2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 章末小結(jié)教學(xué)案 蘇教版選修4-2

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1、 章末小結(jié) 知識(shí)整合與階段檢測(cè) [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書P47] 考情分析 矩陣與變換是新增內(nèi)容,限制了矩陣為二階矩陣,因此運(yùn)算求解難度都不大,大多為基礎(chǔ)題,考查基本概念與方法. 真題體驗(yàn) 1.(福建高考)設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1在矩陣A=(a>0)對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為x2+y2=1. (1)求實(shí)數(shù)a,b的值; (2)求A2的逆矩陣. 解:(1)設(shè)曲線2x2+2xy+y2=1上任一點(diǎn)P(x,y)在矩陣A對(duì)應(yīng)變換下的像是P′(x′,y′),則= =得 又點(diǎn)P′(x′,y′)

2、在x2+y2=1上,所以x′2+y′2=1, 即a2x2+(bx+y)2=1, 整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1. 依題意得解得或 因?yàn)閍>0,所以 (2)由(1)知,A=,A2= =, 所以|A2|=1,(A2)-1=. 2.(江蘇高考)已知矩陣A=,向量β=.求向量α,使得A2α=β. 解:A2= =. 設(shè)α=.由A2α=β,得 =, 從而 解得x=-1,y=2,所以α=. 求矩陣、逆矩陣 掌握矩陣、逆矩陣的概念,矩陣相等的定義,二階矩陣與平面向量的乘法規(guī)則,兩個(gè)二階矩陣的乘法法則

3、及簡(jiǎn)單性質(zhì),會(huì)求逆矩陣,會(huì)用系數(shù)矩陣的逆矩陣或二階行列式求解二元一次方程組. [例1]  求矩陣A=的逆矩陣. [解] 設(shè)A-1=,根據(jù)可逆矩陣的定義, 則 =, 即=, 根據(jù)矩陣相等得以及 解得a=-5,b=3,c=2,d=-1, 所以A-1=. [例2] 設(shè)矩陣A=,X=,B=,試解方程AX=B. [解] 由于A=, 而det(A)==2×2-1×3=1≠0, 系數(shù)矩陣A可逆, 此時(shí)方程組有唯一解, 而A-1==, 所以X=A-1B = ==. 即 求曲線在平面變換下的方程 掌握平面變換與對(duì)應(yīng)矩陣之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系,理解矩陣乘法與復(fù)合變換之間

4、的關(guān)系. [例3] 二階矩陣M1和M2對(duì)應(yīng)的變換對(duì)正方形區(qū)域的作用結(jié)果如下圖. (1)分別寫出一個(gè)滿足條件的矩陣M1和M2; (2)根據(jù)(1)的結(jié)果,令M=M2M1,求直線x-y-1=0在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下的曲線方程. [解] (1)觀察圖形可知,M1對(duì)應(yīng)的變換為橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的的伸縮變換,M2對(duì)應(yīng)的變換為逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換, 故M1=,M2=. (2)M= =, 設(shè)直線x-y-1=0上任意一點(diǎn)P(x0,y0)在矩陣M對(duì)應(yīng)的變換作用下的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x,y), 則 ==, ∴ 因x0-y0-1=0,∴y+2x-1=0. 故所求曲線方程為2x+y-

5、1=0. [例4] 設(shè)矩陣M=(其中a>0,b>0). (1)若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-1; (2)若曲線C:x2+y2=1在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C′:+y2=1,求a,b的值. 解:(1)設(shè)矩陣M的逆矩陣M-1=, 則MM-1=. 又M=,所以 =, 所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1, 即x1=,y1=0,x2=0,y2=, 故所求的逆矩陣M-1=. (2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x,y),它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到點(diǎn)P′(x′,y′), 則 =,即 又點(diǎn)P′(x′,y′)在曲線C′上,所以+y′2=1, 則+b

6、2y2=1為曲線C的方程. 又已知曲線C的方程為x2+y2=1,故 又a>0,b>0,所以 特征值與特征向量 理解特征值、特征向量的概念,會(huì)求一個(gè)二階矩陣的特征多項(xiàng)式,特征值及每個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量;能夠計(jì)算多次變換的結(jié)果;應(yīng)用二階矩陣的特征值、特征向量求解實(shí)際問(wèn)題. [例5] (江蘇高考)已知矩陣A的逆矩陣A-1=,求矩陣A的特征值. 解:∵A-1A=E,∴A=(A-1)-1. ∵A-1=,∴A=(A-1)-1=. ∴矩陣A的特征多項(xiàng)式為 f(λ)==λ2-3λ-4. 令f(λ)=0,解得矩陣A的特征值λ1=-1,λ2=4. [例6] 給定矩陣M=,向

7、量α=. (1)求M的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量e1,e2; (2)確定實(shí)數(shù)m,n使向量α可表示為α=me1+ne2; (3)利用(2)中表達(dá)式間接計(jì)算M2008α. [解] (1)特征多項(xiàng)式 f(λ)==(λ-1)2-4, 令f(λ)=0,得λ1=3,λ2=-1. M的特征值λ1=3對(duì)應(yīng)的特征向量e1=, 特征值λ2=-1對(duì)應(yīng)的特征向量e2=, (2)因?yàn)棣粒絤e1+ne2, 所以=m+n,即 m=4,n=-3, (3)M2008α=M2008(4e1-3e2) =4(M2008e1)-3(M2008e2)=4(λe1)-3(λe2) =4×32008-3×(-1)2008=. 5

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