2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 1.3 可線性化的回歸分析學(xué)案 北師大版選修2-3

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1、 1.3　可線性化的回歸分析 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解回歸分析的基本思想.2.通過(guò)可線性化的回歸分析，判斷幾種不同模型的擬合程度． 知識(shí)點(diǎn)一　常見(jiàn)的可線性化的回歸模型 冪函數(shù)曲線____________，指數(shù)曲線____________． 倒指數(shù)曲線____________，對(duì)數(shù)曲線____________． 知識(shí)點(diǎn)二　可線性化的回歸分析 思考1　有些變量間的關(guān)系并不是線性相關(guān)關(guān)系，怎樣確定回歸模型？ 　 思考2　如果兩個(gè)變量呈現(xiàn)非線性相關(guān)關(guān)系，怎樣求出回歸方程？ 　 梳理　在大量的實(shí)際問(wèn)題中，所研究的兩個(gè)變量不一定都呈線性相關(guān)關(guān)系，它們之間可能呈指數(shù)關(guān)系

2、或?qū)?shù)關(guān)系等非線性關(guān)系．在某些情況下可以借助線性回歸模型研究呈非線性關(guān)系的兩個(gè)變量之間的關(guān)系． 類型一　給定函數(shù)模型，求回歸方程 例1　在彩色顯影中，由經(jīng)驗(yàn)可知：形成染料光學(xué)密度y與析出銀的光學(xué)密度x由公式y(tǒng)＝Ae (b<0)表示．現(xiàn)測(cè)得試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下： xi 0.05 0.06 0.25 0.31 0.07 0.10 yi 0.10 0.14 1.00 1.12 0.23 0.37 xi 0.38 0.43 0.14 0.20 0.47 yi 1.19 1.25 0.59 0.79 1.29 試求y對(duì)x的回歸方程．

3、 　 跟蹤訓(xùn)練1　在試驗(yàn)中得到變量y與x的數(shù)據(jù)如下表： x 0.066 7 0.038 8 0.033 3 0.027 3 0.022 5 y 39.4 42.9 41.0 43.1 49.2 由經(jīng)驗(yàn)知，y與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，試求y與x之間的回歸曲線方程，當(dāng)x0＝0.038時(shí)，預(yù)測(cè)y0的值． 　 　 　 　 類型二　選取函數(shù)模型，求回歸方程 例2　下表所示是一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)： x 0.5 0.25 0.125 0.1 y 64 138 205 285 360 (1)作出散點(diǎn)圖，并猜測(cè)y與x之間的關(guān)系

4、； (2)利用所得的函數(shù)模型，預(yù)測(cè)x＝10時(shí)y的值． 　 　 　 　 反思與感悟　實(shí)際問(wèn)題中非線性相關(guān)的函數(shù)模型的選取 (1)采集數(shù)據(jù)，畫(huà)出散點(diǎn)圖． (2)根據(jù)散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布狀態(tài)，選取所有可能的函數(shù)類型． (3)作變量代換，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)． (4)作出線性相關(guān)的散點(diǎn)圖，或計(jì)算線性相關(guān)系數(shù)r，通過(guò)比較選定函數(shù)模型． (5)求回歸直線方程，并檢查． (6)作出預(yù)報(bào)． 跟蹤訓(xùn)練2　對(duì)兩個(gè)變量x，y取得4組數(shù)據(jù)(1,1)，(2,1.2)，(3，1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分別求得數(shù)學(xué)模型如下： 甲　y＝0.1x＋1， 乙　y＝－0.05x

5、2＋0.35x＋0.7， 丙　y＝－0.8·0.5x＋1.4，試判斷三人誰(shuí)的數(shù)學(xué)模型更接近于客觀實(shí)際． 　 　 　 1．指數(shù)曲線y＝3e－2x的圖像為圖中的(　　) 2．對(duì)于指數(shù)曲線y＝aebx，令u＝ln y，c＝ln a，經(jīng)過(guò)非線性化回歸分析之后，可以轉(zhuǎn)化成的形式為(　　) A．u＝c＋bx B．u＝b＋cx C．y＝b＋cx D．y＝c＋bx 3．在一次試驗(yàn)中，當(dāng)變量x的取值分別為1，，，時(shí)，變量y的值分別為2,3,4,5，則y與的回歸方程為(　　) A．y＝＋1 B．y＝＋3 C．y＝2x＋1 D．y＝x－1

6、4．某地今年上半年患某種傳染病的人數(shù)y(人)與月份x(月)之間滿足函數(shù)關(guān)系，模型為y＝aebx，確定這個(gè)函數(shù)解析式為_(kāi)_______________． 月份x/月 1 2 3 4 5 6 人數(shù)y/人 52 61 68 74 78 83 1．對(duì)于具有非線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，可以通過(guò)對(duì)變量進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為線性回歸問(wèn)題去解決． 2．建立回歸模型的步驟 (1)確定研究對(duì)象，明確變量關(guān)系． (2)畫(huà)出散點(diǎn)圖，觀察變量之間的關(guān)系． (3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型． (4)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)． 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 y＝axb

