機械能守恒2多物體機械能守恒問題

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1、 機械能守恒應(yīng)用2　多物體機械能守恒問題 一、輕桿連接系統(tǒng)機械能守恒 1、模型構(gòu)建 輕桿兩端各固定一個物體，整個系統(tǒng)一起沿斜面運動或繞某點轉(zhuǎn)動或關(guān)聯(lián)運動，該系統(tǒng)即為機械能守恒中的輕桿模型． 2、模型條件 (1)．忽略空氣阻力和各種摩擦． (2)．平動時兩物體線速度相等，轉(zhuǎn)動時兩物體角速度相等，關(guān)聯(lián)運動時沿桿方向速度相等。 3、模型特點 (1)．桿對物體的作用力并不總是指向桿的方向，桿能對物體做功，單個物體機械能不守恒． (2)．對于桿和球組成的系統(tǒng)，沒有外力對系統(tǒng)做功，因此系統(tǒng)的總機械能守恒． 例1．[轉(zhuǎn)動]質(zhì)量分別為m和2m的兩個小球P和Q，中間用輕質(zhì)桿固定連接，桿長為

2、L，在離P球處有一個光滑固定軸O，如圖8所示．現(xiàn)在把桿置于 水平位置后自由釋放，在Q球順時針擺動到最低位置時，求： 圖8 (1)小球P的速度大?。? (2)在此過程中小球P機械能的變化量． 答案　(1)　(2)增加mgL 解析　(1)兩球和桿組成的系統(tǒng)機械能守恒，設(shè)小球Q擺到最低位置時P球的速度為v，由于P、Q兩球的角速度相等，Q球運動半徑是P球運動半徑的兩倍，故Q球的速度為2v.由機械能守恒定律得 2mg·L－mg·L＝mv2＋·2m·(2v)2， 解得v＝. (2)小球P機械能增加量ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL [跟蹤訓練].如圖5－3－7所示，在長為L的輕桿中點A

3、和端點B各固定一質(zhì)量為m的球，桿可繞無摩擦的軸O轉(zhuǎn)動，使桿從水平位置無初速度釋放。求當桿轉(zhuǎn)到豎直位置時，輕桿對A、B兩球分別做了多少功？ 圖5－3－7 解析：設(shè)當桿轉(zhuǎn)到豎直位置時，A球和B球的速度分別為vA和vB。如果把輕桿、兩球組成的系統(tǒng)作為研究對象，那么由于桿和球的相互作用力做功總和等于零，故系統(tǒng)機械能守恒。 若取B的最低點為重力勢能參考平面，可得：2mgL＝mv＋mv＋mgL又因A球與B球在各個時刻對應(yīng)的角速度一樣，故vB＝2vA 由以上二式得：vA＝，vB＝。 根據(jù)動能定理，可解出桿對A、B做的功。 對A有：WA＋mg＝mv－0，所以WA＝－0.2mgL?！? 對B有：

4、WB＋mgL＝mv－0，所以WB＝0.2mgL。 答案：－0.2mgL　0.2mgL 例2、[平動] 圖5－3－9 如圖5－3－9所示，傾角為θ的光滑斜面上放有兩個質(zhì)量均為m的小球A和B，兩球之間用一根長為L的輕桿相連，下面的小球B離斜面底端的高度為h.兩球從靜止開始下滑，不計球與地面碰撞時的機械能損失，且地面光滑，求： (1)兩球在光滑水平面上運動時的速度大??； (2)整個運動過程中桿對A球所做的功． [解析]　(1)因為沒有摩擦，且不計球與地面碰撞時的機械能損失，兩球在光滑地面上運動時的速度大小相等，設(shè)為v，根據(jù)機械能守恒定律有： 2mg(h＋sin θ)＝2×mv2

