2019版高考物理一輪復習 第一章 運動的描述 勻變速直線運動的研究 第3講 運動的圖象 追及和相遇問題學案

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1、 第3講　運動的圖象　追及和相遇問題 微知識1 直線運動的圖象 1．直線運動的x－t圖象 (1)物理意義：反映了物體做直線運動的位移隨時間變化的規(guī)律。 (2)斜率的意義：圖線上某點切線斜率的大小表示物體此時速度的大小，斜率正負表示物體速度的方向。 2．直線運動的v－t圖象 (1)物理意義：反映了做直線運動的物體的速度隨時間變化的規(guī)律。 (2)斜率的意義：圖線上某點切線斜率的大小表示物體此時加速度的大小，斜率正負表示物體加速度的方向。 (3)“面積”的意義 ①圖線與時間軸圍成的面積表示相應時間內(nèi)的位移。 ②若面積在時間軸的上方，表示位移方向為正方向；若面積在時間軸的

2、下方，表示位移方向為負方向。 微知識2 追及和相遇問題 1．追及問題的兩類情況 (1)若后者能追上前者，追上時，兩者處于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。 (2)若后者追不上前者，則當后者速度與前者速度相等時，兩者相距最近。 2．相遇問題 相向運動的物體，當各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離時即相遇。 一、思維辨析(判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“×”。) 1．無論是x－t圖象還是v－t圖象都只能描述直線運動。(√) 2．x－t圖象表示物體的運動軌跡，v－t圖象不能表示物體的運動軌跡。(×) 3．同一坐標系中的兩條v－t圖線的交點表示兩物體相遇。(

3、×) 4．兩物體同向運動恰好不相碰，則兩物體相遇時速度相等。(√) 5．兩個物體在追及過程中，物體之間的距離總是逐漸減小。(×) 二、對點微練 1．(x－t圖象)(多選)如圖所示為甲、乙兩物體在同一直線上運動的位置坐標x隨時間t變化的圖象，已知甲對應的是圖象中的直線，乙對應的是圖象中的曲線，則下列說法正確的是(　　) A．甲做勻減速直線運動 B．乙做變速直線運動 C．0～t1時間內(nèi)兩物體平均速度大小相等 D．兩物體的運動方向相反 解析　結(jié)合題意分析題圖易知，題圖中圖象的斜率等于速度，知甲沿負方向做勻速直線運動，故A項錯誤；乙圖象切線的斜率不斷增大，說明乙的速度不斷增大，做

4、變速直線運動，故B項正確；根據(jù)坐標的變化量等于位移知，0～t1時間內(nèi)兩物體位移大小不相等，方向相反，所以平均速度不相等，故C項錯誤；根據(jù)圖象的斜率等于速度可知，甲的速度為負，乙的速度為正，即兩物體的運動方向相反，故D項正確。 答案　BD 2．(v－t圖象)(多選)物體做直線運動的v－t圖象如圖所示，根據(jù)圖象提供的信息可知(　　) A．第4 s初物體運動的加速度為2 m/s2 B．前8 s內(nèi)物體運動的位移為32 m C．在0～4 s內(nèi)與4～6 s內(nèi)物體運動的加速度方向相反 D．在0～4 s內(nèi)與4～6 s內(nèi)物體運動的平均速度相等 解析　圖象的斜率表示加速度，則第4 s初物體運動的

5、加速度a＝＝ m/s2＝1 m/s2，故A項錯誤；圖象與坐標軸圍成面積代表位移，前8 s內(nèi)物體運動的位移x＝×(4＋8)×4 m＋×8×2 m＝32 m，故B項正確；在0～4 s內(nèi)與4～6 s內(nèi)物體運動的速度都為正，加速度方向相反，故C項正確；在0～4 s內(nèi)的平均速度v1＝ m/s＝6 m/s,4～6 s內(nèi)的平均速度v2＝ m/s＝4 m/s，故D項錯誤。 答案　BC 3．(追及和相遇問題)如圖所示，直線MN表示一條平直公路，甲、乙兩輛汽車原來停在A、B兩處，A、B間的距離為85 m，現(xiàn)甲車先開始向右做勻加速直線運動，加速度a1＝2.5 m/s2，甲車運動6 s時，乙車立即開始向右做勻加速

