15、α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距離x′越短．以v水的矢尖為圓心，以v船的大小為半徑畫圓，當(dāng)合速度v與圓相切時，α角最大．
則cos θ＝＝，故船頭與上游河岸的夾角θ＝53°
又＝＝，代入數(shù)據(jù)解得x′≈267 m.
【變式1】(2019·安徽合肥模擬)如圖所示，在寬為H的河流中，甲、乙兩船從相距H，A、B兩個碼頭同
時開始渡河，船頭與河岸均成60°角，兩船在靜水中的速度大小相等，且乙船恰能沿BC到達正對岸的C.
則下列說法正確的是( )
A．兩船不會相遇 B．兩船在C點相遇
C．兩船在AC的中點相遇 D．兩船在BC的中點相遇
【答案】 D
【解
16、析】 設(shè)兩船在靜水中的速度大小為v，根據(jù)題述乙船恰能沿BC到達正好岸的C可知，vcos 60°＝v水，渡河時間t＝＝，甲船沿河岸方向分速度vcos 60°＝，在渡河時間t＝內(nèi)甲船沿河岸方向位移s＝(vcos 60°＋v水)t＝(＋)＝，剛好等于A、B兩個碼頭之間距離的2倍，即兩船在BC的中點相遇，選項D正確A、B、C錯誤．
【變式2】如圖所示，河水流動的速度為v且處處相同，河寬度為a.在船下水點A的下游距
離為b處是瀑布．為了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)，則 ( )
A．小船船頭垂直河岸渡河時間最短，最短時間為t＝
B．小船軌跡垂直河岸渡河位移最小，渡河速度最大，最大速度為v
17、max＝
C．當(dāng)小船沿軌跡AB渡河時，船在靜水中的最小速度為vmin＝
D．當(dāng)小船沿軌跡AB渡河時，船在靜水中的最小速度為vmin＝
【答案】D
【解析】當(dāng)小船船頭垂直河岸渡河，時間最短，最短時間為t＝，且t必須小于或等于，故選項A錯誤；小船軌跡垂直河岸渡河，位移最小，大小為a，但船頭必須指向上游，合速度不是最大，故選項B錯誤；小船沿軌跡AB運動，船在靜水中的速度最小時，速度方向與AB垂直，可得vmin＝，故選項C錯誤，D正確．
【變式3】．(多選)船在靜水中的速度與時間的關(guān)系如圖甲所示，河水的流速與船離河岸的距
離的變化關(guān)系如圖乙所示，則 ( )
A．船渡河的最短時間6
18、0 s
B．要使船以最短時間渡河，船在行駛過程中，船頭必須始終與河岸垂直
C．船在河水中航行的軌跡是一條直線
D．船在河水中的最大速度是5 m/s
【答案】BD
【解析】當(dāng)船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，由乙圖可知河寬為d＝300 m，t＝＝100 s，故A錯誤，B正確．由于隨水流方向的分速度不斷變化，故合速度的大小和方向也不斷變化，船做曲線運動，故C錯誤；當(dāng)河水的流速取最大值4 m/s時，合速度最大，船在河水中的最大速度是v＝ m/s＝5 m/s，故D正確．
繩(桿)端速度分解模型
(1)模型特點：繩(桿)拉物體或物體拉繩(桿)，以及兩物體通過繩(桿)相連，物體運動方向與繩(桿
19、)不在一條直線上，求解運動過程中它們的速度關(guān)系，都屬于該模型．
(2)模型分析
①合運動→繩拉物體的實際運動速度v
②分運動→
(3)解題原則：根據(jù)沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解．常見實例如下：
情景圖示
(注：A沿斜
面下滑)
分解圖示
定量結(jié)論
vB＝vAcos θ
vAcos θ＝v0
vAcos α＝
vBcos β
vBsin α＝
vAcos α
基本思路
