得mAg(Lsin30°+h)+mBgh=(mA+mB)v2,解得v= m/s,C項(xiàng)錯(cuò)誤;下滑的整個(gè)過程中B球機(jī)械能的增加量為ΔE=mBv2-mBgh= J,D項(xiàng)正確。 答案 BD 題|組|微|練 5.如圖所示,把小車放在光滑的水平桌面上,用輕繩跨過定滑輪使之與盛有沙子的小桶相連,已知小車的質(zhì)量為M,小桶與沙子的總質(zhì)量為m,把小車從靜止?fàn)顟B(tài)釋放后,在小桶下落豎直高度為h的過程中,若不計(jì)滑輪及空氣的阻力,下列說法正確的是( )
20、 A.m處于完全失重狀態(tài) B.輕繩對(duì)小車的拉力等于mg C.小桶獲得的動(dòng)能為 D.運(yùn)動(dòng)中小車的機(jī)械能增加,M和m組成系統(tǒng)機(jī)械能不守恒 解析 小車從靜止釋放后,以m為研究對(duì)象,有mg-T=ma,以M為研究對(duì)象,有T=Ma,解得a=、T=,選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤;由v2=2ah及Ek=mv2可知,下落h的過程中小車獲得的動(dòng)能為Ek=mah=,選項(xiàng)C正確;因?yàn)椴挥?jì)滑輪及空氣阻力且水平桌面光滑,所以運(yùn)動(dòng)過程中無機(jī)械能損失,故M和m組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒,選項(xiàng)D錯(cuò)誤。 答案 C 6.(多選)如圖所示,滑塊a、b的質(zhì)量均為m,a套在固定豎直桿上,與光滑水平地面相距h,b放在地面上。a、b通過鉸鏈用剛
21、性輕桿連接,由靜止開始運(yùn)動(dòng)。不計(jì)摩擦,a、b可視為質(zhì)點(diǎn),重力加速度大小為g,則( ) A.a(chǎn)落地前,輕桿對(duì)b一直做正功 B.a(chǎn)落地時(shí)速度大小為 C.a(chǎn)下落過程中,其加速度大小始終不大于g D.a(chǎn)落地前,當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí),b對(duì)地面的壓力大小為mg 解析 設(shè)輕桿與豎直桿夾角為θ,某一時(shí)刻a、b速度分別為va、vb,則vacosθ=vbsinθ。當(dāng)a落到地面時(shí),θ=90°,cosθ=0,故vb為0,可知a下落過程中b先加速后減速,輕桿對(duì)b先做正功后做負(fù)功,A項(xiàng)錯(cuò)誤;輕桿對(duì)a的力先為支持力后為拉力,故a的加速度先小于g后大于g,C項(xiàng)錯(cuò)誤;由于a、b系統(tǒng)只有重力做功,故a、b機(jī)械能守恒
22、,a落地時(shí)b速度為零,由機(jī)械能守恒定律得mgh=mv,得va=,B項(xiàng)正確;當(dāng)a機(jī)械能最小時(shí),b的機(jī)械能最大,即動(dòng)能最大,此時(shí)F桿=0,故N=mg,D項(xiàng)正確。 答案 BD 見學(xué)生用書P078 與彈簧有關(guān)的機(jī)械能守恒問題 素能培養(yǎng) 對(duì)兩個(gè)(或兩個(gè)以上)物體與彈簧組成的系統(tǒng)在相互作用的過程中,在能量方面,由于彈簧的形變會(huì)具有彈性勢(shì)能,系統(tǒng)的總動(dòng)能將發(fā)生變化,若系統(tǒng)所受的外力和除彈簧彈力以外的內(nèi)力不做功,系統(tǒng)機(jī)械能守恒。若還有其他外力和內(nèi)力做功,這些力做功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能改變量。做功之和為正,系統(tǒng)總機(jī)械能增加,反之減少。在相互作用過程特征方面,彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(zhǎng)(或壓
23、縮至最短)時(shí),兩端的物體具有相同的速度,彈性勢(shì)能最大。如系統(tǒng)每個(gè)物體除彈簧彈力外所受合力為零,當(dāng)彈簧為自然長(zhǎng)度時(shí),系統(tǒng)內(nèi)彈簧某一端的物體具有最大速度(如繃緊的彈簧由靜止釋放)。 經(jīng)典考題 輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2l,將彈簧豎直放置在地面上,在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放,當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí),彈簧長(zhǎng)度為l?,F(xiàn)將該彈簧水平放置,一端固定在A點(diǎn),另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長(zhǎng)度為5l的水平軌道,B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切,半圓的直徑BD豎直,如圖所示。物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5。用外力推動(dòng)物塊P,將彈簧壓縮至長(zhǎng)度l,然后放開,P開始沿軌道運(yùn)動(dòng)。重力加速度大小