6、直線運動，加速度a2＝5 m/s2，求兩輛汽車相遇處距A處的距離。 解析　甲車運動6 s的位移為x0＝a1t＝45 m，尚未追上乙車，設此后經(jīng)過時間t與乙車相遇，則有 a1(t＋t0)2＝a2t2＋85 m， 將上式代入數(shù)據(jù)并展開整理得 t2－12t＋32＝0， 解得t1＝4 s，t2＝8 s。 t1、t2都有意義，t1＝4 s時，甲車追上乙車； t2＝8 s時，乙車追上甲車再次相遇。 第一次相遇地點距A的距離 x1＝a1(t1＋t0)2＝125 m。 第二次相遇地點距A的距離 x2＝a1(t2＋t0)2＝245 m。 答案　125 m或245 m 見學生用書

7、P009 微考點　1　運動圖象的理解和應用 核|心|微|講 1．應用運動圖象要注意三點 (1)無論是x－t圖象還是v－t圖象都只能描述直線運動。 (2)x－t圖象和v－t圖象都不表示物體運動的軌跡。 (3)x－t圖象和v－t圖象的形狀由x與t、v與t的函數(shù)關(guān)系決定。 2．應用運動圖象解題要“六看” 典|例|微|探 【例1】　(多選)物體甲的位移與時間圖象和物體乙的速度與時間圖象分別如圖甲、乙所示，關(guān)于這兩個物體的運動情況描述正確的是(　　) A．甲在0～6 s時間內(nèi)有來回運動，它通過的總位移為零 B．甲在0～6 s時間內(nèi)運動方向一直不變，它通過的總位移大小為4

8、 m C．乙在0～6 s時間內(nèi)有來回運動，它通過的總位移為零 D．乙在0～3 s內(nèi)的加速度與3～6 s內(nèi)的加速度方向相反 【解題導思】 (1)x－t圖象的斜率表示的物理量是什么，如何表示位移？ 答：x－t圖象的斜率表示速度，斜率不變，速度不變。物體的位移由縱坐標的變化表示。 (2)v－t圖象的斜率、圖線與時間軸所夾的面積分別表示的物理量是什么？ 答：v－t圖象的斜率表示加速度，圖線與時間軸所夾的面積表示位移。 解析　甲圖象中的直線的斜率表示速度，速度方向不變，沒有來回運動，只是相對于原點的位移，一開始為負，后來為正，選項B正確；乙圖象中直線的斜率表示加速度，速度先是負向變小，

9、后正向增大，有來回運動，C項正確。 答案　BC 題|組|微|練 1．如圖是某物體在t時間內(nèi)運動的位移—時間圖象和速度—時間圖象，從圖象上可以判斷和得到(　　) A．物體的位移—時間圖象是拋物線 B．該物體做的是曲線運動 C．該物體運動的時間t為2 s D．該物體運動的加速度為1.5 m/s2 解析　從v－t圖象可知，物體做的是勻加速直線運動，因此位移與時間的二次方成線性關(guān)系，因此位移—時間圖象是拋物線，A項正確；該物體做的是直線運動，B項錯誤；由8 m＝×(3 m/s＋6 m/s)t，得t＝s，加速度a＝＝ m/s2＝ m/s2，C、D項錯誤。 答案　A 2．甲、乙兩物

10、體從同一位置沿同一直線運動，它們的v－t圖象如圖所示，下列說法正確的是(　　) A．乙物體先向負方向運動，t1時刻以后反向向正方向運動 B．t2時刻，乙物體追上甲 C．t1時刻，兩者相距最遠 D．0～t2時間內(nèi)，乙的速度和加速度都是先減小后增大 解析　乙物體的速度一直都是正值，說明乙物體一直沿正方向運動，選項A錯誤；根據(jù)速度圖象面積表示位移可知，t2時刻，甲物體位移大于乙物體，乙物體沒有追上甲，選項B錯誤；t2時刻，在甲后面的乙速度增大到等于甲物體的速度，以后乙物體速度將大于甲物體，此時兩者相距最遠，選項C錯誤；0～t2時間內(nèi)，乙的速度和加速度都是先減小后增大，選項D正確。 答

