4、一條件是不能忽視的，它保證了和的極限(定積分)的存在(實(shí)際上，函數(shù)連續(xù)是定積分存在的充分條件，而不是必要條件)．
例1 利用定積分的定義，計(jì)算?x3dx的值．
解 令f(x)＝x3.
(1)分割
在區(qū)間[0,1]上等間隔地插入n－1個(gè)分點(diǎn)，把區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間[，](i＝1,2，…，n)，每個(gè)小區(qū)間的長度為Δx＝－＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，則
?x3dx≈Sn＝f()·Δx
＝ ()3·
＝i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2.
(3)取極限
?x3dx＝Sn＝ (1＋)2＝.
反思與感悟 (1)利用定積分定義求定積分的數(shù)值
5、仍然是“分割、近似代替、求和、取極值”這一過程，需要注意的是在本題中將近似代替、求和一起作為步驟(2)，從而省略了解題步驟．
(2)從過程來看，當(dāng)f(x)≥0時(shí)，定積分就是區(qū)間對(duì)應(yīng)曲邊梯形的面積．
跟蹤訓(xùn)練1 用定義計(jì)算?(1＋x)dx.
解 (1)分割：將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間(i＝1,2，…，n)，每個(gè)小區(qū)間的長度為
Δx＝.
(2)近似代替、求和：在上取點(diǎn)ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，從而得(ξi)Δx＝(2＋)·＝
＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝2＋·＝2＋.
(3)取極限：S＝ ＝2＋＝.
因此?(1＋x)dx
6、＝.
探究點(diǎn)二 定積分的幾何意義
思考1 從幾何上看，如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0，那么?f(x)dx表示什么？
答 當(dāng)函數(shù)f(x)≥0時(shí)，定積分?f(x)dx在幾何上表示由直線x＝a，x＝b(a0，f(ξi)≤0，故
f(ξi)≤0.從而定積分?f(x)dx≤0，這時(shí)它等于如圖①
7、所示曲邊梯形面積的相反值，即?f(x)dx＝－S.
當(dāng)f(x)在區(qū)間[a，b]上有正有負(fù)時(shí)，定積分?f(x)dx表示介于x軸、函數(shù)f(x)的圖象及直線x＝a，x＝b(a≠b)之間各部分面積的代數(shù)和(在x軸上方的取正，在x軸下方的取負(fù))．(如圖②)，即?f(x)dx＝－S1＋S2－S3.
例2 用定積分的幾何意義求：
(1)(3x＋2)dx；
(2)
(3) (|x＋1|＋|x－1|－4)dx；
(4)dx(b>a)．
解 (1)如圖1陰影部分面積為＝，
從而(3x＋2)dx＝.
(2)如圖2，由于A的面積等于B的面積，
從而＝0.
(3)令f(x)＝|x＋1|＋|
8、x－1|－4，作出f(x)在區(qū)間[－3,3]上的圖象，如圖3所示，易知定積分－3f(x)dx表示的就是圖中陰影部分的面積的代數(shù)和．
∵陰影部分的面積S1＝S3＝1，S2＝6，
∴ (|x＋1|＋|x－1|－4)dx＝1＋1－6＝－4.
(4)令y＝f(x)＝，則有(x－)2＋y2＝()2(y≥0)，f(x)表示以(，0)為圓心，半徑為的上半圓，而這個(gè)上半圓的面積為S＝πr2＝()2＝，
由定積分的幾何意義可知dx＝.
反思與感悟 利用幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識(shí)求面積．不規(guī)則的圖象常用分割法求面積，注意分割點(diǎn)的準(zhǔn)確確定．
9、跟蹤訓(xùn)練2 利用幾何意義計(jì)算下列定積分：
(1)?dx；(2)?(3x＋1)dx.
解 (1)在平面上y＝表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以3為半徑的上半圓，其面積為S＝·π·32.
由定積分的幾何意義知?dx＝π.
(2)由直線x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所圍成的圖形，如圖所示：
?(3x＋1)dx表示由直線x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積，
∴?(3x＋1)dx＝×(3＋)×(3×3＋1)－(－＋1)×2＝－＝16.
探究點(diǎn)三 定積分的性質(zhì)
思考1 定積分的性質(zhì)可作哪些推廣？
答 定積分的性質(zhì)的推廣
10、
①?[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx±…±?fn(x)dx；
②?f(x)dx＝?c1af(x)dx＋?c2c1f(x)dx＋…＋?bcnf(x)dx(其中n∈N＋)．
思考2 如果一個(gè)函數(shù)具有奇偶性，它的定積分有什么性質(zhì)？
答 奇、偶函數(shù)在區(qū)間[－a，a]上的定積分
①若奇函數(shù)y＝f(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)不斷，則?f(x)dx＝0.
②若偶函數(shù)y＝g(x)的圖象在[－a，a]上連續(xù)不斷，則?g(x)dx＝2?g(x)dx.
例3 計(jì)算?(－x3)dx的值．
解 如圖，
由定積分的幾何意義得?dx＝＝，
?
11、x3dx＝0，由定積分性質(zhì)得
?(－x3)dx＝?dx－?x3dx＝.
反思與感悟 根據(jù)定積分的性質(zhì)計(jì)算定積分，可以先借助于定積分的定義或幾何意義求出相關(guān)函數(shù)的定積分，再利用函數(shù)的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算．
跟蹤訓(xùn)練3 已知?x3dx＝，?x3dx＝，?x2dx＝，?x2dx＝，求：
(1)?3x3dx；(2)?6x2dx；(3)?(3x2－2x3)dx.
解 (1)?3x3dx＝3?x3dx＝3(?x3dx＋?x3dx)
＝3×(＋)＝12；
(2)?6x2dx＝6?x2dx＝6(?x2dx＋?x2dx)
＝6×(＋)＝126；
(3)?(3x2－2x3)dx＝?
12、3x2dx－?2x3dx
＝3?x2dx－2?x3dx＝3×－2×
＝7－＝－.
1．下列結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)是( )
①?x3dx＝·；
②?x3dx＝·；
③?x3dx＝·.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 ②③成立．
2．定積分?f(x)dx的大小( )
A．與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關(guān)，與ξi的取法無關(guān)
B．與f(x)有關(guān)，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無關(guān)
C．與f(x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間[a，b]無關(guān)
D．與f(x)、積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關(guān)
答案 A
3．根據(jù)定積分的幾何意義，用不等號(hào)連接下列式子
13、：
①?xdx________?x2dx；
②?dx________?2dx.
答案 ①>?、?
4．若?x2dx＝9，則常數(shù)T的值為________．
答案 3
解析 令f(x)＝x2.
(1)分割
將區(qū)間[0，T]n等分，則Δx＝.
(2)近似代替、求和
取ξi＝(i＝1,2，…，n)，
Sn＝()2·＝2＝(12＋22＋…＋n2)
＝·＝(1＋)(2＋)．
(3)取極限
S＝ ×2＝＝9,
∴T3＝27，∴T＝3.
[呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律]
1．定積分?f(x)dx是一個(gè)和式f(ξi)的極限，是一個(gè)常數(shù)．
2．可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分；對(duì)于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分．
3．定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡化定積分運(yùn)算．
8
2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4.1 曲邊梯形面積與定積分（二）學(xué)案 新人教B版選修2-2
