2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.1 函數(shù)的平均變化率學(xué)案 新人教B版選修2-2

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1、 1．1.1　函數(shù)的平均變化率 明目標(biāo)、知重點(diǎn)　1.理解并掌握平均變化率的概念.2.會求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率.3.能利用平均變化率解決或說明生活中的一些實(shí)際問題． 1．函數(shù)的平均變化率 已知函數(shù)y＝f(x)，x0，x1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記Δx＝x1－x0，Δy＝y(tǒng)1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，則當(dāng)Δx≠0時，商＝叫做函數(shù)y＝f(x)在x0到x0＋Δx(或[x0＋Δx，x0])之間的平均變化率． 2．函數(shù)y＝f(x)的平均變化率的幾何意義 ＝表示函數(shù)y＝f(x)圖象上過兩點(diǎn)(x1，f(x1))，(x2，f(x2))的割線的斜率．

2、 [情境導(dǎo)學(xué)] 某市2013年5月30日最高氣溫是33.4℃，而此前的兩天5月29日和5月28日最高氣溫分別是24.4℃和18.6℃，短短兩天時間，氣溫“陡增”14.8℃，悶熱中的人們無不感嘆：“天氣熱得太快了！”但是，如果我們將該市2013年4月28日最高氣溫3.5℃和5月28日最高氣溫18.6℃進(jìn)行比較，可以發(fā)現(xiàn)二者溫差為15.1℃，甚至超過了14.8℃，而人們卻不會發(fā)出上述感慨，這是什么原因呢？顯然原因是前者變化得“太快”，而后者變化得“緩慢”，那么在數(shù)學(xué)中怎樣來刻畫變量變化得快與慢呢？ 探究點(diǎn)一　函數(shù)的平均變化率 思考1　如何用數(shù)學(xué)反映曲線的“陡峭”程度？ 答　如圖，表示A、

3、B之間的曲線和B、C之間的曲線的陡峭程度，可以近似地用直線的斜率來量化． 如用比值近似量化B、C這一段曲線的陡峭程度，并稱該比值是曲線在[xB，xC]上的平均變化率． 思考2　什么是平均變化率，平均變化率有何作用？ 答　如果問題中的函數(shù)關(guān)系用y＝f(x)表示，那么問題中的變化率可用式子表示，我們把這個式子稱為函數(shù)y＝f(x)從x1到x2的平均變化率，平均變化率可以描述一個函數(shù)在某個范圍內(nèi)變化的快慢． 思考3　平均變化率有什么幾何意義？ 答　設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲線y＝f(x)上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)y＝f(x)的平均變化率＝＝為割線AB的斜率．

4、x1，x2是定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，因此Δx≠0，但Δx可正也可負(fù)；Δy＝f(x2)－f(x1)是相應(yīng)Δx＝x2－x1的改變量，Δy的值可正可負(fù)，也可為零．因此，平均變化率可正可負(fù)，也可為零． 例1　某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率． 解　從出生到第3個月，嬰兒體重平均變化率為 ＝1(千克/月)． 從第6個月到第12個月，嬰兒體重平均變化率為 ＝＝0.4(千克/月)． 反思與感悟　求平均變化率的主要步驟： (1)先計算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1)． (2)再計算自變量的改變量Δx＝x

5、2－x1. (3)得平均變化率＝. 跟蹤訓(xùn)練1　如圖是函數(shù)y＝f(x)的圖象，則： (1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為________； (2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為________． 答案　(1)　(2) 解析　(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為＝＝. (2)由函數(shù)f(x)的圖象知，f(x)＝. 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為＝＝. 探究點(diǎn)二　求函數(shù)的平均變化率 例2　已知函數(shù)f(x)＝x2，分別計算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率： (1)[1,3]；(2)[1,2]；(3)[1,1.1]；(

6、4)[1,1.001]． 解　(1)函數(shù)f(x)在[1,3]上的平均變化率為 ＝＝4； (2)函數(shù)f(x)在[1,2]上的平均變化率為 ＝＝3； (3)函數(shù)f(x)在[1,1.1]上的平均變化率為 ＝＝2.1； (4)函數(shù)f(x)在[1,1.001]上的平均變化率為＝＝2.001. 反思與感悟　函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢，自變量的改變量Δx取值越小，越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況． 跟蹤訓(xùn)練2　求函數(shù)y＝x2在x＝1,2,3附近的平均變化率，判斷哪一點(diǎn)附近平均變化率最大？ 解　在x＝1附近的平均變化率為 k1＝＝＝2＋Δx； 在x＝2附近的平均變化率為 k2

7、＝＝＝4＋Δx； 在x＝3附近的平均變化率為 k3＝＝＝6＋Δx； 對任意Δx有，k1s2(0)， 則<， 所以在從0到t0這段時間內(nèi)乙的平均速度大． 反思與

8、感悟　平均變化率的絕對值反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢，平均變化率的絕對值越大，函數(shù)在區(qū)間上的變化越快；平均變化率的絕對值越小，函數(shù)在區(qū)間上的變化越慢． 跟蹤訓(xùn)練3　甲用5年時間掙到10萬元，乙用5個月時間掙到2萬元，如何比較和評價甲、乙兩人的經(jīng)營成果？ 解　甲賺錢的平均速度為＝＝(萬元/月)，乙賺錢的平均速度為(萬元/月)． 因為乙平均每月賺的錢數(shù)大于甲平均每月賺的錢數(shù)， 所以乙的經(jīng)營成果比甲的好． 1．如果質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s＝3＋t2運(yùn)動，則在一小段時間[2，2.1]中相應(yīng)的平均速度是(　　) A．4 B．4.1 C．0.41 D．3 答案　B 解析?。剑?.1.

9、2．一物體的運(yùn)動方程是s＝3＋2t，則在[2,2.1]這段時間內(nèi)的平均速度為________． 答案　2 3．已知函數(shù)h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10. (1)計算從x＝1到x＝1＋Δx的平均變化率，其中Δx的值為①2；②1；③0.1；④0.01. (2)根據(jù)(1)中的計算，當(dāng)|Δx|越來越小時，函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,1＋Δx]上的平均變化率有怎樣的變化趨勢？ 解　(1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(huán)(1) ＝－4.9(Δx)2－3.3Δx， ∴＝－4.9Δx－3.3. ①當(dāng)Δx＝2時，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1； ②當(dāng)Δx＝1時，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2； ③當(dāng)Δx＝0.1時，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79； ④當(dāng)Δx＝0.01時，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349. (2)當(dāng)|Δx|越來越小時，函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,1＋Δx]上的平均變化率逐漸變大，并接近于－3.3. [呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律] 1．函數(shù)的平均變化率可以表示函數(shù)值在某個范圍內(nèi)變化的快慢；平均變化率的幾何意義是曲線割線的斜率，在實(shí)際問題中表示事物變化的快慢． 2．求函數(shù)f(x)的平均變化率的主要步驟： (1)先計算函數(shù)值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再計算自變量的改變量Δx＝x2－x1； (3)得平均變化率＝. 5