5、 解得：v＝. (2)因兩球在光滑水平面上運動時的速度v比B單獨從h處自由滑下的速度大，增加的機械能就是桿對B做正功的結(jié)果．B增加的機械能為 ΔEkB＝mv2－mgh＝mgLsin θ 因系統(tǒng)的機械能守恒，所以桿對B球做的功與桿對A球做的功的數(shù)值應(yīng)該相等，桿對B球做正功，對A球做負功，所以桿對A球做的功W＝－mgLsin θ. [答案]　(1)　(2)－mgLsin θ [跟蹤訓練].如圖8所示，在傾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有兩個質(zhì)量分別為1 kg和2 kg的可視為質(zhì)點的小球A和B，兩球之間用一根長L＝0.2 m的輕桿相連，小球B距水平面的高度h＝0.1 m．兩球由靜止開始下

6、滑到光滑地面上，不計球與地面碰撞時的機械能損失，g取10 m/s2.則下列說法中正確的是() 圖8 A．整個下滑過程中A球機械能守恒B．整個下滑過程中B球機械能守恒 C．整個下滑過程中A球機械能的增加量為 JD．整個下滑過程中B球機械能的增加量為 J 答案　D 解析　在下滑的整個過程中，只有重力對系統(tǒng)做功，系統(tǒng)的機械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A沿斜面滑行時，桿的彈力對A、B球做功，所以A、B球各自機械能不守恒，故A、B錯誤；根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒得：mAg(h＋Lsin θ)＋mBgh＝(mA＋mB)v2，解得：v＝ m/s，系統(tǒng)下滑的整個過程中B球機械能的增加量為mBv2－m

7、Bgh＝ J，故D正確；A球的機械能減少量為 J，C錯誤． 例3．[聯(lián)動](2015·新課標全國Ⅱ·21)(多選)如圖5，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上．a(chǎn)、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開始運動．不計摩擦，a、b可視為質(zhì)點，重力加速度大小為g.則() 圖5 A．a(chǎn)落地前，輕桿對b一直做正功 B．a(chǎn)落地時速度大小為 C．a(chǎn)下落過程中，其加速度大小始終不大于gD．a(chǎn)落地前，當a的機械能最小時，b對地面的壓力大小為mg 答案　BD 解析　滑塊b的初速度為零，末速度也為零，所以輕桿對b先做正功，后做負功，選項

8、A錯誤；以滑塊a、b與輕桿為研究對象，系統(tǒng)的機械能守恒，當a剛落地時，b的速度為零，則mgh＝mv＋0，即va＝，選項B正確；a、b的先后受力分析如圖甲、乙所示． 由a的受力情況可知，a下落過程中，其加速度大小先小于g后大于g，選項C錯誤；當a落地前b的加速度為零(即輕桿對b的作用力為零)時，b的機械能最大，a的機械能最小，這時b受重力、支持力，且FNb＝mg，由牛頓第三定律可知，b對地面的壓力大小為mg，選項D正確． [跟蹤訓練].． 壁光滑的環(huán)形凹槽半徑為R，固定在豎直平面，一根長度為R的輕桿，一端固定有質(zhì)量為m的小球甲，另一端固定有質(zhì)量為2m的小球乙，將兩小球放入凹槽，小球乙位

9、于凹槽的最低點，如圖6所示．由靜止釋放后(　　) 圖6 A．下滑過程中甲球減少的機械能總等于乙球增加的機械能 B．下滑過程中甲球減少的重力勢能總等于乙球增加的重力勢能 C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低點 D．桿從右向左滑回時，乙球一定能回到凹槽的最低點 答案　AD 解析　根據(jù)題設(shè)條件可知甲、乙兩小球組成的系統(tǒng)滿足機械能守恒定律，故A、D對，B錯；由于乙球的質(zhì)量大 于甲球的質(zhì)量，所以甲球不可能沿凹槽下滑到槽的最低點，否則就不滿足機械能守恒，C錯． 二、輕繩連接系統(tǒng)機械能守恒 例1 .甲、乙兩物體用細線相連，跨過兩光滑滑輪按如圖12所示方式連接，滑輪上方放置一豎直的光滑半圓形