7、　y＝aebx　y＝a　y＝a＋bln x 知識(shí)點(diǎn)二 思考1　首先要作出散點(diǎn)圖，如果散點(diǎn)圖中的樣本點(diǎn)并沒(méi)有分布在某個(gè)帶狀區(qū)域內(nèi)，則兩個(gè)變量不呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系．這時(shí)可以根據(jù)已有的函數(shù)知識(shí)，觀察樣本點(diǎn)是否呈指數(shù)函數(shù)關(guān)系或二次函數(shù)關(guān)系，選定適當(dāng)?shù)幕貧w模型． 思考2　可以通過(guò)對(duì)解釋變量進(jìn)行變換，如對(duì)數(shù)變換或平方變換，先得到另外兩個(gè)變量間的回歸方程，再得到所求兩個(gè)變量的回歸方程． 題型探究 例1　解　由題意知，對(duì)于給定的公式y(tǒng)＝A(b<0)兩邊取自然對(duì)數(shù)，得ln y＝ln A＋，與線性回歸方程相對(duì)照可以看出，只要取u＝，v＝ln y，a＝ln

8、A，就有v＝a＋bu. 這是v對(duì)u的線性回歸方程，對(duì)此我們?cè)偬子孟嚓P(guān)性檢驗(yàn)，求回歸系數(shù)b和a.題目中所給的數(shù)據(jù)由變換u＝，v＝ln y，變?yōu)槿缦卤硭镜臄?shù)據(jù). ui 20.000 16.667 4.000 3.226 14.286 10.000 vi －2.303 －1.966 0 0.113 －1.470 －0.994 ui 2.632 2.326 7.143 5.000 2.128 vi 0.174 0.223 －0.528 －0.236 0.255 可求得b≈－0.146，a≈0.548， ∴v＝0.548－0.146

9、u. 把u和v轉(zhuǎn)換回來(lái)，可得ln y＝0.548－. ∴y＝＝e0.548·≈1.73， ∴回歸曲線方程為y＝1.73. 跟蹤訓(xùn)練1　解　令z＝，則y＝a＋bz，由已知數(shù)據(jù)制成下表： z＝ 14.992 5 25.773 2 30.030 0 36.630 0 44.444 y 39.4 42.9 41.0 43.1 49.2 計(jì)算得＝30.373 9，＝43.120 0， ziyi＝6 693.002 6， z＝5 107.859 8. ∴5 ＝6 548.612 8,52＝4 612.869 0. 于是有b＝＝ ≈0.291 7. ∴a＝－

10、b≈34.26. ∴y與x之間的回歸曲線方程是y＝34.26＋. 當(dāng)x0＝0.038時(shí)，y0≈41.94，即y0的值約為41.94. 例2　解　(1)散點(diǎn)圖如圖所示，從散點(diǎn)圖可以看出y與x不具有線性相關(guān)關(guān)系． 根據(jù)已有知識(shí)發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在函數(shù)y＝＋a的圖像的周圍，其中a，b為待定參數(shù)，令x′＝，y′＝y(tǒng)，由已知數(shù)據(jù)制成下表： 序號(hào)i x′i y′i x′ y′ x′iy′i 1 2 64 4 4 096 128 2 4 138 16 19 044 552 3 6 205 36 42 025 1 230 4 8 285 64

11、81 225 2 280 5 10 360 100 129 600 3 600 ∑ 30 1 052 220 275 990 7 790 ′＝6，′＝210.4， 故x′－5(′)2＝40， y′－5(′)2＝54 649.2， r＝≈0.999 7， 由于r非常接近于1， ∴x′與y′具有很強(qiáng)的線性關(guān)系，計(jì)算知， b≈36.95，a＝210.4－36.95×6＝－11.3， ∴y′＝－11.3＋36.95x′， ∴y對(duì)x的回歸曲線方程為y＝－11.3. (2)當(dāng)x＝10時(shí)，y＝－11.3＝－7.605. 跟蹤訓(xùn)練2　解　甲模型，當(dāng)x＝1時(shí)，

12、y＝1.1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1.2； 當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1.3；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝1.4. 乙模型，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1.2； 當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1.3；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝1.3. 丙模型，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1.2； 當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1.3；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝1.35. 觀察4組數(shù)據(jù)并對(duì)照知，丙的數(shù)學(xué)模型更接近于客觀實(shí)際． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．B　2.A　3.A 4．y＝e3.910 3＋0.090 5x 解析　設(shè)u＝ln y，c＝ln a，得u＝c＋bx， 則u與x的數(shù)據(jù)關(guān)系如下表： x 1 2 3 4 5 6 u＝ln y 3.95 4.11 4.22 4.30 4.36 4.42 由上表，得xi＝21，ui＝25.36， x＝91，u＝107.339， xiui＝90.35， ＝3.5，＝4.227， ∴b＝＝≈0.090 5. c＝－b＝4.227－0.090 5×3.5＝3.910 3， ∴y＝e3.910 3＋0.090 5x 8