《2017-2018版高中數(shù)學 第三章 不等式 2.1 一元二次不等式的解法學案 北師大版必修5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018版高中數(shù)學 第三章 不等式 2.1 一元二次不等式的解法學案 北師大版必修5（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2．1 一元二次不等式的解法
學習目標 1.理解一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)的關系.2.掌握圖像法解一元二次不等式.3.體會數(shù)形結合、分類討論思想．
知識點一 一元二次不等式的概念
思考 我們知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一個元素均可使等式成立．那么你能寫出不等式x2>1的解集嗎？
梳理 (1)形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式．
(2)使某個一元二次不等式成立的x的值叫這個一元二次不等式的解．
(3)一元二次不等式所有解組成的集，叫作一元二次不等式的解集．
知識點二 “
2、三個二次”的關系
思考 分析二次函數(shù)y＝x2－1與一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之間的關系．
梳理 一元二次不等式與相應的一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系，如下表．
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的圖像
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根
沒有實數(shù)根
ax2＋bx＋c>0
(a>0)的解集
{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0
(a>0)的解集
?
知識點三 一元二次不等式的解法
思考 根據(jù)上表，嘗試解不等式x2＋2>3x.
梳理 解一元二次方程的步
3、驟
解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分為三步：
(1)確定對應方程ax2＋bx＋c＝0的解；
(2)畫出對應函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖像簡圖；
(3)由圖像得出不等式的解集．
類型一 一元二次不等式的解法
命題角度1 二次項系數(shù)大于0
例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集．
反思與感悟 當所給不等式是非一般形式的不等式時，應先化為一般形式，在具體求解一個一般形式的一元二次不等式的過程中，要密切結合一元二次方程的根的情況以及二次函數(shù)的圖像．
跟蹤訓練1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集．
命題角度2 二次項系
4、數(shù)小于0
例2 解不等式－x2＋2x－3>0.
反思與感悟 將－x2＋2x－3>0轉化為x2－2x＋3<0的過程注意符號的變化，這是解本題關鍵之處．
跟蹤訓練2 求不等式－3x2＋6x>2的解集．
命題角度3 含參數(shù)的二次不等式
例3 解關于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
反思與感悟 解含參數(shù)的不等式，可以按常規(guī)思路進行：先考慮開口方向，再考慮判別式的正負，最后考慮兩根的大小關系，當遇到不確定因素時再討論．
跟蹤訓練3 解關于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.
類型二 “三個二次”間對應關系的應用
例4 已知關于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集為{x|1＜x＜
5、2}，試求關于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．
反思與感悟 給出一元二次不等式的解集，相當于知道了相應二次函數(shù)的開口及與x軸的交點，可以利用代入根或根與系數(shù)的關系求待定系數(shù)．
跟蹤訓練4 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集為{x|10的解集是( )
A. B．{x|x＞1}
C．{x|x＜1或x＞2} D.
2．不等式－6x2－x＋2≤0的解集是( )
A. B.
C. D.
3．若不等式ax2＋8ax＋21<0的解集是{x|－7
6、C．3 D．4
4．不等式x2＋x－2<0的解集為_________________________________________________．
5．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．
1．解一元二次不等式的常見方法
(1)圖像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函數(shù)的關系，可以得到解一元二次不等式的一般步驟
①化不等式為標準形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫出對應函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖像的簡圖；
③由圖像得出不等式的解集．
(2
7、)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解．
當m0，則可得x>n或x0，a<0，a＝0.
(2)關于不等式對應的方程根的討論：兩根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，無根(Δ<0)．
(3)關于不等式對應的方程根的大小的討論：x1>x2，x1＝x2，x1
8、2.
答案精析
問題導學
知識點一
思考 不等式x2>1的解集為{x|x<－1或x>1}，該集合中每一個元素都是不等式的解，而不等式的每一個解均屬于解集．
知識點二
思考 x2－1>0y＝x2－1x2－1＝0.
梳理 有兩相異實根x1，x2(x1x2} {x|x10.
∵方程x2－3x＋2＝0的根x1＝1，x2＝2，
∴原不等式的解集為{x|x<1或x>2}．
題型探究
例1 解 因為Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，
所以方程4x2－4x＋1＝0的解是x
9、1＝x2＝，
所以原不等式的解集為.
跟蹤訓練1 解 ∵2x2－3x－2＝0的兩解為x1＝－，x2＝2，
且a＝2>0，
∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是
{x|x≤－或x≥2}．
例2 解 不等式可化為x2－2x＋3<0.
因為Δ<0，方程x2－2x＋3＝0無實數(shù)解，
而y＝x2－2x＋3的圖像開口向上，
所以原不等式的解集是?.
跟蹤訓練2 解 不等式可化為3x2－6x＋2<0，
∵Δ＝(－6)2－4×3×2＝12>0，
∴x1＝1－，x2＝1＋，
∴不等式－3x2＋6x>2的解集是
{x|1－
10、(x－1)＞0，
∵a＜0，∴＜1，
∴不等式的解集為{x|x＜或x＞1}．
當a＝0時，不等式即－x＋1＜0，解集為{x|x＞1}．
當a＞0時，不等式可化為
(x－)(x－1)＜0.
當0＜a＜1時，＞1，不等式的解集為{x|1＜x＜}．
當a＝1時，不等式的解集為?.
當a＞1時，＜1，不等式的解集為
{x|＜x＜1}．
綜上，當a＜0時，解集為{x|x＜或x＞1}；
當a＝0時，解集為{x|x＞1}；
當0＜a＜1時，解集為{x|1＜x＜}；
當a＝1時，解集為?；
當a＞1時，解集為{x|＜x＜1}．
跟蹤訓練3 解 當a＜0或a＞1時，有a＜a2，此時
11、，不等式的解集為{x|a＜x＜a2}；
當0＜a＜1時，有a2＜a，此時，不等式的解集為{x|a2＜x＜a}；
當a＝0或a＝1時，原不等式無解．
綜上，當a＜0或a＞1時，原不等式的解集為{x|a＜x＜a2}；
當0＜a＜1時，原不等式的解集為
{x|a2＜x＜a}；
當a＝0或a＝1時，解集為?.
例4 解 由根與系數(shù)的關系，可得
即
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0，解得x<或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集為.
跟蹤訓練4 解 方法一 由題設條件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的兩實根．
由根與系數(shù)的關系，知解得
方法二 把x＝1,2分別代入方程ax2－bx＋2＝0中，
得解得
當堂訓練
1．D 2.B 3.C 4.{x|－2
2017-2018版高中數(shù)學 第三章 不等式 2.1 一元二次不等式的解法學案 北師大版必修5