10、軌道，甲物體與地面接觸，乙物體緊挨滑輪位置，兩滑輪到地面距離與半圓軌道直徑相等，且與圓心在同一水平線上。若兩滑輪與甲、乙物體均視為質(zhì)點，且兩滑輪之間距離可視為與半圓軌道直徑相等，現(xiàn)將乙由靜止開始釋放，甲物體向上運動到圓弧軌道后，恰好能沿半圓軌道做圓周運動，則甲、乙兩物體質(zhì)量之比為(　　) 圖12 A.1∶7 B.1∶6 C.1∶5 D.1∶4 解析　設(shè)甲、乙兩物體質(zhì)量分別為m1、m2，軌道半徑為R，當乙下落到地面、甲運動到半圓軌道下端時，由題意知，對系統(tǒng)由機械能守恒定律可得2m2gR－2m1gR＝(m2＋m1)v2，甲球恰好能做圓周運動，則甲球在圓軌道最高點時必有m1g＝，

11、甲由軌道下端運動到最高點過程中由機械能守恒定律可得：m1v2＝m1gR＋m1v，聯(lián)立以上各式可得：m2＝7m1，則A正確。 答案　A [跟蹤訓練].．如圖12所示，質(zhì)量分別為2m和m的A、B兩物體用不可伸長的輕繩繞過輕質(zhì)定滑輪相連，開始兩物體處于同一高度，繩處于繃緊狀態(tài)，輕繩足夠長，不計一切摩擦．現(xiàn)將兩物體由靜止釋放，在A落地之前的運動中，下列說法中正確的是() 圖12 A．A物體的加速度為B．A、B組成系統(tǒng)的重力勢能增大 C．下落t秒時，B所受拉力的瞬時功率為mg2tD．下落t秒時，A的機械能減少了mg2t2 答案　D 解析　A與B的加速度大小相等，根據(jù)牛頓第二定律得：對A

12、、B整體有：a＝＝g，故A錯誤；A、B組成系統(tǒng)的機械能不變，動能增大，重力勢能減小，故B錯誤；B受到的拉力：F＝m(g＋a)＝，下落t秒時，B的速度：v＝at＝gt，所受拉力的瞬時功率為P＝Fv＝mg2t，C錯誤；對A有：2mg－FT＝2ma，得細繩的拉力FT＝mg.下落t秒時，A下落的高度為h＝at2＝gt2，則A克服細繩拉力做功為W＝FTh＝mg2t2.根據(jù)功能關(guān)系得知：A的機械能減少量為ΔEA＝W＝mg2t2，故D正確． 　　　　　　多物體機械能守恒問題 (1)多物體機械能守恒問題的分析方法： ①對多個物體組成的系統(tǒng)要注意判斷物體運動過程中，系統(tǒng)的機械能是否守恒． ②注意

13、尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系． ③列機械能守恒方程時，一般選用ΔEk＝－ΔEp的形式． (2)多物體機械能守恒問題的三點注意： ①正確選取研究對象． ②合理選取物理過程． ③正確選取機械能守恒定律常用的表達形式列式求解． 專題訓練： 1　如圖5－3－2所示，質(zhì)量分別為m和2m的兩個小球A和B，中間用輕質(zhì)桿相連，在桿的中點O處有一固定轉(zhuǎn)動軸，把桿置于水平位置后釋放，在B球順時針擺動到最低位置的過程中(不計一切摩擦)(　　) 圖5－3－2 A．B球的重力勢能減少，動能增加，B球和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒 B．A球的重力勢能增加，動能也增加，A球和地球組成的