確定合速度(物體實際運動)→分析運動規(guī)律→確定分速度方向→平行四邊形定則求解
(4)解題思路
【例4】如圖所示，做勻速直線運動的小車A通過一根繞過
20、定滑輪的長繩吊起一重物B，設(shè)重物和小車速度的大小分別為vB、vA，則( )
A．vA＞vB B．vA＜vB C．繩的拉力等于B的重力 D．繩的拉力大于B的重力
【答案】 AD
【解析】小車A向左運動的過程中，小車的速度是合速度，可分解為沿繩方向與垂直于繩方向的速度，如圖所示，由圖可知vB＝vAcos θ，則vB＜vA，小車向左運動的過程中θ角減小，vB增大，B向上做加速運動，故繩的拉力大于B的重力．故選項A、D正確．
【變式1】如圖所示，一根長直輕桿AB在墻角沿豎直墻與水平地面滑動．當(dāng)AB桿和墻的夾角為θ時，桿的A
21、端沿墻下滑的速度大小為v1，B端沿地面滑動的速度大小為v2，則v1、v2的關(guān)系是( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2cos θ C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
【答案】C
【解析】.將A、B兩點的速度分解為沿AB方向與垂直于AB方向的分速度，沿AB方向的速度分別為v1∥和v2∥，由于AB不可伸長，兩點沿AB方向的速度分量應(yīng)相同，則有v1∥＝v1cos θ，v2∥＝v2sin θ，由v1∥＝v2∥，得v1＝v2tan θ，選項C正確．
【變式2】如圖所示，人在岸上拉船，不計繩與輪之間的摩擦，已知船的質(zhì)量為m
22、，水的阻力恒為f，當(dāng)輕繩與水平面的夾角為θ時，船的速度為v，此時人的拉力大小為F，則此時 ( )
A．人拉繩行走的速度為vcos θ B．人拉繩行走的速度為
C．船的加速度為D．船的加速度為
【答案】 AC
【解析】 將船的速度進行分解如圖所示，人拉繩行走的速度v人＝vcos θ，A對，B錯；繩對船的拉力等于人拉繩的力，即繩的拉力大小為F，與水平方向成θ角，因此Fcos θ－f＝ma，得a＝，C對，D錯．
【變式3】如圖所示，懸線一端固定在天花板上的O點，另一端穿過一張CD光盤的中央小孔后拴著一個橡膠球，橡膠球靜止時，豎直懸線剛好挨著水平桌面的邊沿．現(xiàn)將C
23、D光盤按在桌面上，并沿桌面邊緣以速度v勻速移動，移動過程中，CD光盤中央小孔始終緊挨桌面邊線，當(dāng)懸線與豎直方向的夾角為θ時，小球上升的速度大小為( )
A．vsin θ B．vcos θ C．vtan θ D.
【答案】A
【解析】由題意可知，懸線與光盤交點參與兩個運動，一是沿著懸線方向的運動，二是垂直懸線方向的運動，則合運動的速度大小為v，由數(shù)學(xué)三角函數(shù)關(guān)系，則有v線＝vsin θ；而懸線速度的大小，即為小球上升的速度大小，故A正確．
【題型演練】
1.如圖所示，豎直放置的兩端封閉的玻璃管中注
24、滿清水，內(nèi)有一個紅蠟塊能在水中勻速上?。诩t蠟塊從玻璃管的下端勻速上浮的同時，使玻璃管以速度v水平向右勻速運動．紅蠟塊由管口上升到頂端，所需時間為t，相對地面通過的路程為L.則下列說法正確的是( )
A．v增大時，L減小 B．v增大時，L增大
C．v增大時，t減小 D．v增大時，t增大
【答案】B
【解析】由合運動與分運動的等時性知，紅蠟塊沿管上升的高度和速度不變，運動時間不變，管勻速運動的速度越大，則合速度越大，合位移越大，選項B正確．
2.(2019·江西省贛州市十四縣市期中)下列關(guān)于力與運動的敘述中正確的是( )
A．物體所受合力方向與運動方向有夾角時，該物體速
