《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題6 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 突破點(diǎn)15 函數(shù)與方程學(xué)案 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 重點(diǎn)強(qiáng)化專題 專題6 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 突破點(diǎn)15 函數(shù)與方程學(xué)案 文(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
突破點(diǎn)15 函數(shù)與方程
[核心知識提煉]
提煉1 函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)個數(shù)的判斷
(1)代數(shù)法:求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根.
(2)幾何法:對于不能求解的方程,可以將它與函數(shù)y=f(x)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).
(3)定理法:利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理,即如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn).
提煉2 已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù),求參數(shù)的值或取值范圍
已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù),求參數(shù)的值或取值范圍問題,一般利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題.要注意觀察是否需要
2、將一個復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個相對較為簡單的函數(shù),常轉(zhuǎn)化為定曲線與動直線問題.
[高考真題回訪]
回訪 已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù),求參數(shù)的值或取值范圍
1.(2017·全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=( )
A.- B.
C. D.1
C [法一:f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)=(x-1)2+a[ex-1+e-(x-1)]-1,
令t=x-1,則g(t)=f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1.
∵g(-t)=(-t)2+a(e-t+et)-1=g(t),
∴函數(shù)g(t)為偶函數(shù).
∵f(x)有唯
3、一零點(diǎn),∴g(t)也有唯一零點(diǎn).
又g(t)為偶函數(shù),由偶函數(shù)的性質(zhì)知g(0)=0,
∴2a-1=0,解得a=.
故選C.
法二:f(x)=0?a(ex-1+e-x+1)=-x2+2x.
ex-1+e-x+1≥2=2,
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”.
-x2+2x=-(x-1)2+1≤1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取“=”.
若a>0,則a(ex-1+e-x+1)≥2a,
要使f(x)有唯一零點(diǎn),則必有2a=1,即a=.
若a≤0,則f(x)的零點(diǎn)不唯一.
故選C.]
2.(2014·全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值
4、范圍是( )
A.(-∞,-2) B.(1,+∞)
C.(2,+∞) D.(-∞,-1)
A [f′(x)=3ax2-6x,
當(dāng)a=3時,f′(x)=9x2-6x=3x(3x-2),
則當(dāng)x∈(-∞,0)時,f′(x)>0;
x∈時,f′(x)<0;
x∈時,f′(x)>0,注意f(0)=1,f=>0,則f(x)的大致圖象如圖(1)所示.
圖(1)
不符合題意,排除B、C.
當(dāng)a=-時,f′(x)=-4x2-6x=-2x(2x+3),則當(dāng)x∈時,f′(x)<0,x∈時,f′(x)>0,x∈(0,+∞)時,f′(x)<0,注意f(0)=1,f=-,則f(x)的大致圖
5、象如圖(2)所示.
圖(2)
不符合題意,排除D.]
熱點(diǎn)題型1 函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷
題型分析:函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷常與函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性相結(jié)合命題,難度中等偏難.
【例1】(1)(2017·貴陽二模)已知函數(shù)f(x)=當(dāng)1<a<2時,關(guān)于x的方程f[f(x)]=a實(shí)數(shù)解的個數(shù)為( )
【導(dǎo)學(xué)號:04024128】
A.2 B.3
C.4 D.5
(2)已知函數(shù)f(x)=cos x,g(x)=2-|x-2|,x∈[-2,6],則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的所有零點(diǎn)之和為( )
A.6 B.8
C.10 D.12
6、(1)C (2)D [(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1<a<2,作出函數(shù)f(x)的圖象,令f(x)=t(t>0),則f(t)=a,a∈(1,2),所以t∈∪(e,e2),當(dāng)t∈時,因?yàn)椋?,由f(x)=t可得此時有兩個解;當(dāng)t∈(e,e2)時,因?yàn)閑>2,由f(x)=t可得此時有兩個解,故關(guān)于x的方程f[f(x)]=a實(shí)數(shù)解的個數(shù)為4,故選C.
(2)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)之和可轉(zhuǎn)化為f(x)=g(x)的根之和,即轉(zhuǎn)化為y1=f(x)和y2=g(x)兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.又由函數(shù)g(x)=2-|x-2|與f(x)的圖象均關(guān)于x=2對稱,可知函數(shù)h(x)的零點(diǎn)之和為12
7、.]
[方法指津]
求解此類函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的問題時,通常把它轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題來解決.函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的實(shí)數(shù)根,也就是函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).其解題的關(guān)鍵步驟為:①分解為兩個簡單函數(shù);②在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出這兩個函數(shù)的圖象;③數(shù)交點(diǎn)的個數(shù),即原函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù).
提醒:在畫函數(shù)圖象時,切忌隨手一畫,注意“草圖不草”,畫圖時應(yīng)注意基本初等函數(shù)圖象的應(yīng)用,以及函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、對稱性等)的適時運(yùn)用,可加快畫圖速度,從而將問題簡化.
