《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第三講 柯西不等式與排序不等式
復(fù) 習(xí) 課
[整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建]
[警示·易錯提醒]
1.柯西不等式的易錯點(diǎn).
在應(yīng)用柯西不等式求最值時,易忽視等號成立的條件.
2.排序不等式的易錯點(diǎn).
不等式具有傳遞性,但并不是任意兩個不等式比較大小都可以用傳遞性來解決的,由a>m,b>m,推出a>b是錯誤的.
專題一 柯西不等式的應(yīng)用
柯西不等式主要有二維形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式)和一般形式的柯西不等式,不僅可以用來求最值,還可以用來證明不等式.
[例?] 已知實數(shù)x,y,z滿足x2+2y2+3z2=3,求u=x+2y+3z的最小值和最大值.
解:
2、因為(x+2y+3z)2=(x·1+y·+z·)2≤[x2+(y)2+(z)2]·[12+()2+()2]=(x2+2y2+3z2)(1+2+3)=18.
當(dāng)且僅當(dāng)==,即x=y(tǒng)=z時,等號成立.
所以-3≤x+2y+3z≤3,
即u的最小值為-3,最大值為3.
歸納升華
柯西不等式可以用來求最值和證明不等式,應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩個適當(dāng)?shù)臄?shù)組,并且要注意等號成立的條件.
[變式訓(xùn)練] 設(shè)a,b,x,y都是正數(shù),且x+y=a+b,求證:+≥.
證明:因為a,b,x,y都大于0,且x+y=a+b,
由柯西不等式,知
[(a+x)+(b+y)]
≥
=(a+b)2.
3、
又a+x+b+y=2(a+b)>0,
所以+≥.
專題二 排序不等式的應(yīng)用
1.用排序不等式證明不等式的關(guān)鍵是根據(jù)問題的條件和結(jié)論構(gòu)造恰當(dāng)?shù)男蛄校绾闻藕眠@個序列是難點(diǎn)所在.
2.注意等號成立的條件.
[例?] 在△ABC中,試證:≤<.
證明:不妨設(shè)a≤b≤c,于是A≤B≤C.
由排序不等式,得
aA+bB+cC=aA+bB+cC,
aA+bB+cC≥bA+cB+aC,
aA+bB+cC≥cA+aB+bC.
相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c),得≥,①
又由0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b,
有0<A(b
4、+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π-2(aA+bB+cC).
得<.②
由①②得原不等式成立.
歸納升華
利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細(xì)觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu),從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數(shù)組.
[變式訓(xùn)練] 已知a,b,c∈R,求證a+b+c≤.
證明:不妨設(shè)a≥b≥c>0,
則有a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.
由排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.
又a3≥b3≥c3
5、,且a≥b≥c,
由排序原理,得a3c+ab3+bc3≤a4+b4+c4,
所以a+b+c≤.
專題三 轉(zhuǎn)化與化歸思想
轉(zhuǎn)化與化歸思想是指在解決問題時,將問題通過變換使之化繁為簡,化難為易的一種解決問題的思想.
[例3] 求使lg(xy)≤lg a·對大于1的任意x與y恒成立的a的取值范圍.
解:因為>0,且x>1,y>1,
所以原不等式等價于lg a≥.
令f(x,y)===
(lg x>0,lg y>0).
因為lg2x+lg2y≥2lg xlg y>0,
所以0<≤1,
所以1<f(x,y)≤,即lg a≥,
所以a≥10.
歸納升華
解決數(shù)學(xué)問題時,常遇到一些直接求解較為困難的問題,通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等,選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換,將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題(相對來說自己較熟悉的問題),通過求解新問題,達(dá)到解決原問題的目的,這一思想方法我們稱為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想”.本講常見的化歸與轉(zhuǎn)化的問題是通過換元或恒等變形把命題的表達(dá)形式化為柯西不等式或排序不等式的形式.
[變式訓(xùn)練] 已知|x|≤1,|y|≤1,試求x+y的最大值.
解:由柯西不等式,得x +y ≤
·=1,
當(dāng)且僅當(dāng)xy=·,即x2+y2=1時,等號成立,
所以x +y 的最大值為1.
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