專題強(qiáng)化一 運(yùn)動(dòng)學(xué)圖象 追及相遇問題講議

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1、專題強(qiáng)化一　運(yùn)動(dòng)學(xué)圖象　追及相遇問題 專題解讀 1.本專題是勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律和運(yùn)動(dòng)學(xué)圖象的綜合應(yīng)用，為高考必考內(nèi)容，多以選擇題形式命題. 2.學(xué)好本專題，可以提高同學(xué)們通過畫運(yùn)動(dòng)情景示意圖和v－t圖象分析和解決運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的能力. 3.用到的知識有：x－t圖象和v－t圖象的理解，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，臨界條件的確定，極值思想等數(shù)學(xué)方法. 一、運(yùn)動(dòng)學(xué)圖象 1.直線運(yùn)動(dòng)的x－t圖象 (1)圖象的物理意義 反映了做直線運(yùn)動(dòng)的物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律. (2)圖線斜率的意義 ①圖線上某點(diǎn)切線的斜率大小表示物體速度的大小 ②圖線上某點(diǎn)切線的斜率正負(fù)表示物體速度的方向. (3)交點(diǎn)

2、 兩圖線交點(diǎn)，表示兩物體相遇. 2.直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖象 (1)圖象的物理意義 反映了做直線運(yùn)動(dòng)的物體的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律. (2)圖線斜率的意義 ①圖線上某點(diǎn)切線的斜率大小表示物體加速度的大小. ②圖線上某點(diǎn)切線的斜率正負(fù)表示加速度的方向. (3)兩種特殊的v－t圖象 ①勻速直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖象是與橫軸平行的直線. ②勻變速直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖象是一條傾斜的直線. (4)圖象與時(shí)間軸圍成的面積的意義(如圖1) 圖1 ①圖象與時(shí)間軸圍成的面積表示位移. ②若此面積在時(shí)間軸的上方，表示這段時(shí)間內(nèi)的位移方向?yàn)檎?；若此面積在時(shí)間軸的下方，表示這段時(shí)間內(nèi)的位移方向?yàn)樨?fù).

3、(5)交點(diǎn) 兩圖線交點(diǎn)表示此時(shí)兩物體速度相同. 自測1　甲、乙兩物體從同一點(diǎn)出發(fā)且在同一條直線上運(yùn)動(dòng)，它們的位移—時(shí)間(x－t)圖象如圖2所示，由圖象可以看出在0～4 s內(nèi)(　　) 圖2 A.甲、乙兩物體始終同向運(yùn)動(dòng) B.第4 s末時(shí)，甲、乙兩物體間的距離最大 C.甲的平均速度等于乙的平均速度 D.乙物體一直做勻加速直線運(yùn)動(dòng) 答案　C 解析　由題圖可知在0～2 s內(nèi)，甲、乙同向運(yùn)動(dòng)，在2～4 s內(nèi)兩者反向運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；第4 s末兩物體相遇，兩物體間的距離不是最大，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由題圖知在0～4 s內(nèi)，甲、乙的位移都是2 m，故平均速度相等，選項(xiàng)C正確；根據(jù)圖線斜率的絕對值等

4、于速度的大小，可知乙物體一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 自測2　如圖3所示，為某物體做直線運(yùn)動(dòng)的v－t圖象，由此可知(　　) 圖3 A.前1 s物體的位移大小為1 m B.前2 s末物體的瞬時(shí)速度大小為2 m/s C.前3 s內(nèi)物體的加速度大小為3 m/s D.前3 s物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng) 答案　A 解析　在v－t圖象中，相應(yīng)圖線與時(shí)間軸所圍的面積表示位移，由題圖知，前1 s內(nèi)物體的位移大小x＝×1×2 m＝1 m，選項(xiàng)A正確；在1～3 s內(nèi)由題圖得，物體的加速度a＝＝＝－1 m/s，第2 s末物體的瞬時(shí)速度v＝v0＋at＝2 m/s－1 m/s2×1 s＝1 m/s，選項(xiàng)

