2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 空間向量與立體幾何 3.1 3.1.1 空間向量及其線性運算 3.1.2 共面向量定理學(xué)案 蘇教版選修2-1

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1、3.1.1　空間向量及其線性運算 3.1.2　共面向量定理 學(xué)習(xí)目標：1.了解空間向量與平面向量的聯(lián)系與區(qū)別，掌握空間向量的線性運算及其性質(zhì)，理解共線向量定理．(重點)2.了解向量共面的含義，理解共面向量定理.3.能運用共面向量定理證明有關(guān)線面平行和點共面的簡單問題． [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 教材整理1　空間向量及其線性運算 閱讀教材P81的部分，完成下列問題． 1．空間向量 在空間，把既有大小又有方向的量叫做空間向量． 2．空間向量的線性運算 空間向量的線性運算 定義(或法則) 加法 設(shè)a和b是空間兩個向量，過一點O作a和b的相等向量和，根據(jù)平面向量加法的平行

2、四邊形法則．平行四邊形OACB的對角線OC對應(yīng)的向量就是a與b的和，記作a＋b 減法 與平面向量類似，a與b的差定義為a＋(－b)，記作a－b，其中－b是b的相反向量 空間向量的數(shù)乘　　　 空間向量a與一個實數(shù)λ的乘積是一個向量，記作λa，滿足： 大?。簗λa|＝|λ||a|. 方向：當λ＞0時，λa與a方向相同； 當λ＜0時，λa與a方向相反； 當λ＝0時，λa＝0 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大?。?　　) (2)空間向量的數(shù)乘運算中，λ只決定向量的大小，不決定向量的方向．(　　) (3)將空間的所

3、有單位向量的起點平移到同一個點，則它們的終點構(gòu)成一個圓．(　　) (4)若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b.(　　) (5)已知四邊形ABCD，O是空間任意一點，且＋＝＋，則四邊形ABCD是平行四邊形．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√ 2．如圖3-1-1，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各式運算結(jié)果為的是________(填序號)． 圖3-1-1 ①－－； ②＋－； ③－－； ④－＋. [解析]?、伲剑?； ②＋－＝＋＝； ③－－＝－＝－＝≠； ④－＋＝＋＋＝＋＋＝＋≠. [答案]?、佗? 教材整理2　共線向量

4、 閱讀教材P82例1上面的部分，完成下列問題． 1．共線向量 如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量． 向量a與b平行，記作a∥b，規(guī)定零向量與任意向量共線． 2．共線向量定理 對空間任意兩個向量a，b(a≠0)，b與a共線的充要條件是存在實數(shù)λ，使b＝λa. 教材整理3　共面向量 閱讀教材P84的部分，完成下列問題． 1．共面向量 能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量． 2．共面向量定理 如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x，y)，使得p＝xa＋yb. 有下列命題：

5、①平行于同一直線的向量是共線向量； ②平行于同一平面的向量是共面向量； ③平行向量一定是共面向量； ④共面向量一定是平行向量． 其中正確的命題有________． [解析]　“共面向量一定是平行向量”不正確，即共面向量不一定共線．①②③均正確． [答案]?、佗冖? [合 作 探 究·攻 重 難] 空間向量及有關(guān)概念 　下列四個命題： ①所有的單位向量都相等； ②方向相反的兩個向量是相反向量； ③若a，b滿足|a|>|b|，且a，b同向，則a>b； ④零向量沒有方向． 其中不正確的命題的序號為________. 【導(dǎo)學(xué)號：71392156】 [精彩

6、點撥]　根據(jù)空間向量的概念進行逐一判斷，得出結(jié)論． [自主解答]　對于①：單位向量是指長度等于1個單位長度的向量，而其方向不一定相同，它不符合相等向量的定義，故①錯；對于②：長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故②錯；對于③：向量是不能比較大小的，故不正確；對于④：零向量有方向，只是沒有確定的方向，故④錯． [答案]?、佗冖邰? [名師指津]　 1．因為空間任何兩個向量都可以平移到同一平面上，故空間的兩個向量間的關(guān)系都可以轉(zhuǎn)化為平面向量來解決． 2．對于有關(guān)向量基本概念的考查，可以從概念的特征入手，也可以通過舉出反例而排除或否定相關(guān)命題． [再練一題] 1．下列命題中正確的個數(shù)