14、系統(tǒng)機械能不守恒 C．A球、B球和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒 D．A球、B球和地球組成的系統(tǒng)機械能不守恒 [解析]　A球在上擺過程中，重力勢能增加，動能也增加，機械能增加，B項正確；由于A球、B球和地球組成的系統(tǒng)只有重力做功，故系統(tǒng)的機械能守恒，C項正確，D項錯誤；所以B球和地球組成系統(tǒng)的機械能一定減少，A項錯誤。 [答案]　BC 2. 圖5－3－11 (多選)輕桿AB長2L，A端連在固定軸上，B端固定一個質(zhì)量為2m的小球，中點C固定一個質(zhì)量為m的小球．AB桿可以繞A端在豎直平面自由轉(zhuǎn)動．現(xiàn)將桿置于水平位置，如圖5－3－11所示，然后由靜止釋放，不計各處摩擦與空氣阻力，則下

15、列說確的是(　　) A．AB桿轉(zhuǎn)到豎直位置時，角速度為 B．AB桿轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中，B端小球的機械能的增量為mgL C．AB桿轉(zhuǎn)動過程中桿CB對B球做正功，對C球做負功，桿AC對C球做正功 D．AB桿轉(zhuǎn)動過程中，C球機械能守恒 [解析]　在AB桿由靜止釋放到轉(zhuǎn)到豎直位置的過程中，以B球的最低點為零勢能點，根據(jù)機械能守恒定律有： mg·2L＋2mg(2L)＝mgL＋×2m(ω·2L)2＋m(ωL)2，解得角速度ω＝，A項正確．在此過程中，B端小球機械能的增量為：ΔEB＝E末－E初＝·2m(ω·2L)2－2mg·(2L)＝mgL，B項正確．AB桿轉(zhuǎn)動過程中，桿AC對C球不做功，桿

16、CB對C球做負功，對B球做正功，C項錯．C球機械能不守恒，B、C球系統(tǒng)機械能守恒，D項錯． [答案]　AB 3 (多選)如圖5所示，有一光滑軌道ABC，AB部分為半徑為R的圓弧，BC部分水平，質(zhì)量均為m的小球a、b固定在豎直輕桿的兩端，輕桿長為R，不計小球大小。開始時a球處在圓弧上端A點，由靜止釋放小球和輕桿，使其沿光滑軌道下滑，下列說確的是(　　) 圖5 A．a(chǎn)球下滑過程中機械能保持不變 B．a(chǎn)、b兩球和輕桿組成的系統(tǒng)在下滑過程中機械能保持不變 C．a(chǎn)、b滑到水平軌道上時速度為 D．從釋放到a、b滑到水平軌道上，整個過程中輕桿對a球做的功為 解析：選BD　由機械能守恒的條

17、件得，a球機械能不守恒，a、b系統(tǒng)機械能守恒，所以A錯誤，B正確。對a、b系統(tǒng)由機械能守恒定律得：mgR＋2mgR＝2×mv2，解得v＝，C錯誤。對a由動能定理得：mgR＋W＝mv2，解得W＝，D正確。 4. [繩連接的系統(tǒng)機械能守恒]如圖7，可視為質(zhì)點的小球A、B用不可伸長的細軟輕線連接，跨過固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍．當B位于地面時，A恰與圓柱軸心等高．將A由靜止釋放，B上升的最大高度是(　　) 圖7 A．2R B. C.D. 答案　C 解析　設(shè)A球剛落地時兩球速度大小為v，根據(jù)機械能守恒定律得，2mgR－mgR＝(2m＋m)v2，解得v2＝gR，B

18、球繼續(xù)上升的高度h＝＝，B球上升的最大高度為h＋R＝R. 5.如圖13所示，一輕桿兩端分別固定質(zhì)量均為m的小球A和B，放置于半徑為R的光滑半圓軌道中，A球與圓心等高，B球恰在半圓的最低點，然后由靜止釋放，求在運動過程中兩球的最大速度的大?。? 圖13 答案　 解析　當桿處于水平狀態(tài)時，A、B兩球組成的系統(tǒng)重心最低，兩球速度最大，A球下降的高度ΔhA＝R·cos 45°，B球上升的高度ΔhB＝R(1－cos 45°) 由兩球角速度相等知：兩球速度大小相等，設(shè)為v. 由機械能守恒得：mgΔhA＝mgΔhB＋·2mv2 解得：v＝ 6、如圖5所示，一半徑為R的光滑半圓柱水平

