2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計(jì) 8 最小二乘估計(jì)學(xué)案 北師大版必修3

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1、 8 最小二乘估計(jì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解用最小二乘法建立線性回歸方程的思想，會(huì)用給出的公式建立線性回歸方程.2.理解回歸直線與觀測數(shù)據(jù)的關(guān)系，能用線性回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測． 知識(shí)點(diǎn)一　最小二乘法 思考　具有線性相關(guān)關(guān)系的散點(diǎn)大致分布在一條直線附近．如何確定這條直線比較合理？ 　 　 　 知識(shí)點(diǎn)二　線性回歸方程 思考　數(shù)學(xué)上的“回歸”是什么意思？ 　 　 　 梳理　用最小二乘法得到的直線方程稱為__________，a，b是線性回歸方程的系數(shù)． 如果用表示，用表示，則可以求得 b＝ ＝. a＝________. 類型一　線性

2、回歸方程的求法 例1　下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料． 機(jī)動(dòng)車輛數(shù)x/千臺(tái) 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故數(shù)y/千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 (1)請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)說明理由； (2)如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程． 　 　 　 　 　 反思與感悟　即使散點(diǎn)圖呈餅狀，也可利用公式求出線性回歸方程，但這種方程顯然沒什么價(jià)值．故應(yīng)先畫出散點(diǎn)圖，看是否呈直線

3、形，再求方程． 跟蹤訓(xùn)練1　以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)： 房屋面積x(m2) 115 110 80 135 105 銷售價(jià)格y(萬元) 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)畫出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖； (2)求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線． 　 　 　 類型二　線性回歸方程的應(yīng)用 例2　有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表： 攝氏溫度/℃ －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31

4、 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫出散點(diǎn)圖； (2)從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間有什么關(guān)系； (3)求線性回歸方程； (4)如果某天的氣溫是2℃，預(yù)測這天賣出的熱飲杯數(shù)； (5) 氣溫為2℃時(shí)，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？ 　 　 　 　 反思與感悟　線性回歸方程主要用于預(yù)測，但這種預(yù)測類似于天氣預(yù)報(bào)，不一定與實(shí)際數(shù)據(jù)完全吻合． 跟蹤訓(xùn)練2　有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市某一年的人均國民生產(chǎn)總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒

5、童數(shù)，如下表： 人均GDP/萬元 10 8 6 4 3 1 患白血病的兒童數(shù)/人 351 312 207 175 132 180 (1)畫出散點(diǎn)圖，并判定這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系； (2)通過計(jì)算可知這兩個(gè)變量的線性回歸方程為y＝23.25x＋102.15，假如一個(gè)城市的人均GDP為12萬元，那么可以斷言，這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過380人，請(qǐng)問這個(gè)斷言是否正確？ 　 　 　 1．下列有關(guān)線性回歸的說法，不正確的是(　　) A．自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系 B．在平面直

6、角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫作散點(diǎn)圖 C．線性回歸方程最能代表觀測值x、y之間的線性關(guān)系 D．任何一組觀測值都能得到具有代表意義的線性回歸方程 2．已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23，樣本點(diǎn)中心(即(，))為(4,5)，(　　) A．y＝1.23x＋4 B．y＝1.23x＋5 C．y＝1.23x＋0.08 D．y＝0.08x＋1.23 3．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表： 廣告費(fèi)用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得線性回歸方程y＝bx＋a中的b為9

7、.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)銷售額為(　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 4．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的線性回歸方程為y＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是(　　) A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系 B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(，) C．若該大學(xué)某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學(xué)某女生身高為170 cm，則可判定其體重必為58.79 kg 1．求線性回歸方程時(shí)

8、應(yīng)注意的問題 (1)知道x與y成線性相關(guān)關(guān)系，無需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如果兩個(gè)變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說，它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著，即使求出線性回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計(jì)和預(yù)測的量也是不可信的． (2)用公式計(jì)算a、b的值時(shí)，要先計(jì)算b，然后才能算出a. 2．利用線性回歸方程，我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測．若線性回歸方程為y＝bx＋a，則x＝x0處的估計(jì)值為y0＝bx0＋a. 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考　應(yīng)該使散點(diǎn)整體上最接近這條直線．最小二乘法是一種求回歸直線的方法，用這種方法求得的回歸直線能使樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離

9、 [y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2最小． 知識(shí)點(diǎn)二 思考　“回歸”一詞最早由英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家(Francils Galton)提出的，本意是子女的身高會(huì)向一般人的均值靠攏．現(xiàn)在這個(gè)概念引伸到隨機(jī)變量有向回歸線集中的趨勢． 梳理　 線性回歸方程?。璪 題型探究 例1　解　(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖． 直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)計(jì)算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和： i＝1 031，i＝71.6， ＝137 835，iyi＝9 611.7， ＝128.875，＝8.95， 將它們代入公式計(jì)

10、算得b≈0.077 4，a≈－1.024 9， 所以，所求線性回歸方程為y＝0.077 4x－1.024 9. 跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示： (2)＝i＝109，＝23.2， ＝60 975，iyi＝12 952. 設(shè)所求線性回歸方程為y＝bx＋a， 則b＝≈0.196 2， a＝－b＝23.2－109×0.196 2＝1.814 2， 故所求線性回歸方程為y＝0.196 2x＋1.814 2. 回歸直線如(1)中圖所示． 例2　解　(1)散點(diǎn)圖如圖所示： (2)從上圖看到，各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負(fù)相

11、關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少． (3)從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出線性回歸方程的系數(shù)．利用計(jì)算器容易求得線性回歸方程為y＝－2.352x＋147.767. (4)當(dāng)x＝2時(shí)，y＝143.063.因此，某天的氣溫為2℃時(shí)，這天大約可以賣出143杯熱飲． (5)小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下：①線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計(jì)出來的，存在誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測結(jié)果的偏差．②即使截距和斜率的估計(jì)沒有誤差，也不可能百分之百地保證對(duì)應(yīng)于x的預(yù)報(bào)值，能夠與實(shí)際值y很接近．我們不能保證點(diǎn)(x，y)落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近． 跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)散點(diǎn)圖如下： 根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出，在6個(gè)點(diǎn)中，雖然第一個(gè)點(diǎn)離這條直線較遠(yuǎn)，但其余5個(gè)點(diǎn)大致分布在這條直線的附近，所以這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系． (2)斷言是錯(cuò)誤的，將x＝12代入y＝23.25x＋102.15得y＝23.25×12＋102.15＝381.15＞380，但381.15是對(duì)該城市人均GDP為12萬元的情況下所作的一個(gè)估計(jì)，該城市患白血病的兒童可能超過380人，也可能低于380人． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．D　2.C　3.B　4.D 8