2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.1 空間向量及其線性運(yùn)算 3.1.2 共面向量定理學(xué)案 蘇教版選修2-1

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1、 3.1.1　空間向量及其線性運(yùn)算 3.1.2　共面向量定理 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示與字母表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算(加法、減法和數(shù)乘)及其運(yùn)算律.3.了解共面向量的定義，并能從平面向量中兩向量共線的充要條件類比得到空間向量共面的充要條件.4.理解共面向量定理及其應(yīng)用. 知識(shí)點(diǎn)一　空間向量的概念 思考　類比平面向量的概念，給出空間向量的概念. 梳理　(1)在空間，把具有________和________的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的________或________. 空間向量也用有向線段表示，有向線段的__

2、______表示向量的模，向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可記作，其模記為________. (2)幾類特殊的空間向量 名稱 定義及表示 零向量 規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做____________，記為0 單位向量 ________的向量稱為單位向量 相反向量 與向量a長(zhǎng)度________而方向________的向量，稱為a的相反向量，記為－a 相等向量 方向________且模________的向量稱為相等向量，________且________的有向線段表示同一向量或相等向量 知識(shí)點(diǎn)二　空間向量及其線性運(yùn)算 1.空間向量的線性運(yùn)算 已知空間向量a，b，

3、在空間任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，＝c，與平面向量的運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的意義為： ＝＋＝________； ＝－＝________＝________. 若P在直線OA上，則＝________(λ∈R). 2.空間向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律： ①a＋b＝________； ②(a＋b)＋c＝____________； ③λ(a＋b)＝________(λ∈R). 知識(shí)點(diǎn)三　共線向量(或平行向量) 1.定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相________或________，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.若向量a與b平行，記作____

4、____，規(guī)定____________與任意向量共線. 2.共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a，b(a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使________. 知識(shí)點(diǎn)四　共面向量及共面向量定理 思考1　當(dāng)a，b共線時(shí)，共面向量定理的理論一定成立嗎？ 思考2　向量a，b，c共面，表示三個(gè)向量的有向線段所在的直線都共面嗎？ 梳理　共面向量及共面向量定理 共面向量 能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量 共面向量定理 如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得____________

5、 類型一　空間向量的概念及應(yīng)用 例1　如圖所示，以長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中： (1)試寫出與相等的所有向量； (2)試寫出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模. 引申探究 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，則分別以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中： ①單位向量共有多少個(gè)？ ②試寫出模為的所有向量； ③試寫出與向量相等的所有向量； ④試寫出向量的所有相反向量. 　 　 反思與感悟　在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中

6、向量的相關(guān)概念完全一致，兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同、模相等.兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等，方向相反. 跟蹤訓(xùn)練1　給出以下結(jié)論： ①兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同；②若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝b；③在正方體ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；④若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝p.其中不正確的命題的序號(hào)為________. 類型二　空間向量的線性運(yùn)算 例2　如圖，已知長(zhǎng)方體ABCDA′B′C′D′，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量. (1)－； (2)＋＋. 引申探究 利用例2題圖，化簡(jiǎn)＋＋＋

7、. 反思與感悟　化簡(jiǎn)向量表達(dá)式時(shí)，要結(jié)合空間圖形，分析各向量在圖形中的表示，然后利用運(yùn)算法則，把空間向量轉(zhuǎn)化為平面向量解決，并化簡(jiǎn)到最簡(jiǎn)為止. 首尾相接的若干個(gè)向量的和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量；若首尾相接的若干個(gè)向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則這些向量的和為0. 跟蹤訓(xùn)練2　在如圖所示的平行六面體中，求證：＋＋＝2. 類型三　向量共線定理的理解與應(yīng)用 例3　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F(xiàn)在對(duì)角線A1C上，且＝. 求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線. 反思與感悟　

8、(1)判定共線：判定兩向量a，b(b≠0)是否共線，即判斷是否存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb. (2)求解參數(shù)：已知兩非零向量共線，可求其中參數(shù)的值，即利用若a∥b，則a＝λb(λ∈R). (3)判定或證明三點(diǎn)(如P，A，B)是否共線： ①是否存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ； ②對(duì)空間任意一點(diǎn)O，是否有＝＋t； ③對(duì)空間任意一點(diǎn)O，是否有＝x＋y(x＋y＝1). 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，在四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AD，BC的中點(diǎn)，用，表示向量. 類型四　共面向量定理及應(yīng)用 例4　如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，連結(jié)PA，PB，PC，PD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H

9、分別為△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心，應(yīng)用向量共面定理證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面. 引申探究 本例中增加以下條件：若點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)，求證：，，共面. 反思與感悟　向量共面的充要條件的實(shí)質(zhì)是共面的四點(diǎn)中所形成的兩個(gè)不共線的向量一定可以表示其他向量，對(duì)于向量共面的充要條件，不僅會(huì)正用，也要能夠逆用它求參數(shù)的值. 跟蹤訓(xùn)練4　已知A，B，C三點(diǎn)不共線，平面ABC外一點(diǎn)M，滿足＝＋＋，判斷，，三個(gè)向量是否共面. 1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知下列各式： ①(＋)＋；②(＋)＋；③(