19、懸空放置，C為圓柱最高點，兩小球P、Q用一輕質(zhì)細線懸掛在半圓柱上，水平擋板AB與兩小球開始時位置均與半圓柱的圓心在同一水平線上，水平擋板AB與半圓柱間有一小孔能讓小球通過，兩小球質(zhì)量分別為mP＝m，mQ＝4m，水平擋板到水平面EF的距離為h＝2R，現(xiàn)讓兩小球從圖示位置由靜止釋放，當小球P到達最高點C時剪斷細線，小球Q與水平面EF碰撞后等速反向被彈回，重力加速度為g，不計空氣阻力，取π≈3。求： 圖5 (1)小球P到達最高點C時的速率vC； (2)小球P落到擋板AB上時的速率v1； (3)小球Q反彈后能上升的最大高度hmax。 解析　(1)取兩小球與細線為系統(tǒng)且圓心所在水平面為零勢

20、能面，則在小球P到達最高點C的過程中，系統(tǒng)滿足機械能守恒，有－mQg××2πR＋mPgR＋(mP＋mQ)v＝0，解得vC＝。 (2)因vC＞，所以剪斷細線后小球P做平拋運動，由機械能守恒定律知mPgR＋mPv＝mPv，解得v1＝2。 (3)剪斷細線后，小球Q做豎直下拋運動，反彈后做豎直上拋運動到最高點，滿足機械能守恒，則有－mQg××2πR＋mQv＝－mQg(h－h(huán)max)，解得hmax＝R。 答案　(1)　(2)2　(3)R 7、 (2015·模擬)半徑為R的光滑圓環(huán)豎直放置，環(huán)上套有兩個質(zhì)量分別為m和m的小球A和B。A、B之間用一長為R的輕桿相連，如圖5-3-6所示。開始時

21、，A、B都靜止，且A在圓環(huán)的最高點，現(xiàn)將A、B釋放，試求： 圖5-3-6 (1)B球到達最低點時的速度大??； (2)B球到達最低點的過程中，桿對A球做的功； (3)B球在圓環(huán)右側(cè)區(qū)域能達到的最高點位置。 [審題指導(dǎo)] (1)A、B和輕桿組成的系統(tǒng)機械能守恒。 (2)因OA⊥OB，兩球沿桿方向的分速度相等，兩球速度大小始終一樣。 (3)由系統(tǒng)機械能守恒可知，B球一定能到達右側(cè)區(qū)域高于O點的位置。 [解析]　(1)釋放后B到達最低點的過程中A、B和桿組成的系統(tǒng)機械能守恒，mAgR＋mBgR＝mAvA2＋mBvB2， 又OA⊥OB，AB桿長＝R，故OA、OB與桿間夾角均為45°，可得vA＝vB，解得：vB＝。 (2)對小球A應(yīng)用動能定理可得： W桿A＋mAgR＝mAvA2，又vA＝vB 解得桿對A球做功W桿A＝0。 (3)設(shè)B球到達右側(cè)最高點時，OB與豎直方向之間的夾角為θ，取圓環(huán)的圓心O為零勢面， 由系統(tǒng)機械能守恒可得： mAgR＝mBgRcos θ－mAgRsin θ， 代入數(shù)據(jù)可得θ＝30°， 所以B球在圓環(huán)右側(cè)區(qū)域達到最高點時，高于圓心O的高度hB＝Rcos θ＝R。 [答案]　(1)　(2)0　(3)高于O點R處 8 / 8