2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5

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1、 第三講 柯西不等式與排序不等式 復(fù) 習(xí) 課 [整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建] [警示·易錯提醒] 1.柯西不等式的易錯點(diǎn). 在應(yīng)用柯西不等式求最值時,易忽視等號成立的條件. 2.排序不等式的易錯點(diǎn). 不等式具有傳遞性,但并不是任意兩個不等式比較大小都可以用傳遞性來解決的,由a>m,b>m,推出a>b是錯誤的. 專題一 柯西不等式的應(yīng)用  柯西不等式主要有二維形式的柯西不等式(包括向量形式、三角形式)和一般形式的柯西不等式,不僅可以用來求最值,還可以用來證明不等式. [例?] 已知實數(shù)x,y,z滿足x2+2y2+3z2=3,求u=x+2y+3z的最小值和最大值. 解:

2、因為(x+2y+3z)2=(x·1+y·+z·)2≤[x2+(y)2+(z)2]·[12+()2+()2]=(x2+2y2+3z2)(1+2+3)=18. 當(dāng)且僅當(dāng)==,即x=y(tǒng)=z時,等號成立. 所以-3≤x+2y+3z≤3, 即u的最小值為-3,最大值為3. 歸納升華 柯西不等式可以用來求最值和證明不等式,應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩個適當(dāng)?shù)臄?shù)組,并且要注意等號成立的條件. [變式訓(xùn)練] 設(shè)a,b,x,y都是正數(shù),且x+y=a+b,求證:+≥. 證明:因為a,b,x,y都大于0,且x+y=a+b, 由柯西不等式,知  [(a+x)+(b+y)] ≥ =(a+b)2.

3、 又a+x+b+y=2(a+b)>0, 所以+≥. 專題二 排序不等式的應(yīng)用 1.用排序不等式證明不等式的關(guān)鍵是根據(jù)問題的條件和結(jié)論構(gòu)造恰當(dāng)?shù)男蛄校绾闻藕眠@個序列是難點(diǎn)所在. 2.注意等號成立的條件. [例?] 在△ABC中,試證:≤<. 證明:不妨設(shè)a≤b≤c,于是A≤B≤C. 由排序不等式,得 aA+bB+cC=aA+bB+cC, aA+bB+cC≥bA+cB+aC, aA+bB+cC≥cA+aB+bC. 相加,得3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c),得≥,① 又由0<b+c-a,0<a+b-c,0<a+c-b, 有0<A(b

4、+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B)+c(A+B-C)=a(π-2A)+b(π-2B)+c(π-2C)=(a+b+c)π-2(aA+bB+cC). 得<.② 由①②得原不等式成立. 歸納升華 利用排序不等式證明不等式的技巧在于仔細(xì)觀察、分析所要證明的式子的結(jié)構(gòu),從而正確地構(gòu)造出不等式中所需要的帶有大小順序的兩個數(shù)組. [變式訓(xùn)練] 已知a,b,c∈R,求證a+b+c≤. 證明:不妨設(shè)a≥b≥c>0, 則有a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc. 由排序原理,得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b. 又a3≥b3≥c3

5、,且a≥b≥c, 由排序原理,得a3c+ab3+bc3≤a4+b4+c4, 所以a+b+c≤. 專題三 轉(zhuǎn)化與化歸思想 轉(zhuǎn)化與化歸思想是指在解決問題時,將問題通過變換使之化繁為簡,化難為易的一種解決問題的思想. [例3] 求使lg(xy)≤lg a·對大于1的任意x與y恒成立的a的取值范圍. 解:因為>0,且x>1,y>1, 所以原不等式等價于lg a≥. 令f(x,y)=== (lg x>0,lg y>0). 因為lg2x+lg2y≥2lg xlg y>0, 所以0<≤1, 所以1<f(x,y)≤,即lg a≥, 所以a≥10. 歸納升華 解決數(shù)學(xué)問題時,常遇到一些直接求解較為困難的問題,通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等,選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換,將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題(相對來說自己較熟悉的問題),通過求解新問題,達(dá)到解決原問題的目的,這一思想方法我們稱為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想”.本講常見的化歸與轉(zhuǎn)化的問題是通過換元或恒等變形把命題的表達(dá)形式化為柯西不等式或排序不等式的形式. [變式訓(xùn)練] 已知|x|≤1,|y|≤1,試求x+y的最大值. 解:由柯西不等式,得x +y ≤ ·=1, 當(dāng)且僅當(dāng)xy=·,即x2+y2=1時,等號成立, 所以x +y 的最大值為1. 4

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