24、為g。 (1)若P的質(zhì)量為m,求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小,以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離。 (2)若P能滑上圓軌道,且仍能沿圓軌道滑下,求P的質(zhì)量的取值范圍。 解析 (1)依題意,當(dāng)彈簧豎直放置,長(zhǎng)度被壓縮至l時(shí),質(zhì)量為5m的物體的動(dòng)能為零,其重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能。由機(jī)械能守恒定律,彈簧長(zhǎng)度為l時(shí)的彈性勢(shì)能 Ep=5mgl,① 設(shè)P的質(zhì)量為M,到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為vB,由能量守恒定律得 Ep=Mv+μMg·4l,② 聯(lián)立①②式,取M=m并代入題給數(shù)據(jù)得 vB=。③ 若P能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn),其到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的向心力不能小于重力,即P此時(shí)的速度大小v應(yīng)
25、滿足
-mg≥0,④
設(shè)P滑到D點(diǎn)時(shí)的速度為vD,由機(jī)械能守恒定律得
mv=mv+mg·2l,⑤
聯(lián)立③⑤式得vD=。⑥
vD滿足④式要求,故P能運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn),并從D點(diǎn)以速度vD水平射出。設(shè)P落回到軌道AB所需的時(shí)間為t,由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得2l=gt2,⑦
P落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離為
s=vDt,⑧
聯(lián)立⑥⑦⑧式得s=2l。⑨
(2)為使P能滑上圓軌道,它到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度不能小于零。由①②式可知5mgl>μMg·4l,
要使P仍能沿圓軌道滑回,P在圓軌道上的上升高度不能超過半圓軌道的中點(diǎn)C。由機(jī)械能守恒定律有
Mv≤Mgl,?
聯(lián)立①②⑩?式得
m≤M 26、
答案 (1) 2l (2)m≤M 27、機(jī)械能守恒,在圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)圓環(huán)減小的重力勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化成彈簧的彈性勢(shì)能,Ep=mgL,B項(xiàng)正確;圓環(huán)剛開始運(yùn)動(dòng)時(shí)合力向下,加速下滑,當(dāng)合力為零時(shí)速度最大,在最低點(diǎn)速度減小到零,合力方向應(yīng)向上,C項(xiàng)錯(cuò)誤;下滑過程中,圓環(huán)先加速后減速,動(dòng)能一直改變,因此圓環(huán)重力勢(shì)能與彈簧彈性勢(shì)能之和也改變,D項(xiàng)錯(cuò)誤。
答案 B
2.(多選)如圖所示,一質(zhì)量為m的小球置于半徑為R的光滑豎直圓軌道最低點(diǎn)A處,B為軌道最高點(diǎn),C、D為圓的水平直徑兩端點(diǎn)。輕質(zhì)彈簧的一端固定在圓心O點(diǎn),另一端與小球拴接,已知彈簧的勁度系數(shù)為k=,原長(zhǎng)為L(zhǎng)=2R,彈簧始終處于彈性限度內(nèi),若給小球一水平初速度v0,已知重力加速度為g 28、,則( )
A.無論v0多大,小球均不會(huì)離開圓軌道
B.若 29、的彈力和軌道的支持力不做功,機(jī)械能守恒,當(dāng)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)速度為零,在最低點(diǎn)的速度最小,有mv=2mgR,解得v0=2,所以只要v0>2,小球就能做完整的圓周運(yùn)動(dòng),選項(xiàng)C正確;在最低點(diǎn)時(shí),設(shè)小球受到的支持力為N,有
N-kR-mg=,解得
N=2mg+m。①
運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)受到軌道的支持力最小,設(shè)為N′,設(shè)此時(shí)的速度為v,由機(jī)械能守恒有
mv=2mgR+mv2,②
此時(shí)合外力提供向心力,有
N′-kR+mg=m,③
聯(lián)立②③解得N′=m-4mg,④
聯(lián)立①④得壓力差為ΔN=6mg,與初速度無關(guān),選項(xiàng)D正確。
答案 ACD
見學(xué)生用書P079
1. (多選)如圖所示,A物 30、體用板托著,細(xì)繩跨過輕質(zhì)光滑定滑輪與A、B相連,繩處于繃直狀態(tài),已知A、B的質(zhì)量分別為2m和m?,F(xiàn)將板抽走,則A下落一段距離的過程中( )