7、是________． ①如果a，b是兩個單位向量，則|a|＝|b|； ②兩個空間向量相等，則它們的起點相同，終點也相同； ③同向且等長的有向線段表示同一向量； ④空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)． [解析]?、佗邰苷_，②不正確． [答案]　3 空間向量的線性運算 　化簡：(－)－(－)． [精彩點撥]　根據(jù)算式中的字母規(guī)律，可轉(zhuǎn)化為加法運算，也可轉(zhuǎn)化為減法運算． [自主解答]　法一：將減法轉(zhuǎn)化為加法進行化簡． ∵－＝＋， ∴(－)－(－)＝＋－＋ ＝＋＋＋＝＋＋＋ ＝＋＝0. 法二：利用－＝，－＝化簡． (－)－(－)＝－－＋ ＝(－)＋(－)

8、 ＝＋＝0. 法三：∵＝－，＝－， ＝－，＝－， ∴(－)－(－) ＝(－－＋)－(－－＋) ＝－－＋－＋＋－＝0. [名師指津]　 1．計算兩個空間向量的和或差時，與平面向量完全相同．運算中掌握好三角形法則和平行四邊形法則是關(guān)鍵． 2．計算三個或多個空間向量的和或差時，要注意以下幾點： (1)三角形法則和平行四邊形法則； (2)正確使用運算律； (3)有限個向量順次首尾相連，則從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的向量，即表示這有限個向量的和向量． [再練一題] 2．如圖3-1-2所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，若＝a，＝b，＝c，則＝__

9、______(用向量a，b，c表示). 【導(dǎo)學(xué)號：71392157】 圖3-1-2 [解析]　法一：＝－＝＋－＝－＋－－＝a－b＋c－b＋b＝a－b＋c. 法二：＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b. [答案]　a－b＋c 共線向量定理及其應(yīng)用 　如圖3-1-3，已知M，N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.求證：B，G，N三點共線． 圖3-1-3 [精彩點撥]　要證明B，G，N三點共線，可證明∥，即證明存在實數(shù)λ，使＝λ. [自主解答]　設(shè)＝a，＝b，＝c， 則＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c) ＝－a＋b＋c，

10、＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c＝. ∴∥，即B，G，N三點共線． [名師指津]　判定或證明三點(如P，A，B)是否共線： (1)考察是否存在實數(shù)λ，使＝λ； (2)考察對空間任意一點O，是否有＝＋t； (3)考察對空間任意一點O，是否有＝x＋y (x＋y＝1). [再練一題] 3．在例3中，若把條件“GM∶GA＝1∶3”換為“GM∶GA＝1∶1”．把“N是面ACD的重心”換為“＝λ”，增加條件“B，G，N三點共線”，其余不變，試求λ的值． [解]　設(shè)＝a，＝b，＝c，∴＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)＝(a＋b＋c)． ∴＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝－a＋b＋c. ＝＋＝＋

11、λ＝＋λ(＋)＝－a＋λb＋λc. ∵B，G，N三點共線，故存在實數(shù)k，使＝k， 即－a＋b＋c＝k， 故 解得k＝，λ＝. 共面向量定理及其應(yīng)用 　如圖3-1-4所示，已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點． 圖3-1-4 (1)用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點共面； (2)用向量法證明BD∥平面EFGH. 【導(dǎo)學(xué)號：71392158】 [精彩點撥]　(1)要證E，F(xiàn)，G，H四點共面，根據(jù)共面向量定理的推論，只要能找到實數(shù)x，y，使＝x＋y即可． (2)要證BD∥平面EFGH，只需證向量與向量，共面即可． [自主解答]　(

12、1)如圖所示，連接BG，EG，則 ＝＋＝＋(＋) ＝＋＋＝＋. 由共面向量定理知E，F(xiàn)，G，H四點共面． (2)設(shè)＝a，＝b，＝c， 則＝－＝c－a. ＝＋＝－＋(c＋b)＝－a＋b＋c， ＝＋＝－c＋(a＋b)＝a＋b－c. 假設(shè)存在x，y，使＝x＋y. 即c－a ＝x＋y ＝a＋b＋c. ∵a，b，c不共線． ∴解得 ∴＝－. ∴，，是共面向量， ∵BD不在平面EFGH內(nèi)． ∴BD∥平面EFGH. [名師指津]　 1．空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)對x，y，使＝x＋y.滿足這個關(guān)系式的點P都在平面MAB內(nèi)；反之，平面MAB內(nèi)的任一點