25、度一定變化，加速度也變化
B．物體做圓周運動，所受的合力一定指向圓心
C．物體運動的速率在增加，所受合力方向與運動方向夾角小于90°
D．物體在變力作用下有可能做曲線運動，做曲線運動物體一定受到變力作用
【答案】 C
【解析】 物體所受合力方向與運動方向有夾角時，該物體速度一定變化，但加速度不一定變化，如平拋運動，A錯誤；若物體做變速圓周運動，則存在一個切向加速度，合力不指向圓心，B錯誤；合力方向與運動方向夾角小于90°時合力做正功，速度增大，C正確；如果變力與速度方向不共線，則做曲線運動，但做曲線運動的物體受到的合力可以為恒力，如平拋運動，D錯誤．
3.(2019·山東省青島市模
26、擬)如圖所示，光滑水平面內(nèi)的xOy直角坐標(biāo)系中，一質(zhì)量為1 kg的小球沿x軸正方向勻速運動，速度大小為1 m/s，經(jīng)過坐標(biāo)原點O時，小球受到的一沿y軸負方向、大小為1 N的恒力F突然撤去，其他力不變，則關(guān)于小球的運動，下列說法正確的是( )
A．做變加速曲線運動 B．任意兩段時間內(nèi)速度變化大小都相等
C．經(jīng)過x、y坐標(biāo)相等的位置時所用時間為1 s D．1 s末速度大小為 m/s
【答案】 D
4.(2019·四川新津中學(xué)摸底)如圖所示，大河的兩岸筆直且平行，現(xiàn)保持快艇船頭始終垂直于
河岸從岸邊某處開始先勻加速而后勻速駛向?qū)Π?，在快?/p>
27、離對岸還有一段距離時開始減速，
最后安全靠岸．若河水以穩(wěn)定的速度沿平行河岸方向流動，且整個河流中水的流速處處相等，
則快艇實際運動的軌跡可能是圖中的 ( )
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】D
【解析】在垂直于河岸方向上先做勻加速直線運動，即合力沿垂直于河岸方向并指向要駛向的對岸，且指向軌跡的內(nèi)側(cè)，然后做勻速直線運動，軌跡是一條與河岸有夾角的直線，再做減速運動，合力沿垂直于河岸方向并指向駛出的河岸，所以軌跡為④，故D正確．
5.(2019·廣西南寧模擬)下列圖中實線為河岸，河水的流動方向如圖中v的箭頭所示，虛線為
小船從河岸M駛向?qū)Π禢的實際航
28、線．則其中可能正確的是 ( )
【答案】AB
【解析】當(dāng)船頭垂直指向河岸時，船在靜水中的速度與水流速度的合速度方向偏向下游，故A正確，C錯誤；當(dāng)船頭偏上游時，若船在靜水中的速度與水流速度的合速度垂直河岸，則船的運動軌跡垂直河岸，故B正確；當(dāng)船頭偏向下游時，船在靜水中的速度與水流速度的合速度方向應(yīng)偏向下游，故D錯誤．
6．(2019·金華模擬)如圖所示，套在豎直細桿上的環(huán)A由跨過定滑輪的不可伸長的輕繩與重
物B相連．由于B的質(zhì)量較大，故在釋放B后，A將沿桿上升，當(dāng)A環(huán)上升至與定滑輪的
連線處于水平位置時，其上升速度v1≠0，若這時B的速度為v2，則 ( )
A．v2＝v1
29、 B．v2>v1 C．v2≠0 D．v2＝0
【答案】D
【解析】如圖所示，分解A上升的速度v，v2＝vcos α，當(dāng)A環(huán)上升至與定滑輪的連線處于水平位置時，α＝90°，故v2＝0，即B的速度為零，D正確．
7.(2019·河南名校聯(lián)考)如圖所示，這是質(zhì)點做勻變速曲線運動的軌跡的示意圖．已知質(zhì)點在B點的加速度方向與速度方向垂直，則下列說法中正確的是( )
A． C點的速率小于B點的速率
B．A點的加速度比C點的加速度大
C．C點的速率大于B點的速率
D．從A點到C點加速度與速度的夾角先增大后減小，
30、速率是先減小后增大