[變式訓(xùn)練1] (1)(2017·武漢一模)已知函數(shù)f
8、(x)=則函數(shù)g(x)=f(1-x)-1的零點(diǎn)個數(shù)為( )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)(2017·南昌一模)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且x>0時,f(x)=ln x-x+1,則函數(shù)g(x)=f(x)-ex(e為自然對數(shù)的底數(shù))的零點(diǎn)個數(shù)是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
(1)C (2)C [(1)g(x)=f(1-x)-1
=
?
當(dāng)x≥1時,函數(shù)g(x)有1個零點(diǎn);當(dāng)x<1時,函數(shù)有2個零點(diǎn),所以函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為3,故選C.
(2)當(dāng)x>0時,f(x)=ln x-x+1,則f′(x)=-1=,由f′(x)=0得x=1,且x∈(0,1
9、),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,x∈(1,+∞),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x=1時,f(x)有極大值f(1)=0,又奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,作出函數(shù)圖象如圖,由圖可知函數(shù)f(x)與y=ex的交點(diǎn)個數(shù)是2,則函數(shù)g(x)=f(x)-ex的零點(diǎn)個數(shù)是2,故選C.
]
熱點(diǎn)題型2 已知函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍
題型分析:已知函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍,主要考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想,對學(xué)生的畫圖能力有較高要求.
【例2】(1)(2017·焦作二模)已知函數(shù)f(x)=F(x)=f(x)-x-1,且函數(shù)F(x)有2個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( )
A
10、.(-∞,0] B.[1,+∞)
C.(-∞,1) D.(0,+∞)
(2)(2017·石家莊一模)已知函數(shù)f(x)=-kx(e為自然對數(shù)的底數(shù))有且只有一個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )
【導(dǎo)學(xué)號:04024129】
A.(0,2) B.
C.(0,+∞) D.(0,e)
(1)C (2)B [(1)當(dāng)x≤0時,F(xiàn)(x)=ex-x-1,此時有一個零點(diǎn)0,
當(dāng)x>0時,F(xiàn)(x)=x[x+(a-1)],
∵函數(shù)F(x)有2個零點(diǎn),
∴1-a>0,∴a<1.故選C.
(2)由題意,知x≠0,函數(shù)f(x)有且只有一個零點(diǎn)等價于方程-kx=0只有一個根,即方程=k只有
11、一個根,則函數(shù)g(x)=與直線y=k只有一個交點(diǎn).因?yàn)間′(x)=,當(dāng)x<0時,g′(x)>0,當(dāng)0<x<2時,g′(x)<0,當(dāng)x>2時,g′(x)>0,所以函數(shù)g(x)在(-∞,0)上是增函數(shù),在(0,2)上為減函數(shù),在(2,+∞)上為增函數(shù),g(x)的極小值為g(2)=,且x→0,g(x)→+∞;x→-∞,g(x)→0;x→+∞,g(x)→+∞,則g(x)的大致圖象如圖所示,由圖易知0<k<,故選B.
]
[方法指津]
求解此類逆向問題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn):一是將原函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題,并進(jìn)行適當(dāng)化簡、整理;二是構(gòu)造新的函數(shù),把方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為新構(gòu)造的兩個函數(shù)
12、的圖象交點(diǎn)個數(shù)問題;三是對新構(gòu)造的函數(shù)進(jìn)行畫圖;四是觀察圖象,得參數(shù)的取值范圍.
提醒:把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根,在構(gòu)造兩個新函數(shù)的過程中,一般是構(gòu)造圖象易得的函數(shù),最好有一條是直線,這樣在判斷參數(shù)的取值范圍時可快速準(zhǔn)確地得到結(jié)果.
[變式訓(xùn)練2] (1)(2016·湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)y=f(2x2+1)+f(λ-x)只有一個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)λ的值是( )
【導(dǎo)學(xué)號:04024130】
A. B.
C.- D.-
(2)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù),且對任意的實(shí)數(shù)x,恒有f(x)-f(-x)=0,當(dāng)x∈[-1,0]時,f
13、(x)=x2,若g(x)=f(x)-logax在x∈(0,+∞)上有且僅有三個零點(diǎn),則a的取值范圍為( )
A.[3,5] B.[4,6]
C.(3,5) D.(4,6)
(1)C (2)C [(1)令y=f(2x2+1)+f(λ-x)=0,且f(x)是奇函數(shù),則f(2x2+1)=-f(λ-x)=f(x-λ),又因?yàn)閒(x)是R上的單調(diào)函數(shù),所以2x2+1=x-λ只有一個零點(diǎn),即2x2-x+1+λ=0只有一個零點(diǎn),則Δ=1-8(1+λ)=0,解得λ=-,
故選C.
(2)因?yàn)閒(x)-f(-x)=0,
所以f(x)=f(-x),所以f(x)是偶函數(shù),
根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性作出f(x)的圖象如圖所示:
因?yàn)間(x)=f(x)-logax在x∈(0,+∞)上有且僅有三個零點(diǎn),所以y=f(x)和y=logax的圖象在(0,+∞)上只有三個交點(diǎn),
所以解得3<a<5.]
7