11、案　D 微考點　2　追及和相遇問題 核|心|微|講 1．討論追及、相遇的問題，其實質(zhì)就是分析討論兩物體在同一時刻能否到達相同的空間位置問題 (1)兩個關(guān)系：即時間關(guān)系和位移關(guān)系。 (2)一個條件：即兩者速度相等，它往往是物體間能追上、追不上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷的切入點。 2．常見的情況 (1)物體A追上物體B：開始時，兩個物體相距x0，則A追上B時，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。 (2)物體A追趕物體B：開始時，兩個物體相距x0，要使兩物體恰好不相撞，必有xA－xB＝x0，且vA＝vB。 3．解題思路和方法 →→ 典|例|微|探 【例2

12、】　汽車A正在公路上以20 m/s的速度勻速行駛，因疲勞駕駛司機注意力不集中，當司機發(fā)現(xiàn)正前方有一輛靜止的轎車B時，兩車距離僅有75 m。 (1)若此時B車立即以2 m/s2的加速度啟動，通過計算判斷：如果A車司機沒有剎車，是否會撞上B車，若不相撞，求兩車相距最近時的距離；若相撞，求出從A車發(fā)現(xiàn)B車開始到撞上B車的時間。 (2)若A車司機發(fā)現(xiàn)B車，立即剎車(不計反應時間)做勻減速直線運動，加速度大小為2 m/s2(兩車均視為質(zhì)點)，為避免碰撞，在A車剎車的同時，B車立即做勻加速直線運動(不計反應時間)，問：B車加速度aB至少多大才能避免事故。(假設兩車始終在同一條直線上運動) 【解題導思

13、】 (1)在(1)問中若B車速度增大到與A車速度相等時，A車還沒有追上B車，以后兩者還能相撞嗎？ 答：不能。因為之后B車的速度會大于A車的速度，相同時間內(nèi)的位移要比A車的大。 (2)有同學對追及和相遇問題的解法做了如下總結(jié)：在追及和相遇問題中，以時間為變量列出位移的關(guān)系，大部分問題能得到很好的解決。你同意他的說法嗎？ 答：同意?？偨Y(jié)得非常好，多數(shù)追及和相遇的問題(不管它們的運動性質(zhì)如何)，以時間為變量尋找位移的關(guān)系，列出等式即能解決問題。 解析　(1)當兩車速度相等時，AB兩車到達同一個位置，設經(jīng)過的時間為t， 則vA＝vB， 對B車　vB＝at，聯(lián)立可得t＝10 s， A車

14、的位移xA＝vAt＝200 m， B車的位移xB＝at2＝100 m， 又xB ＋ x0 ＝ 175 m < xA ，所以會撞上。 設經(jīng)過時間t相撞，有vAt＝x0＋at2， 代入數(shù)據(jù)解得t1＝5 s，t2＝15 s(舍去)。 (2)設B車的加速度為aB，B車運動經(jīng)過時間t，兩車相遇時，兩車速度相等，則vA＝v0－aAt， vB＝aBt，且vA＝vB，在時間t內(nèi)A車的位移 xA＝v0t－aAt2， B車的位移xB＝aBt2， 又xB＋x0＝xA，聯(lián)立可得aB＝ m/s2≈0.67 m/s2。 答案　(1)兩車會相撞，5 s　(2)0.67 m/s2 【解題指南】

15、 追及與相遇問題的類型及解題思路 1．相遇問題的兩類情況 (1)同向運動的兩物體追及即相遇，各自位移之差等于開始時兩物體之間的距離。 (2)相向運動的物體，當各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離時即相遇。 2．追及問題涉及兩個不同物體的運動關(guān)系，分析時要緊抓“一個圖和三個關(guān)系式”，即：過程示意圖或v－t圖象，速度關(guān)系式、時間關(guān)系式和位移關(guān)系式，同時要關(guān)注題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱含條件，如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等。 題|組|微|練 3．春節(jié)放假期間，全國高速公路免費通行，小轎車可以不停車通過收費站，但要求小轎車通過收費站窗口前x0＝9 m區(qū)間的速度不