5、B、C錯(cuò)誤；第1 s內(nèi)物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，1～3 s內(nèi)物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 二、追及與相遇問題 1.概述 當(dāng)兩個(gè)物體在同一條直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于兩物體的運(yùn)動(dòng)情況不同，所以兩物體之間的距離會不斷發(fā)生變化，就會涉及追及、相遇或避免碰撞等問題. 2.兩類情況 (1)若后者能追上前者，則追上時(shí)，兩者處于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度. (2)若后者追不上前者，則當(dāng)后者的速度與前者的速度相等時(shí)，兩者相距最近. 3.相遇問題的常見情況 (1)同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追及并相遇：兩物體位移大小之差等于開始時(shí)兩物體間的距離. (2)相向運(yùn)動(dòng)的兩物體相遇：各自發(fā)生的位移大小之和

6、等于開始時(shí)兩物體間的距離. 自測3　平直公路上的甲車以10 m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙車靜止在路面上，當(dāng)甲車經(jīng)過乙車旁邊時(shí)，乙車立即以大小為1 m/s2的加速度沿相同方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，從乙車加速開始計(jì)時(shí)，則(　　) A.乙車追上甲車所用的時(shí)間為10 s B.乙車追上甲車所用的時(shí)間為20 s C.乙追上甲時(shí)，乙的速度是15 m/s D.乙追上甲時(shí)，乙的速度是10 m/s 答案　B 解析　設(shè)乙車追上甲車所用的時(shí)間為t，則有v甲t＝at2，解得t＝20 s，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確；由v＝at得，乙車追上甲車時(shí)，乙車速度v乙＝20 m/s，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤. 命題點(diǎn)一　運(yùn)動(dòng)學(xué)圖象的理解和

7、應(yīng)用 1.x－t圖象與v－t圖象的比較 x－t圖象 v－t圖象 圖象 舉例 意義 傾斜直線表示勻速直線運(yùn)動(dòng)；曲線表示變速直線運(yùn)動(dòng) 傾斜直線表示勻變速直線運(yùn)動(dòng)；曲線表示變加速直線運(yùn)動(dòng) 特別處 兩條圖線的交點(diǎn)表示相遇 圖線與時(shí)間軸所圍面積表示位移 運(yùn)動(dòng) 情況 甲做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙做速度逐漸減小的直線運(yùn)動(dòng) 丙做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，丁做加速度逐漸減小的變加速直線運(yùn)動(dòng) 位移 0～t1時(shí)間內(nèi)甲、乙位移相等 0～t2時(shí)間內(nèi)丁的位移大于丙的位移 平均 速度 0～t1時(shí)間內(nèi)甲、乙平均速度相等 0～t2時(shí)間內(nèi)丁的平均速度大于丙的平均速度 2.三點(diǎn)說明 (1)

8、x－t圖象與v－t圖象都只能描述直線運(yùn)動(dòng)，且均不表示物體運(yùn)動(dòng)的軌跡； (2)分析圖象要充分利用圖象與其所對應(yīng)的物理量的函數(shù)關(guān)系； (3)識圖方法：一軸、二線、三斜率、四面積、五截距、六交點(diǎn). 例1　(多選)如圖4，直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位移—時(shí)間(x－t)圖線，由圖可知(　　) 圖4 A.在時(shí)刻t1，a車追上b車 B.在時(shí)刻t2，a、b兩車運(yùn)動(dòng)方向相反 C.在t1到t2這段時(shí)間內(nèi)，b車的速率先減少后增加 D.在t1到t2這段時(shí)間內(nèi)，b車的速率一直比a車的大 答案　BC 解析　由題圖可知，t1時(shí)刻，b車追上a車，故A錯(cuò)誤；x－t圖象的斜率表示速度，

