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1、東北大學數(shù)值分析 總復習+習題2二、解線性方程組的直接法二、解線性方程組的直接法 1.了解Gauss消元法的根本思想,知道適用范圍 2.掌握矩陣的直接三角分解法。 順序Gauss消元法:矩陣A A的各階順序主子式都不為零. 主元Gauss消元法:矩陣A A的行列式不為零. 定理 設n階方陣A的各階順序主子式不為零,那么存在唯一單位下三角矩陣L和上三角矩陣U使A=LU . 會對矩陣進展Doolittle分解(LU)、LDM分解、Crout分解(TM)與Cholesky分解(GGT)。 了解它們之間的關系。熟練掌握用三角分解法求方程組的解。 了解平方根法和追趕法的思想。 3 3.了解向量和矩陣的范
2、數(shù)的定義,會判定范數(shù)(三要素非負性、齊次性、三角不等式);會計算幾個常用的向量和矩陣的范數(shù)； 了解范數(shù)的等價性和向量矩陣極限的概念。 4.了解方程組的性態(tài)，會計算簡單矩陣的條件數(shù)。三、解線性方程組的迭代法三、解線性方程組的迭代法 1.會建立J-法、G-S法、SOR法的迭代格式；會判定迭代方法的收斂性。 1迭代法收斂迭代矩陣譜半徑小于1. 2迭代法收斂的充分條件是迭代矩陣的范數(shù)小于1. 3A嚴格對角占優(yōu),那么J法,GS法,SOR法(01)收斂. 4A對稱正定,那么GS法,SOR法(02)收斂.4 2.掌握并會應用迭代法的誤差估計式。四、解非線性方程的迭代法四、解非線性方程的迭代法 1.了解二分法
3、的思想,誤差估計式|xk-|2-(k+1)(b-a).)0()1(*)(1xxMMxxkk 2.會建立簡單迭代法迭代格式；會判定迭代方法的收斂性。 定理 假設(x)為I上的壓縮映射, 那么對任何x0I,迭代格式xk+1=(xk)均收斂于(x)在I上的唯一不動點. 推論 假設1.a(x)b; 2.|(x)| L1, xa,b.那么xk+1=(xk),x0a,b都收斂于方程的唯一根.5 3. 了解迭代法收斂階的概念,會求迭代法收斂的階.了解Aitken加速技巧. 4.會建立Newton迭代格式；知道Newton迭代法的優(yōu)缺點.了解Newton迭代法的變形. (1) xkp階收斂于是指: 推論 假設
4、(x)在附近具有一階連續(xù)導數(shù),且|()|1, 那么對充分接近的初值x0,迭代法xk+1=(xk)收斂.Cxxpkkk1lim (2) 假設()0,那么迭代法線性收斂.)()(1kkkkxfxfxx 局部平方收斂.6五、矩陣特征值問題五、矩陣特征值問題 1. 了解Gerschgorin圓盤定理, 會估計特征值. 1.了解差商的概念和性質(zhì). 2. 了解乘冪法、反冪法的思想與加速技巧. 3. 了解Jacobi方法的思想以與平面旋轉(zhuǎn)矩陣的構(gòu)造.六、插值與逼近六、插值與逼近 Lagrange、Newton、Hermite插值多項式；基函數(shù)法與待定系數(shù)法。 2.會建立插值多項式并導出插值余項. 3.了解分
5、段插值與三次樣條插值的概念與構(gòu)造思想。7 4. 了解正交多項式的概念，會求簡單的正交多項式。 1.了解求積公式的一般形式與插值型求積公式的構(gòu)造.掌握梯形公式和Simpson公式與其誤差。 5. 掌握最小二乘法的思想，會求擬合曲線與最正確均掌握最小二乘法的思想，會求擬合曲線與最正確均方誤差方誤差. 2.掌握求積公式的代數(shù)精度的概念，會用待定系數(shù)法確定求積公式。七、數(shù)值積分七、數(shù)值積分 )(12)()()(2)(3fabbfafabdxxfba )(2880)()()2(4)(6)()4(5fabbfbafafabdxxfba8 3. 了解復化求積公式的思想和Romberg公式的構(gòu)造。 5.了解微
6、分公式建立形式，會求簡單的微分公式。 4. 了解Gauss公式的概念，會建立簡單的Gauss公式。 1.了解構(gòu)造數(shù)值解法的根本思想與概念。八、常微分方程數(shù)值解法八、常微分方程數(shù)值解法 2.掌握差分公式局部截斷誤差和階的概念，會求差分公式的局部截斷誤差。 3.會判斷單步方法的收斂性和穩(wěn)定性，求穩(wěn)定區(qū)間。9一、填空題每空3分,共30分)考試題解析考試題解析 解解 由于得特征值: 又A-1= 2.設矩陣A= ,當a取_值時,A可以唯一分解為GGT,其中G為下三角矩陣. 1.設矩陣A= ,那么(A)=_,Cond(A)1=_.32213221EA0742ii32,32217122371 ,所以A1=5
7、,A-11=5/7.7/2510011aaaa10 解解 令 解 只要取(x)=x3-a ,或(x)=1-x3/a. 5.設(x)=x3+x2-3,那么差商3,32,33,34=_. 3.向量x x=(x1,x2,x3)T,試問|x1|+|2x2|+|x3|是不是一種向量范數(shù)_,而|x1|+|2x2+x3|是不是一種向量范數(shù)_., 02110011, 011122aaaaaaaa2121a得： 是 不是 4.求 的Newton迭代格式為_.3a212313323kkkkkkkxaxxxaxxx或 1 6.設l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3為互異節(jié)點的三次
8、插值基函數(shù),那么 =_. 303)2)(jjjxxl (x-2)3 7.設S(x)= 是以0,1,2為節(jié) 2112102323xcxbxxxxx11 解解 (1)因為0 x1時,(x)0,所以(x)僅在(1,2)內(nèi)有零點,而當1x0,故(x)單調(diào).因此方程(x)=0有唯一正根,且在區(qū)間(1,2)內(nèi).點的三次樣條函數(shù),那么b=_c=_. 解解 由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得二、(13分)設函數(shù)(x)=x2-sinx-1 (1)試證方程(x)=0有唯一正根; (2)構(gòu)造一種收斂的迭代格式xk+1=(xk),k=0,1,2,計算精度為=10-2的近似根; (3)此迭代法的收