A.A物體減少的機(jī)械能大于B物體增加的機(jī)械能
B.A物體減少的機(jī)械能等于B物體增加的機(jī)械能
C.懸掛滑輪的繩子對(duì)天花板的拉力大于3mg
D.懸掛滑輪的繩子對(duì)天花板的拉力小于3mg
解析 對(duì)A、B組成的系統(tǒng),沒有機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化,因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,A物體減少的機(jī)械能等于B物體增加的機(jī)械能,A項(xiàng)錯(cuò)誤,B項(xiàng)正確;對(duì)滑輪受力分析,根據(jù)平衡條件得F=2T,對(duì)A、B整體受力分析,根據(jù)牛頓第二定律得2mg-mg=3ma,對(duì)B物體受力分析得T- 31、mg=ma,聯(lián)立得F=2T=mg,C項(xiàng)錯(cuò)誤,D項(xiàng)正確。
答案 BD
2. (多選)如圖所示,光滑半球的半徑為R,球心為O,固定在水平面上,其上方有一個(gè)光滑曲面軌道AB,高度為。軌道底端水平并與半球頂端相切,質(zhì)量為m的小球由A點(diǎn)靜止滑下,最后落在水平面上的C點(diǎn),重力加速度為g,則( )
A.小球?qū)⒀匕肭虮砻孀鲆欢螆A周運(yùn)動(dòng)后拋至C點(diǎn)
B.小球?qū)腂點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn)
C.OC之間的距離為2R
D.小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的速率為
解析 小球從A到B的過程中,根據(jù)機(jī)械能守恒可得mg·=mv2-0,解得v=,而在B點(diǎn),當(dāng)重力完全充當(dāng)向心力時(shí),根據(jù)mg=m,解得vB=,故當(dāng)小球到達(dá)B點(diǎn) 32、時(shí),重力恰好完全充當(dāng)向心力,所以小球從B點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)到達(dá)C,A項(xiàng)錯(cuò)誤,B項(xiàng)正確;根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律,水平方向上x=vBt,豎直方向上R=gt2,解得x=R,C項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)整個(gè)過程機(jī)械能守恒,故有mgR=mv,解得vC=,D項(xiàng)正確。
答案 BD
3.如圖所示,輕繩的一端固定在O點(diǎn),另一端系一質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點(diǎn))。當(dāng)小球在豎直平面內(nèi)沿逆時(shí)針方向做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),通過傳感器測(cè)得輕繩拉力T、輕繩與豎直線OP的夾角θ滿足關(guān)系式T=a+bcosθ,式中a、b為常數(shù)。若不計(jì)空氣阻力,則當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹? )
A. B.
C. D.
解析 在最高點(diǎn)時(shí),設(shè)此時(shí)物體的速度為v1,由 33、題意可知θ=180°,繩的拉力T1=a-b;
根據(jù)向心力公式有mg+a-b=。
在最低點(diǎn)時(shí),設(shè)此時(shí)物體的速度為v2,由題意可知
θ=0°,繩的拉力T2=a+b;
根據(jù)向心力公式有a+b-mg=。
只有重力做功,由機(jī)械能守恒定律,知
mv=mv+mg(2r),
解得g=,所以D項(xiàng)正確。
答案 D
4.如圖所示,一直角斜面體固定在水平地面上,左側(cè)斜面傾角為60°,右側(cè)斜面傾角為30°,A、B兩個(gè)物體分別系于一根跨過定滑輪的輕繩兩端且分別置于斜面上,兩物體下邊緣位于同一高度且處于平衡狀態(tài),不考慮所有的摩擦,滑輪兩邊的輕繩都平行于斜面。若剪斷輕繩,讓物體從靜止開始沿斜面滑下,下列敘 34、述錯(cuò)誤的是( )
A.著地瞬間兩物體的速度大小相等
B.著地瞬間兩物體的機(jī)械能相等
C.著地瞬間兩物體所受重力的功率相等
D.兩物體的質(zhì)量之比為mA∶mB=1∶
解析 根據(jù)初始時(shí)刻兩物體處于平衡狀態(tài),由平衡條件可知,mAgsin60°=mBgsin30°,由此可得,兩物體的質(zhì)量之比為mA∶mB=1∶;由機(jī)械能守恒定律可知,著地瞬間兩物體的速度大小相等,選項(xiàng)A、D敘述正確;著地瞬間,A物體重力功率PA=mAgvsin60°,B物體重力功率PB=mBgvsin30°,兩物體所受重力的功率相等,選項(xiàng)C敘述正確;由于兩物體質(zhì)量不等,初始狀態(tài)兩物體的機(jī)械能不等,所以著地瞬間兩物體的機(jī)械能不相等,選項(xiàng)B敘述錯(cuò)誤。
答案 B
16
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