9、由于t2時(shí)刻a、b兩圖象的斜率一正、一負(fù)，故兩車運(yùn)動(dòng)方向相反，B正確；由b圖線的斜率的變化可以看出t1到t2這段時(shí)間b車的速率先減少后反向增加，C正確；如圖所示，在t3時(shí)刻b圖線的斜率與a圖線的相等，此時(shí)兩車的速率相等，故D錯(cuò)誤. 例2　(2019·新課標(biāo)全國Ⅱ·14)甲、乙兩汽車在一平直公路上同向行駛.在t＝0到t＝t1的時(shí)間內(nèi)，它們的v—t圖象如圖5所示.在這段時(shí)間內(nèi)(　　) 圖5 A.汽車甲的平均速度比乙的大 B.汽車乙的平均速度等于 C.甲、乙兩汽車的位移相同 D.汽車甲的加速度大小逐漸減小，汽車乙的加速度大小逐漸增大 答案　A 解析　根據(jù)v—t圖象中圖線與時(shí)間軸所圍的

10、面積表示位移，可以看出汽車甲的位移x甲大于汽車乙的位移x乙，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；根據(jù)v＝得，汽車甲的平均速度v甲大于汽車乙的平均速度v乙，選項(xiàng)A正確；汽車乙的位移x乙小于初速度為v2、末速度為v1的勻減速直線運(yùn)動(dòng)的位移x，即汽車乙的平均速度小于，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)v—t圖象的斜率反映了加速度的大小，因此汽車甲、乙的加速度大小都逐漸減小，選項(xiàng)D錯(cuò)誤. 變式1　甲、乙兩車在同一條直道上行駛，它們運(yùn)動(dòng)的位移x隨時(shí)間t變化的關(guān)系圖象如圖6所示.已知乙車做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，其圖線與t軸相切于10 s處.則下列說法正確的是(　　) 圖6 A.甲車的初速度為零 B.乙車的初位置在x0＝60 m處 C.乙車的加

11、速度大小為1.6 m/s2 D.5 s時(shí)兩車相遇，此時(shí)甲車速度較大 答案　C 解析　由題圖可知甲車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度v甲＝＝ m/s＝4 m/s.故A錯(cuò)；由題圖可知乙車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，可看做是反方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則有x＝at2.由題圖可知，當(dāng)其反向運(yùn)動(dòng)5 s時(shí)，位移為20 m.則有20＝a·52，得加速度大小a＝1.6 m/s2.因其共運(yùn)動(dòng)了10 s，可得x0＝×1.6×102 m＝80 m.C對，B錯(cuò)；t＝5 s時(shí)，兩車相遇，但甲車速度v甲＝4 m/s小于乙車速度v乙＝8 m/s，D錯(cuò). 變式2　(2019·廣東佛山質(zhì)檢)如圖7所示為甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的速度－時(shí)間圖象，則

12、下列說法中正確的是(　　) 圖7 A.在0～t3時(shí)間內(nèi)甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)的平均速度相等 B.甲質(zhì)點(diǎn)在0～t1時(shí)間內(nèi)的加速度與乙質(zhì)點(diǎn)在t2～t3時(shí)間內(nèi)的加速度相同 C.甲質(zhì)點(diǎn)在0～t1時(shí)間內(nèi)的平均速度小于乙質(zhì)點(diǎn)在0～t2時(shí)間內(nèi)的平均速度 D.在t3時(shí)刻，甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)都回到了出發(fā)點(diǎn) 答案　A 解析　因在0～t3時(shí)間內(nèi)甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)的速度圖線與t軸所圍“面積”相等，說明位移相等，則甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)的平均速度相等，故A項(xiàng)正確；在0～t1時(shí)間內(nèi)，甲的圖線斜率為正值，加速度為正方向，在t2～t3時(shí)間內(nèi)，乙的圖線斜率為負(fù)值，加速度為負(fù)方向，兩個(gè)加速度不相同，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；甲質(zhì)點(diǎn)在0～t1時(shí)間內(nèi)的平均速度等于

