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1、姓 名：
學 號：
得 分：
教師簽名：
離散數(shù)學作業(yè)2
離散數(shù)學集合論部分形成性考核書面作業(yè)
本課程形成性考核書面作業(yè)共3次,內(nèi)容主要分別是集合論部分、圖論部分、數(shù)理邏輯部分的綜合練習,基本上是按照考試的題型〔除單項選擇題外安排練習題目,目的是通過綜合性書面作業(yè),使同學自己檢驗學習成果,找出掌握的薄弱知識點,重點復習,爭取盡快掌握．本次形考書面作業(yè)是第一次作業(yè),大家要認真及時地完成集合論部分的綜合練習作業(yè)．
要求：學生提交作業(yè)有以下三種方式可供選擇：
1
2、. 可將此次作業(yè)用A4紙打印出來,手工書寫答題,字跡工整,解答題要有解答過程,完成作業(yè)后交給輔導教師批閱．
2. 在線提交word文檔
3. 自備答題紙張,將答題過程手工書寫,并拍照上傳．
一、填空題
1．設(shè)集合,則P-P={{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}},A′B={< 1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}．
2．設(shè)集合A有10個元素,那么A的冪集合P的元素個數(shù)為1024．
3．設(shè)集合A={0, 1, 2, 3},B={2, 3, 4, 5},R是A到B的二元關(guān)系,
則R的有序?qū)蠟椤?{< 2,2>,
3、<2,3>,<3.2>,<3.3> }．
4．設(shè)集合A={1, 2, 3, 4 },B={6, 8, 12}, A到B的二元關(guān)系
R＝
那么R－1＝{< 6,3>,<8,4> }．
5．設(shè)集合A=｛a,b,c,d｝,A上的二元關(guān)系R={, , , },則R具有的性質(zhì)是反自反性．
6．設(shè)集合A=｛a,b,c,d｝,A上的二元關(guān)系R={, , , },若在R中再增加兩個元素 ,,則新得到的關(guān)系就具有對稱性．
7．如果R1和R2是A上的自反關(guān)系,則R1∪R2,R1∩R2,
4、R1-R2中自反關(guān)系有 2 個．
8．設(shè)A={1,2}上的二元關(guān)系為R={|x?A,y?A,x+y=10},則R的自反閉包為 {< 1,1>,<,2,2} ．
9．設(shè)R是集合A上的等價關(guān)系,且1 , 2 , 3是A中的元素,則R中至少包含<1,1>,<2.2>,<3.3>等元素．
10．設(shè)A={1,2},B={a,b},C={3,4,5},從A到B的函數(shù)f={<1, a>, <2, b>},從B到C的函數(shù)g={< a,4>, < b,3>},則Ran={<1, a>, <2, b>} or {<1, b>, <
5、2, a>}．
二、判斷說明題〔判斷下列各題,并說明理由．
1．若集合A = {1,2,3}上的二元關(guān)系R={<1, 1>,<2, 2>,<1, 2>},則
<1> R是自反的關(guān)系； <2> R是對稱的關(guān)系．
解：<1>結(jié)論不成立．因為關(guān)系R要成為自反的,其中缺少元素<3,3>．<2>結(jié)論不成立．因為關(guān)系R中缺少元素<2,1>
2．設(shè)A={1,2,3},R={<1,1>, <2,2>, <1,2> ,<2,1>},則R是等價關(guān)系．
不是等價關(guān)系。因為3是A的一個元素, 但 <3,3>不在關(guān)系R中。等價關(guān)系R必須有： 對A中任意元素a, R含
6、
o
o
o
o
a
b
c
d
圖一
o
o
o
g
e
f
h
o
3．若偏序集的哈斯圖如圖一所示,
則集合A的最大元為a,最小元不存在．
錯誤,按照定義,圖中不存在最大元和最小元
4．設(shè)集合A={1,2,3,4},B={2, 4, 6, 8},,判斷下列關(guān)系f是否構(gòu)成函數(shù)f：,并說明理由．
<1> f={<1, 4>,<2, 2,>,<4, 6>,<1, 8>}； <2> f={<1, 6>,<3, 4>,<2, 2>}；
<3> f={<1, 8>,<2, 6>,<3, 4>,<4, 2,>}．
<1>不構(gòu)成函數(shù),
7、因為它的定義域Dom≠A