13、P都滿足這個關(guān)系式，這個充要條件常用來證明四點共面．在許多情況下，可以用“若存在有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)使得對于空間任意一點O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，則P，A，B，C四點共面”作為判定空間中四個點共面的依據(jù)． 2．用共面向量定理證明線面平行的關(guān)鍵 (1)在直線上取一向量； (2)在平面內(nèi)找出兩個不共線的向量，并用這兩個不共線的向量表示直線上的向量； (3)說明直線不在面內(nèi)，三個條件缺一不可． [再練一題] 4．已知兩個非零向量e1，e1不共線，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求證：A，B，C，D四點共面． [證明]　∵＋＝(3e1－3e2)＋

14、(2e1＋8e2)＝5(e1＋e2)＝5， ∴＝＋，又與不共線， ∴，，共面，又它們有一個公共起點A， ∴A，B，C，D四點共面. 共線、共面向量的特征 [探究問題] 1．如何理解共線向量及共線向量定理？ [提示]　(1)用共線向量定理證明兩直線平行是常用方法，但是要注意，向量平行與直線平行是有區(qū)別的，直線平行不包括共線的情形，如果應(yīng)用共線向量定理判斷a，b所在的直線平行，還需說明a(或b)上有一點不在b(或a)上． (2)用共線向量定理證明三點共線也是常用方法，在利用該定理證明(或判斷)三點A，B，C共線時，只需證明存在實數(shù)λ，使＝λ或＝λ即可． (3)對于空間任意一

15、點O，若有＝λ＋(1－λ)成立，則A，B，C三點共線． 2．如何理解共面向量定理？ [提示]　(1)共面向量定理給出了平面向量的表示式，說明兩個不共線的向量能確定一個平面，它是判定三個向量是否共面的依據(jù)． (2)共面向量定理的推論是判定空間四點共面的依據(jù)． 3．若兩向量共線或共面，則這兩向量所在的直線有何位置關(guān)系？ [提示]　兩向量共線，這兩向量所在的直線重合或平行，兩向量共面，這兩向量所在的直線共面或異面． 　如圖3-1-5所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.證明：與，共面. 【導(dǎo)學(xué)號：71392159】

16、 圖3-1-5 [精彩點撥]　由共面向量定理，只要用，線性表示出即可． [自主解答]　∵＝＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋ ＝＋＋＋ ＝＋， ∴與，共面． [再練一題] 5．如圖3-1-6，正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點．證明：向量，，是共面向量． 圖3-1-6 [證明]　法一：＝＋＋ ＝－＋ ＝(＋)－ ＝－. 由向量共面的充要條件知，，，是共面向量． 法二：連接A1D，BD，取A1D中點G，連接FG，BG，則有FGDD1， BEDD1， ∴FGBE， ∴四邊形BEFG為平行四邊形， ∴EF∥BG. BG?平面

17、A1BD，EF?平面A1BD， ∴EF∥共面A1BD. 同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD， ∴，，都與平面A1BD平行． ∴，，是共面向量． [當 堂 達 標·固 雙 基] 1．已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，則＋＋＋＝________. [解析]　＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. [答案]　0 2．已知正方體ABCD-A′B′C′D′中，設(shè)＝a，＝b，＝c，點E是A′C′的中點，點F是AE的三等分點，且AF＝EF，則＝________(用a，b，c表示)． [解析]　由條件AF＝EF知，EF＝2AF，所以＝＝ ＝＝＋＝＋＋＝a＋b＋c. [答案]　a＋b＋c

18、 3．a(chǎn)＝λb(λ是實數(shù))是a與b共線的______條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”和“既不充分也不必要”)． [解析]　a＝λb?a∥b，但當b＝0，a≠0時， 則a∥b，a≠λb. [答案]　充分不必要 4．設(shè)e1，e2是空間中兩個不共線的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三點共線，則k的值是________. 【導(dǎo)學(xué)號：71392160】 [解析]　∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2， ∴＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2. ∵A，B，D三點共線， ∴＝λ， ∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2. ∵e1，e2是空間兩個不共線的向量， ∴ ∴k＝－8. [答案]　－8 5．已知?ABCD，從平面AC外一點O，引向量＝k，＝k，＝k，＝k. 圖3-1-7 求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面； (2)平面AC∥平面EG. [證明]　(1)四邊形ABCD是平行四邊形，∴＝＋. ∵＝－＝k·－k·＝k(－) ＝k＝k(＋) ＝k(－＋－) ＝－＋－ ＝＋，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面． (2)∵＝－＝k(－)＝k·，又∵＝k·，∴EF∥AB，EG∥AC，所以平面AC∥平面EG. 12