2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)案 新人教B版選修2-2

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1、 1．1.3　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 明目標(biāo)、知重點(diǎn)　1.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程． 1.割線斜率與切線斜率 設(shè)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，AB是過點(diǎn)A(x0，f(x0))與點(diǎn)B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一條割線，此割線的斜率是＝. 當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的極限位置為直線AD，這條直線AD叫做此曲線在點(diǎn)A處的切線．于是，當(dāng)Δx→0時(shí)，割線AB的斜率無限趨近于過點(diǎn)A的切線AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝ . 2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x

2、0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． [情境導(dǎo)學(xué)] 如果一個(gè)函數(shù)是路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，那么函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)速度，這是函數(shù)的實(shí)際意義，那么從函數(shù)的圖象上來考察函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，它具有怎樣的幾何意義呢？這就是本節(jié)我們要研究的主要內(nèi)容． 探究點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 思考1　如圖，當(dāng)點(diǎn)Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4)沿著曲線f(x)趨近于點(diǎn)P(x0，f(x0))時(shí)，割線PPn的變化趨勢是什么？ 答　當(dāng)點(diǎn)Pn趨近于點(diǎn)P時(shí)，

3、割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線． 思考2　曲線的切線是不是一定和曲線只有一個(gè)交點(diǎn)？ 答　不一定．曲線的切線和曲線不一定只有一個(gè)交點(diǎn)，和曲線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線和曲線也不一定相切．如圖，曲線的切線是通過逼近將割線趨于確定位置的直線． 例1　如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的圖象．根據(jù)圖象，請描述、比較曲線h(t)在t0，t1，t2附近的變化情況． 解　我們用曲線h(t)在t0，t1，t2處的切線，刻畫曲線h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情況． (1)當(dāng)t＝t0時(shí)，曲線h(t)在t0處的切線l0平行于t

4、軸．所以，在t＝t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降． (2)當(dāng)t＝t1時(shí)，曲線h(t)在t1處的切線l1的斜率h′(t1)<0.所以，在t＝t1附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t＝t1附近單調(diào)遞減． (3)當(dāng)t＝t2時(shí)，曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率h′(t2)<0.所以，在t＝t2附近曲線下降，即函數(shù)h(t)在t＝t2附近也單調(diào)遞減． 從圖中可以看出，直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說明曲線h(t)在t1附近比在t2附近下降得緩慢． 反思與感悟　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象升降的關(guān)系： 若函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)存在且f′(x0)>0(即切線的斜率大于零)，則函數(shù)y＝f

5、(x)在x＝x0附近的圖象是上升的；若f′(x0)<0(即切線的斜率小于零)，則函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的圖象是下降的．導(dǎo)數(shù)絕對值的大小反映了曲線上升和下降的快慢． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)根據(jù)例1的圖象，描述函數(shù)h(t)在t3和t4附近增(減)以及增(減)快慢的情況． 解　函數(shù)h(t)在t3、t4處的切線的斜率h′(t)>0，所以，在t＝t3，t＝t4附近單調(diào)遞增，且曲線h(t)在t3附近比在t4附近遞增得快． (2)若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是(　　) 答案　A 解析　依題意，y＝f′(x)在[a，

6、b]上是增函數(shù)，則在函數(shù)f(x)的圖象上，各點(diǎn)的切線的斜率隨著x的增大而增大，觀察四個(gè)選項(xiàng)的圖象，只有A滿足． 探究點(diǎn)二　求切線的方程 思考1　怎樣求曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線方程？ 答　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的導(dǎo)數(shù)，即曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，再由直線方程的點(diǎn)斜式求出切線方程． 思考2　曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線與曲線過某點(diǎn)(x0，y0)的切線有何不同？ 答　曲線f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線，點(diǎn)(x0，f(x0))一定是切點(diǎn)，只要求出k＝f′(x0)，利用點(diǎn)斜式寫出切線即可；而曲線f(x)過