16、超過v0＝6 m/s?，F(xiàn)有甲、乙兩小轎車在收費站前平直公路上分別以v甲＝20 m/s和v乙＝34 m/s的速度勻速行駛，甲車在前，乙車在后，甲車司機發(fā)現(xiàn)正前方收費站，開始以大小為a甲＝2 m/s2的加速度勻減速剎車。 (1)甲車司機需在離收費站窗口至少多遠處開始剎車才不違章。 (2)若甲車司機經(jīng)剎車到達離收費站窗口前9 m處的速度恰好為6 m/s，乙車司機在發(fā)現(xiàn)甲車剎車時經(jīng)t0＝0.5 s的反應時間后開始以大小為a乙＝4 m/s2的加速度勻減速剎車，為避免兩車相撞，且乙車在收費站窗口前9 m區(qū)不超速，則在甲車司機開始剎車時，甲、乙兩車至少相距多遠？ 解析　(1)對甲車速度由20 m/s減

17、速至6 m/s過程中的位移：x1＝＝91 m，x2＝x0＋x1＝100 m， 即甲車司機需在離收費站窗口至少100 m處開始剎車。 (2)設甲剎車后經(jīng)時間t，甲、乙兩車速度相同，由運動學公式得v乙－a乙(t－t0)＝v甲－a甲t， 解得t＝8 s。 相同速度v＝v甲－a甲t＝4 m/s<6 m/s，即v＝6 m/s的共同速度為不相撞的臨界條件 乙車從34 m/s減速至6 m/s的過程中的位移為 x3＝v乙t0＋＝157 m， 所以要滿足條件甲、乙的距離至少為x＝x3－x1＝66 m。 答案　(1)100 m　(2)66 m 4．滑雪度假村某段雪地賽道可等效為長L＝36 m，傾

18、角為θ＝37°的斜坡。已知滑道的積雪與不同滑板之間的動摩擦因數(shù)不同，現(xiàn)假定甲先滑下時滑板與賽道的動摩擦因數(shù)μ1＝0.5，乙后滑下時滑板與賽道的動摩擦因數(shù)為μ2＝0.25，g取10 m/s2。已知甲和乙均可看做質(zhì)點，且滑行方向平行，相遇時不會相撞。求： (1)甲從坡頂由靜止自由滑下時到達坡底的速度大小。 (2)若乙比甲晚出發(fā)Δt＝1 s，為追上甲，有人從后面給乙一個瞬時作用使乙獲得初速度v0＝1 m/s，通過計算分析乙能否在甲到達坡底前追上甲；若能追上求出兩者在追上前相距的最遠距離，若不能追上求出兩者到達坡底的時間差。 解析　(1)對甲的運動，由牛頓運動定律： m1gsinθ－μ1m1g

19、cosθ＝m1a甲 解得a甲＝2 m/s2。 由2a甲L＝v，得v1＝12 m/s。 (2)甲到達坡底的時間t甲＝＝6 s。 對乙的運動，由牛頓運動定律 m2gsinθ－μ2m2gcosθ＝m2a乙， 解得a乙＝4 m/s2。 設乙到達坡底時間為t乙， 由L＝v0t乙＋a乙t，得t乙＝4 s。 t乙＋Δt

20、.25 m。 答案　(1)12 m/s　 (2)能追上，最遠距離1.25 m 見學生用書P011 用運動圖象解答追及和相遇問題 　素能培養(yǎng) 　利用圖象法分析追及和相遇問題的思路 　經(jīng)典考題　 (多選)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其v－t 圖象如圖所示。已知兩車在t＝3 s 時并排行駛，則(　　) A．在t＝1 s時，甲車在乙車后 B．在t＝0時，甲車在乙車前7.5 m C．兩車另一次并排行駛的時刻是t＝2 s D．甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40 m 解析　根據(jù)題述，兩車在t＝3 s 時并排行駛，由圖線與橫軸所圍面積表示位移可知，在t

21、＝1 s時，甲車和乙車并排行駛，選項A、C錯誤；由圖象可知，在t＝1 s時甲車速度為10 m/s，乙車速度為15 m/s,0～1 s時間內(nèi)，甲車行駛位移為x1＝5 m，乙車行駛位移為x2＝12.5 m，所以在t＝0時，甲車在乙車前7.5 m，選項B正確；從t＝1 s到t＝3 s，甲、乙兩車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為x＝(10＋30)×2 m＝40 m，選項D正確。 答案　BD 　對法對題 1．如圖，直線a和曲線b分別是在平行的平直公路上行駛的汽車a和b的速度—時間(v－t)圖線，在t1時刻兩車剛好在同一位置(并排行駛)，在t1到t3這段時間內(nèi)，下列說法正確的是(　　)