10、＋)＋B1C1；④(＋)＋.其中運(yùn)算的結(jié)果為的有________個(gè). 2.化簡(jiǎn)2＋2＋3＋3＋＝________. 3.設(shè)e1，e2是平面內(nèi)不共線的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三點(diǎn)共線，則k＝________. 4.以下命題： ①兩個(gè)共線向量是指在同一直線上的兩個(gè)向量； ②共線的兩個(gè)向量互相平行； ③共面的三個(gè)向量是指在同一平面內(nèi)的三個(gè)向量； ④共面的三個(gè)向量是指平行于同一平面的三個(gè)向量. 其中正確命題的序號(hào)是________. 5.已知A，B，M三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面ABM外的任意一點(diǎn)O，判斷在下列各條件下的點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，M是否共

11、面. (1)＋＝3－；(2)＝4－－. 1.空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧 (1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接. (2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果. 2.證明空間向量共面或四點(diǎn)共面的方法 (1)利用共面向量證明. (2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對(duì)于空間任一點(diǎn)O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點(diǎn)共面. (3)用平面：尋找一個(gè)平面，設(shè)法證明這些向量

12、與該平面平行. 答案精析 問題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考　在空間，把具有大小和方向的量叫做空間向量. 梳理　(1)大小　方向　長(zhǎng)度　模　長(zhǎng)度 |a|或||　(2)零向量　模為1　相等 相反　相同　相等　同向　等長(zhǎng) 知識(shí)點(diǎn)二 1.a＋c　a－b?。璫　λa 2.①b＋a?、赼＋(b＋c)?、郐薬＋λb 知識(shí)點(diǎn)三 1.平行　重合　a∥b　零向量 2.b＝λa 知識(shí)點(diǎn)四 思考1　不成立.當(dāng)p與a，b都共線時(shí)，存在不惟一的實(shí)數(shù)組(x，y)使p＝xa＋yb成立.當(dāng)p與a，b不共線時(shí)，不存在(x，y)使p＝xa＋yb成立.即當(dāng)a，b共線時(shí)，共面向量定理的結(jié)論不成立.

13、思考2　不一定.若向量a，b，c共面，則表示這三個(gè)向量的有向線段可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，它們所在的直線平行、相交、異面都有可能. 梳理　p＝xa＋yb 題型探究 例1　解　(1)與向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3個(gè). (2)向量的相反向量為，，，. (3)||＝ ＝＝＝3. 引申探究 解?、儆捎陂L(zhǎng)方體的高為1，所以長(zhǎng)方體的四條高所對(duì)應(yīng)的向量，，，，，，，，共8個(gè)向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個(gè). ②由于長(zhǎng)方體的左右兩側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)均為，故模為的向量有，，，，，，，. ③與向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及. ④向量的相反向量

14、有，，，. 跟蹤訓(xùn)練1?、佗? 例2　(1). (2). 向量、如圖所示. 引申探究　0. 跟蹤訓(xùn)練2　證明　∵平行六面體的六個(gè)面均為平行四邊形， ∴＝＋，＝＋， ＝＋， ∴＋＋ ＝(＋)＋(＋)＋ (＋) ＝2(＋＋). 又∵＝，＝， ∴＋＋＝＋＋ ＝＋＝. ∴＋＋＝2. 例3　解　設(shè)＝a，＝b，＝c， 因?yàn)椋?，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， ＝(－) ＝(＋－) ＝a＋b－c. 所以＝－＝a－b－c ＝(a－b－c). 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c， 所以＝， 又因?yàn)榕c有公共點(diǎn)E， 所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線. 跟蹤訓(xùn)練3

15、?。剑? 例4　證明　分別延長(zhǎng)PE，PF，PG，PH交對(duì)邊于M，N，Q，R.如圖所示， 因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心， 所以M，N，Q，R為所在邊的中點(diǎn)， 順次連結(jié)M，N，Q，R，所得四邊形為平行四邊形，且有＝，＝， PG＝，＝. 因?yàn)镸NQR為平行四邊形， 所以＝－ ＝－＝ ＝(＋) ＝(－)＋(－) ＝(－)＋(－) ＝＋. 所以由共面向量定理得E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面. 引申探究 證明　取CD的中點(diǎn)N，連結(jié)ON，NM， 因?yàn)镸，N分別是PC，CD的中點(diǎn)， 所以PD∥MN，MN＝PD， 所以＝ －， 同理可得＝－， 又因?yàn)椋剑? 所以＝－＋， 所以，，共面. 跟蹤訓(xùn)練4　，，三個(gè)向量共面 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.4　2.0　3.－8　4.②④ 5.解　(1)原式可變形為＝3－－. ∵3＋(－1)＋(－1)＝1， ∴點(diǎn)B與點(diǎn)P，A，M共面， 即點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，M共面. (2)原式為＝4－－. ∵4＋(－1)＋(－1)＝2≠1， ∴點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，M不共面. 13