7、某點(diǎn)(x0，y0)的切線，給出的點(diǎn)(x0，y0)不一定在曲線上，即使在曲線上也不一定是切點(diǎn)． 例2　已知曲線y＝x2，求： (1)曲線在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程； (2)曲線過點(diǎn)P(3,5)的切線方程． 解　(1)設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)， ∵y′|x＝x0＝ ＝ ＝2x0，∴斜率k＝2. ∴曲線在點(diǎn)P(1,1)處的切線方程為 y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. (2)點(diǎn)P(3,5)不在曲線y＝x2上， 設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0) 由(1)知，k＝2x0， ∴切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)， 由P(3,5)在所求直線上得5－y0＝2x0(3－x0)①

8、再由A(x0，y0)在曲線y＝x2上得y0＝x② 聯(lián)立①，②得，x0＝1或x0＝5. 從而切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)或(5,25) 當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線的斜率為k1＝2x0＝2， 此時(shí)切線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0， 當(dāng)切點(diǎn)為(5,25)時(shí)，切線的斜率為k2＝2x0＝10， 此時(shí)切線方程為y－25＝10(x－5)， 即10x－y－25＝0. 綜上所述，過點(diǎn)P(3,5)且與曲線y＝x2相切的直線方程為2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 反思與感悟　求曲線上某點(diǎn)處的切線方程，可以直接利用導(dǎo)數(shù)求出曲線上此點(diǎn)處的斜率，然后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程；求曲線過

9、某點(diǎn)的切線方程，要先求出切點(diǎn)坐標(biāo)． 跟蹤訓(xùn)練2　已知直線l：y＝4x＋a和曲線C：y＝f(x)＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切點(diǎn)坐標(biāo)． 解　設(shè)直線l與曲線C相切于點(diǎn)P(x0，y0)， ∵f′(x)＝ ＝ ＝3x2－4x， ∴k＝f′(x0)＝3x－4x0. 由題意可知k＝4，即3x－4x0＝4， 解得x0＝－或x0＝2， ∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為(－，)或(2,3)． 當(dāng)切點(diǎn)為(－，)時(shí)，有＝4×(－)＋a， 解得a＝. 當(dāng)切點(diǎn)為(2,3)時(shí)，有3＝4×2＋a，解得a＝－5. ∴當(dāng)a＝時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－，)； 當(dāng)a＝－5時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(2,3)． 1．已知曲線f

10、(x)＝2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則點(diǎn)A處的切線斜率為(　　) A．4 B．16 C．8 D．2 答案　C 解析　f′(2)＝ ＝ ＝ (8＋2Δx)＝8，即k＝8. 2．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則(　　) A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1 C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1 答案　A 解析　由題意， 知k＝ ＝1， ∴a＝1. 又(0，b)在切線上，∴b＝1，故選A. 3．已知曲線y＝f(x)＝2x2＋4x在點(diǎn)P處的切線斜率為16，則P點(diǎn)坐標(biāo)為________． 答案　(3,30) 解

11、析　設(shè)點(diǎn)P(x0,2x＋4x0)， 則f′(x0)＝ ＝ ＝4x0＋4， 令4x0＋4＝16得x0＝3， ∴P(3,30)． [呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律] 1．導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處的切線的斜率，即k＝ ＝f′(x0)，物理意義是運(yùn)動(dòng)物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度． 2．“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個(gè)數(shù)值，不是變數(shù)，“導(dǎo)函數(shù)”是一個(gè)函數(shù)，二者有本質(zhì)的區(qū)別，但又有密切關(guān)系，f′(x0)是其導(dǎo)數(shù)y＝f′(x)在x＝x0處的一個(gè)函數(shù)值． 3．利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上．如果已知點(diǎn)在曲線上，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知點(diǎn)不在切線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，f(x0))，表示出切線方程，然后求出切點(diǎn)． 6