22、 A．在t2時刻，兩車相距最遠 B．在t3時刻，兩車相距最遠 C．a(chǎn)車加速度均勻增大 D．b車加速度先增大后減小 解析　在t3時刻以前，b車速度都小于a車，所以在t3時刻，兩車相距最遠，選項B正確，選項A錯誤；a車做勻加速直線運動，a車加速度不變，選項C錯誤；根據(jù)速度圖象斜率表示加速度可知，b車加速度一直增大，選項D錯誤。 答案　B 2．甲、乙兩物體從同一地點開始沿同一方向運動，其速度隨時間的變化關(guān)系如圖所示，圖中t2＝，兩段曲線均為圓弧，則(　　) A．兩物體在t1時刻加速度相同 B．兩物體在t2時刻運動方向均改變 C．兩物體在t3時刻相距最遠，t4時刻相遇 D．0～

23、t4時間內(nèi)甲物體的平均速度大于乙物體的平均速度 解析　因兩段曲線均為圓弧，由題圖知在t1時刻曲線的切線斜率的絕對值與直線斜率相等，即兩者加速度大小相等，但方向相反，選項A錯；兩物體均做單方向的直線運動，選項B錯；甲先做勻加速運動再做勻減速運動，乙先做加速度減小的減速運動，再做加速度減小的加速運動，在t3時刻，兩物體相距最遠；兩物體在0～t4時間內(nèi)圖線與t軸所圍面積相等，即兩物體在t4時刻相遇，在0～t4時間內(nèi)的平均速度相同，選項C對，D錯。 答案　C 見學生用書P011 1．一物體在某點從靜止開始做勻加速直線運動，其中物體運動的位移為s、加速度為a、速度為v、運動時間為t，則下列圖

24、象一定錯誤的是(　　) 解析　加速度a恒定不變，D圖錯誤；v＝at∝t，A圖正確；s＝at2∝t2，B圖正確；v2＝2as∝s，C圖正確；D圖中說明物體在運動過程中加速度變化了，D項錯誤。 答案　D 2.一個物體以初速度v0沿光滑斜面向上運動，其速度v隨時間t變化的規(guī)律如圖所示，在連續(xù)兩段時間m和n內(nèi)對應面積均為S，則經(jīng)過b時刻的速度vb的大小為(　　) A.　　　　　　 B. C. D. 解析　設b時刻的速度為vb，加速度為a，根據(jù)x＝v0t＋at2得S＝vbm＋am2，S＝vbn－an2。兩式聯(lián)立解得vb＝，C項正確。 答案　C 3．質(zhì)點沿直線運動，在10 s內(nèi)

25、其速度由10 m/s減為0，速度隨時間變化的關(guān)系圖象(v－t圖象)恰好是與兩坐標軸相切的四分之一圓弧，如圖所示。則該質(zhì)點在第5 s末的加速度大小為(　　) A. m/s2 B. m/s2 C. m/s2 D. m/s2 解析　質(zhì)點在第5 s末時的加速度大小等于圓上a點切線斜率的絕對值，等于tanθ，因為sinθ＝，所以tanθ＝，因此質(zhì)點在第5 s末時的加速度大小為 m/s2，D項正確。 答案　D 4．如圖所示，甲從A地由靜止勻加速跑向B地，當甲前進距離為s1時，乙從距A地s2處的C點由靜止出發(fā)，加速度與甲相同，最后二人同時到達B地，則A、B兩地距離為(　　) A．s1＋s2 B. C. D. 解析　設甲從出發(fā)向前運動s1時的時間為t1，C點距離B點的距離為sx，乙從C點運動B點的時間為t0，則甲以后運動到B點的時間也為t0，兩人的加速度大小為a。則對甲從出發(fā)向前運動s1時，由運動學公式s1＝at，此時甲的速度大小為v＝at1，對甲以后的運動過程s2＋sx－s1＝vt0＋at，對乙從C到B的過程sx＝at，由以上四個式子整理可得sx＝，則A、B兩點之間的距離為sx＋s2＝＋s2＝，則B項正確。 答案　B 13