【答案】C
【解析】.質(zhì)點做勻變速曲線運動，B點到C點的過程中加速度方向與速度方向夾角小于90°，所以，C點的速率比B點速率大，故A錯誤，C正確；質(zhì)點做勻變速曲線運動，則加速度大小和方向不變，所以質(zhì)點經(jīng)過C點時的加速度與A點的相同，故B錯誤；若質(zhì)點從A點運動到C點，質(zhì)點運動到B點時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，則有A點速度與加速度方向夾角大于90°，C點的加速度方向與速度方向夾角小于90°，故D錯誤．
8.(2019·天津河西區(qū)模擬)如圖所示，A、B是兩個游泳運動員，他們隔著水流湍急的河流站在岸邊，A在上游的位置，且A的游泳技術(shù)比B好，現(xiàn)在兩個人同時下水游泳，要求
31、兩個人盡快在河中相遇，試問應(yīng)采取下列哪種方式比較好( )
A．A、B均向?qū)Ψ接?即沿圖中虛線方向)而不考慮水流作用
B．B沿圖中虛線向A游；A沿圖中虛線偏上方向游
C．A沿圖中虛線向B游；B沿圖中虛線偏上方向游
D．A、B均沿圖中虛線偏上方向游；A比B更偏上一些
【答案】A
【解析】.游泳運動員在河里游泳時同時參與兩種運動，一是被水沖向下游，二是沿自己劃行方向的劃行運動．游泳的方向是人相對于水的方向．選水為參考系，A、B兩運動員只有一種運動，由于兩點之間線段最短，所以選A.
9．(2019·鄂州模擬)一輕桿兩端分別固定質(zhì)量為mA和mB的兩個小球A和B(可視為質(zhì)點)．將其放在
32、一個光滑球形容器中從位置1開始下滑，如圖所示，當(dāng)輕桿到達位置2時球A與球形容器球心等高，其速度大小為v1，已知此時輕桿與水平方向夾角為θ＝30°，B球的速度大小為v2，則( )
A．v2＝v1 B．v2＝2v1 C．v2＝v1 D．v2＝v1
【答案】C
【解析】.球A與球形容器球心等高，速度v1方向豎直向下，速度分解如圖所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此時速度方向與桿夾角α＝60°，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿桿方向兩球速度相等，即v21＝v11，解得v
33、2＝v1，C項正確．
10.如圖甲、乙所示，一根長L的輕桿OA，O端用鉸鏈固定于地面，另一端固定著一小球A，圖甲中的小球A和圖乙中的桿分別貼靠著邊長為a和b的立方塊，當(dāng)立方塊沿地面向右滑動到圖示位置(桿與地面夾角為α)時，速度為v，則甲圖中小球的速度大小vA和乙圖中小球的速度大小v′A應(yīng)為( )
A．vA＝，v′A＝vsin α B．vA＝，v′A＝vsin α
C．vA＝vsin α，v′A＝ D．vA＝，v′A＝sin2α
【答案】D
【解析】.圖甲中，桿繞O轉(zhuǎn)動，球A的速度vA垂直于桿，將速度vA沿水平和豎直兩方向正交分解，則垂直于接觸面的水平分速度與立方塊的速度相等，如圖(a)所示，得vAsin α＝v，故vA＝，故B、C錯誤；
圖乙中，桿繞O轉(zhuǎn)動，桿頂端小球的速度v′A 和桿與立方塊接觸點的速度v1的方向都垂直于桿，桿上各點的角速度ω相同，則有 ＝.將立方塊的速度v沿桿的方向和垂直桿的方向正交分解，如圖(b)所示，則桿與立方塊接觸點的速度v1應(yīng)與立方塊垂直桿的方向的分速度相等，即v1＝vsin α，聯(lián)立以上兩式得v′A＝sin2α，故A錯誤，D正確．
17
2020年高考物理一輪復(fù)習(xí) 熱點題型歸納與變式演練 專題07 曲線運動及其實例分析（含解析）