13、＝，乙質(zhì)點(diǎn)在0～t2時(shí)間內(nèi)的平均速度等于＝，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；由圖可知甲、乙兩質(zhì)點(diǎn)的速度均為正值.則兩質(zhì)點(diǎn)均做單向直線運(yùn)動(dòng)，不可能回到出發(fā)點(diǎn)，故D項(xiàng)錯(cuò)誤. 拓展點(diǎn)1　非常規(guī)圖象 1.三類圖象 (1)a－t圖象：由v＝v0＋at可知圖象與橫軸所圍面積表示速度變化量Δv，如圖8甲所示； (2)－t圖象：由x＝v0t＋at2可得＝v0＋at，圖象的斜率為a，如圖乙所示. 圖8 (3)v2－x圖象：由v2－v02＝2ax可知v2＝v02＋2ax，圖象斜率為2a. 2.解題技巧 圖象反映了兩個(gè)變量(物理量)之間的函數(shù)關(guān)系，因此要由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式推導(dǎo)出兩個(gè)物理量間的函數(shù)關(guān)系，來分析圖象的意義. 例

14、3　一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)，如圖9所示是從t＝0時(shí)刻開始的質(zhì)點(diǎn)的－t圖象(x為位移)，可以推知(　　) 圖9 A.質(zhì)點(diǎn)做勻減速運(yùn)動(dòng) B.加速度的大小是1 m/s2 C.t＝2 s時(shí)的速度是1 m/s D.t＝2 s時(shí)位移是3 m 答案　B 解析　由題意可得圖線的函數(shù)表達(dá)式為＝1＋t，即x＝t＋t2，又因?yàn)閯蜃兯僦本€運(yùn)動(dòng)中位移公式為x＝v0t＋at2，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得v0＝1 m/s，a＝1 m/s2＞0，因此質(zhì)點(diǎn)做勻加速運(yùn)動(dòng)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確.當(dāng)t＝2 s時(shí)，根據(jù)公式v＝v0＋at，求出速度是3 m/s，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)t＝2 s時(shí)，代入表達(dá)式x＝t＋t2，可得位移是4 m，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

15、 變式3　(2019·江西南昌3月模擬)一輛汽車做直線運(yùn)動(dòng)，其v2－x圖象如圖10所示.關(guān)于汽車的運(yùn)動(dòng)，下列說法錯(cuò)誤的是(　　) 圖10 A.汽車的初速度為4 m/s B.汽車的加速度大小為0.5 m/s2 C.汽車第4 s末的速度為2 m/s D.汽車前10 s內(nèi)的位移為15 m 答案　D 解析　由題圖可知初始時(shí)速度的平方為16 m2/s2，則汽車的初速度v0＝4 m/s，A項(xiàng)正確.由題圖可知v2與x的關(guān)系式為v2－42＝－x，再與公式v2－v02＝2ax對比可知汽車做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a＝－0.5 m/s2，B項(xiàng)正確．由v＝v0＋at，可得汽車第4 s末的速度為v4＝4

16、m/s－0.5×4 m/s＝2 m/s，C項(xiàng)正確.因＝8 s，則知第8 s末車停止，汽車前10 s內(nèi)位移x＝＝16 m，D項(xiàng)錯(cuò)誤. 拓展點(diǎn)2　圖象間的相互轉(zhuǎn)化 例4　一物體由靜止開始沿直線運(yùn)動(dòng)，其加速度隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖11所示.取物體開始運(yùn)動(dòng)的方向?yàn)檎较?，則下列關(guān)于物體運(yùn)動(dòng)的v－t圖象正確的是(　　) 圖11 答案　C 命題點(diǎn)二　追及相遇問題 1.分析思路 可概括為“一個(gè)臨界條件”“兩個(gè)等量關(guān)系”. (1)一個(gè)臨界條件：速度相等.它往往是物體間能否追上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷問題的切入點(diǎn)； (2)兩個(gè)等量關(guān)系：時(shí)間等量關(guān)系和位移等量關(guān)系，通過畫

17、草圖找出兩物體的時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系是解題的突破口. 2.能否追上的判斷方法 物體B追趕物體A：開始時(shí)，兩個(gè)物體相距x0，到vA＝vB時(shí)，若xA＋x0＜xB，則能追上；若xA＋x0＝xB，則恰好不相撞；若xA＋x0＞xB，則不能追上. 3.特別提醒 若被追趕的物體做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，一定要注意判斷被追上前該物體是否已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng). 4.三種方法 (1)臨界法：尋找問題中隱含的臨界條件，例如速度小者加速追趕速度大者，在兩物體速度相等時(shí)有最大距離；速度大者減速追趕速度小者，若追不上則在兩物體速度相等時(shí)有最小距離. (2)函數(shù)法：設(shè)兩物體在t時(shí)刻相遇，然后根據(jù)位移關(guān)系列出關(guān)于t的方程f(t)