<2>也不構(gòu)成函數(shù),因為它的定義域Dom≠A
<3>構(gòu)成函數(shù),首先它的定義域Dom={1,2,3,4}=A,其次對于A中的每一個元素a,在B中都有一個唯一的元素b,使?f
三、計算題
1．設(shè),求：
<1> è~C； <2> - <3> P－P； <4> A?B．
解：<1> ~C={1}{1,3,5}={1,3,5}
<2> - ={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}
<3> P－P={φ,{1},{4},{1,4}}－{
8、φ,{2},{4},{2,4}}
={{1},{1,4}}
<4> AB= ={4}{2,5}={2,4,5}
2．設(shè)A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},試計算
〔1〔A-B； 〔2〔A∩B； 〔3A×B．
解
（1） 〔A-B= {{1},{2}}
（2） 〔A∩B= {1,2}
（3） A×B = {< 1 },1＞,{{ 1 },2＞,
3．設(shè)A={1,2,3,4,5},R={|x?A,y?A且x+y￡4},S={|x?A,y?A且x+y<0},試求R,S,R·S,S·R,R-1,S-1
9、,r,s．
解：R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈3,1〉},
S=φ
R·S=φ
S·R=φ
R-1={〈1,1〉,〈2,1〉,〈3,1〉,〈1,2〉,〈2,2〉,〈1,3〉}
S-1=φ
r= {〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈4,4〉,〈5,5〉}
s= {〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈3,1〉}
4．設(shè)A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除關(guān)系,B={2,4, 6}．
<1> 寫出關(guān)系R的表示式； <2 >畫出關(guān)系R的哈斯圖；
10、
<3> 求出集合B的最大元、最小元．
解：<1> R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈1,4〉,〈1,5〉,〈1,6〉,〈1,7〉,〈1,8〉,〈2,2〉,〈2,4〉,〈2,6〉,〈2,8〉,〈3,3〉,〈3,6〉,〈4,4〉,〈4,8〉,〈5,5〉,〈6,6〉,〈7,7〉,〈8,8〉}
<2 > 關(guān)系R的哈斯圖
1
5
6
3
7
4
8
2
<3> 集合B的沒有最大元,最小元是2．
四、證明題
1．試證明集合等式：Aè = ? ．
證明：設(shè)任意 xAè ,那么 xA或x B?C,
也就是 x
11、A或xB,且xA或xC；
由此得 x AèB且xAèC,即x ? ．
所以, Aè ?
又因為對 任意 x ? ,由 xAèB且x AèC,
也就是 xA或xB,且xA或 xC；
得 xA 或 x B?C,即 xAè ．
所以, ? Aè
故Aè = ? ．
2．試證明集合等式A? = è ．
證明：設(shè)S=A∩,T=∪,若x∈S,則x∈A且x∈B∪C,即x∈A且x
12、∈B或x∈A且x∈C,
也即x∈A∩B或x∈A∩C,即x∈T,
所以ST．反之,若x∈T,則x∈A∩B或x∈A∩C,
即x∈A且x∈B或x∈A且x∈C
也即x∈A且x∈B∪C,
即x∈S,所以TS．
因此T=S
3．對任意三個集合A, B和C,試證明：若AB = AC,且A,則B = C．
證明：〔1對于任意〈a,b〉∈AB,其中a∈A,b∈B,因為AB = AC,必有〈a,b〉∈AC,其中b∈C,因此BC。
〔2同理,對于任意〈a,c〉∈AC,其中a∈A,c∈C,因為AB = AC,必有〈a,c〉∈AB,其中c∈B,因此CB。
由〔1、〔2得：B = C．
4．試證明：若R與S是集合A上的自反關(guān)系,則R∩S也是集合A上的自反關(guān)系．
證明：若R與S是集合A上的自反關(guān)系,則任意x∈A,＜x,x＞∈R,＜x,x＞∈S,
從而＜x,x＞∈R∩S,注意x是A的任意元素,所以R∩S也是集合A上的自反關(guān)系。
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