9、斂階是多少?說明之. -2 3 (2)構(gòu)造迭代格式:,.2 , 1 , 0sin11kxxkk由于|(x)|=| |1,故此迭代法收斂.xxsin12/cos12 (3)因為0/2,所以() 取初值x0=1.5, 計算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2 , 故可取根的近似值x2=1.40983.sin12/cos 0故,此迭代法線性收斂(收斂階為1).三、(14分)設線性方程組 (1)寫出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)討論這兩種迭代法的收斂性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,假設用Jacobi迭代法計算時
10、,預估誤差x*-x(10) (取三位有效數(shù)字).36225124321321321xxxxxxxxx13 (2)因為A是嚴格對角占優(yōu)矩陣,但不是正定矩陣,故Jacobi法收斂,SOR法當01時收斂. 解解 (1)(1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分別為 216131525151412141)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx)216131()525151()412141()(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(1)1(1kkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx
11、x (3)由(1)可見B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,經(jīng)計算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,所以有113. 05 . 075. 0175. 0110)0()1()10(*xxBBxxk14四、(13分)(0)=2,(1)=3,(2)=5,(1)=0.5, 解解 (1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1=0.5,得 H3(x)=20(x)+31(x)+52(x)+0.51(x) 令0(x)=c(x-1)2(x-2),可得0(x)=-0.5(x-1)2(x-2),于是 H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1
12、)2 0.5x(x-1)(x-2) (1)試建立一個三次插值多項式H3(x),使?jié)M足插值條件: H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3(1)=0.5; (2)設y=(x)在0,2上四次連續(xù)可微,試確定插值余項R(x)=(x)-H3(x). 令2(x)=cx(x-1)2,可得2(x)=0.5x(x-1)2; 令1(x)=x(x-2)(ax+b),可得1(x)=-x(x-2), 令1(x)=cx(x-1)(x-2),可得1(x)=-x(x-1)(x-2), =x32 +2.5x+215 由于,R(0)=R(1)=R(2)=R(1)=0, 故可設五、(12分)試確定參數(shù)A,B,C與,使
13、數(shù)值積分公式4=A+B+C, 0=A-C, 16/3=A2+C2, 0=A3-C3有盡可能高的代數(shù)精度,并問代數(shù)精度是多少?它是否是Gauss公式? 解 令公式對(x)=1,x,x2,x3,x4都準確成立,那么有 R(x)=C(x)x(x-1)2(x-2)構(gòu)造函數(shù)(t)=(t)-H3(t)-C(x)t(t-1)2(t-2)于是,存在x,使(4)(x)=0,即(4)(x)-4!C(x)=0)2() 1(! 4)()(2)4(xxxfxRx22)()0()()(CfBfAfdxxf64/5=A4+C4 ,解得:A=C=10/9,B=16/9,=(12/5)1/216容易驗證公式對(x)=x5仍準確
14、成立，故其代數(shù)精度為5，是Gauss公式。六、(12分)設初值問題 (1)試證單步法 解解 (1)由于)(),(aybxayxfy021411323221,.2 , 1 , 0)3(),(, ),(ynKKyyhKyhxfKyxfKhnnnnnn是二階方法. (2)以此法求解y=-10y, y(0)=1時,取步長h=0.25,所得數(shù)值解yn是否穩(wěn)定?為什么?17于是有而),(132322hKyhxfKnn222222232222331484()2999nnnnnnnnnfffhhfxyfffhh fh fO hxx yy )(261)(214222222321hOfyffyxfxfhfyfxf
15、hhfyynnnnnnnnnnn)()(6121)()(61)(21)()()(4324321hOxyhfyfxfhhfyhOxyhxyhxyhxyxynnnnnnnnnnn 18所以有當時,有)()(311hOyxynn)320(301041nnnnnhyyyhyy所以此單步方法為二階方法. (2)此單步方法用于方程y=-10y,那么有nyhh50101 21625. 1125. 35 . 21501012hh所以,所得數(shù)值解是不穩(wěn)定的.七、(6分)設n階矩陣A A=(aij)nn,試證實數(shù)ijnjian,1maxA為矩陣A A的一種范數(shù). 證明證明 對任意n階方陣A,BA,B和常數(shù),有謝謝大家！
東北大學數(shù)值分析 總復習+習題