18、＝0，若方程f(t)＝0無正實(shí)數(shù)解，則說明這兩個(gè)物體不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正實(shí)數(shù)解，說明這兩個(gè)物體能相遇. (3)圖象法. ①若用位移圖象求解，分別作出兩個(gè)物體的位移圖象，如果兩個(gè)物體的位移圖象相交，則說明兩物體相遇. ②若用速度圖象求解，則注意比較速度圖線與時(shí)間軸包圍的面積. 例5　甲、乙兩車在同一直線軌道上同向行駛，甲車在前，速度為v1＝8 m/s，乙車在后，速度為v2＝16 m/s，當(dāng)兩車相距x0＝8 m時(shí)，甲車因故開始剎車，加速度大小為a1＝2 m/s2，為避免相撞，乙車立即開始剎車，則乙車的加速度至少為多大？ 答案　6 m/s2 解析　方法一：臨界法 設(shè)兩車

19、速度相同時(shí)均為v，所用時(shí)間為t，乙車的加速度大小為a2，則v1－a1t＝v2－a2t＝v，t＝t－x0，解得t＝2 s，a2＝6 m/s2，即t＝2 s時(shí)，兩車恰好未相撞，顯然此后在停止運(yùn)動(dòng)前，甲的速度始終大于乙的速度，故可避免相撞.滿足題意的條件為乙車的加速度至少為6 m/s2. 方法二：函數(shù)法 甲、乙運(yùn)動(dòng)的位移：x甲＝v1t－a1t2，x乙＝v2t－a2t2 避免相撞的條件為x乙－x甲0 代入數(shù)據(jù)有(a2－2)t2－16t＋16>0 不等式成立的條件是：Δ＝162－4×16(a2－2)<0，且a2－2>0 解得a2>6 m

20、/s2. 變式4　(多選)(2019·全國卷Ⅰ·21)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其v－t圖象如圖12所示.已知兩車在t＝3 s時(shí)并排行駛，則(　　) 圖12 A.在t＝1 s時(shí)，甲車在乙車后 B.在t＝0時(shí)，甲車在乙車前7.5 m C.兩車另一次并排行駛的時(shí)刻是t＝2 s D.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40 m 答案　BD 解析　由題中v－t圖象得a甲＝10 m/s2，a乙＝5 m/s2，兩車在t＝3 s時(shí)并排行駛，此時(shí)x甲＝a甲t2＝×10×32 m＝45 m，x乙＝v0t＋a乙t2＝10×3 m＋×5×32 m＝52.5 m，所以t＝0時(shí)甲車在前

21、，距乙車的距離為L＝x乙－x甲＝7.5 m，B項(xiàng)正確.t＝1 s時(shí)，x甲′＝a甲t′2＝5 m，x乙′＝v0t′＋a乙t′2＝12.5 m，此時(shí)x乙′＝x甲′＋L＝12.5 m，所以另一次并排行駛的時(shí)刻為t＝1 s，故A、C項(xiàng)錯(cuò)誤；兩次并排行駛的位置沿公路方向相距L′＝x乙－x乙′＝40 m，故D項(xiàng)正確. 變式5　(2019·河北保定調(diào)研)在平直公路上有甲、乙兩輛汽車從同一位置沿著同一方向運(yùn)動(dòng)，它們的速度－時(shí)間圖象如圖13所示，則(　　) 圖13 A.甲、乙兩車同時(shí)從靜止開始出發(fā) B.在t＝2 s時(shí)乙車追上甲車 C.在t＝4 s時(shí)乙車追上甲車 D.甲、乙兩車在公路上可能相遇兩次 答案　C 第 7 頁