《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.1向量數(shù)量積的概念學(xué)案 新人教B版第三冊》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.1向量數(shù)量積的概念學(xué)案 新人教B版第三冊(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、8.1.1向量數(shù)量積的概念
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.通過物理中“功”等實例,理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.(難點)
2.體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.(重點)
3.會運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會運用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直.(重點,難點)
1.通過物理學(xué)中力對物體做功引出向量的數(shù)量積概念,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的素養(yǎng).
2.利用向量的投影領(lǐng)會向量的數(shù)量積的幾何意義,提高學(xué)生幾何直觀的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
1.兩個向量的夾角
給定兩個非零向量a,b,在平面內(nèi)任選一點O,作=a,=b,則稱[0,π]內(nèi)的∠AOB為向量a與向量b的夾角,記作〈a,b〉.
2、
(1)兩個向量夾角的取值范圍是[0,π],且〈a,b〉=〈b,a〉.
(2)當(dāng)〈a,b〉=時,稱向量a與向量b垂直,記作a⊥b.
2.向量數(shù)量積的定義
一般地,當(dāng)a與b都是非零向量時,稱|a||b|cos〈a,b〉為向量a與b的數(shù)量積(也稱為內(nèi)積),即a·b=|a||b|·cos〈a,b〉.
(1)當(dāng)〈a,b〉∈時,a·b>0;
當(dāng)〈a,b〉=時,a·b=0;
當(dāng)〈a,b〉∈時,a· b<0.
(2)兩個非零向量a,b的數(shù)量積的性質(zhì):
不等式
|a·b|≤ |a||b|
恒等式
a·a=a2=|a|2,即|a|=
向量垂直
的充要條件
a⊥b ?a·b=0
3
3、.向量的投影與向量數(shù)量積的幾何意義
(1)給定平面上的一個非零向量b,設(shè)b所在的直線為l,則向量a在直線l上的投影稱為a在向量b上的投影.
(2)一般地,如果a,b都是非零向量,則|a|cos 〈a,b〉為向量a在向量b上的投影的數(shù)量.
(3)兩個非零向量a,b的數(shù)量積a·b,等于a在向量b上的投影的數(shù)量與b的模的乘積.這就是兩個向量數(shù)量積的幾何意義.
1.已知|a|=3,向量a與b的夾角為,則a在b方向上的投影為( )
A. B. C. D.
D [向量a在b方向上的投影為|a|cos〈a,b〉=3×cos =.故選D.]
2.在△ABC中,=a,=b,且b·
4、a=0,則△ABC是( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形
C.直角三角形 D.無法確定
C [在△ABC中,因為b·a=0,所以b⊥a,故△ABC為直角三角形.]
3.如圖,在△ABC中,,的夾角與,的夾角的關(guān)系為________.
互補 [根據(jù)向量夾角定義可知向量,夾角為∠BAC,而向量,夾角為π-∠BAC,故二者互補.]
4.如圖所示,一個大小為5 N,與水平方向夾角37°的拉力F作用在小車上,小車沿水平方向向右運動.運動過程中,小車受到的阻力大小為3 N,方向水平向左.小車向右運動的距離為2 m的過程中,小車受到的各個力都沒有發(fā)生變化.求在此過程中:拉力F對小車做的功
5、(取cos37°≈0.8)為_____.小車克服阻力做的功為______.
8 J 6 J [拉力F對小車做的功WF=FScos θ=5×2×0.8 J=8 J,
小車克服阻力做的功為W克f=-Wf=3×2 J=6 J.]
平面向量的夾角
【例1】(1)(2019·東營高一檢測)已知向量|a|=2,|b|=,且a·b=-3,則〈a,b〉=( )
A. B. C. D.
(2)已知△ABC中, AB=4,BC=2,·=-4,則向量與的夾角為________, 向量與的夾角為________.
[思路探究](1)由平面向量的夾角公式計算夾角的余弦值再
6、求角.
(2)先由向量的數(shù)量積公式計算B,再由平面幾何性質(zhì)計算∠ACB,∠BAC,最后求向量的夾角.
(1)D(2)90° 150° [ (1)因為向量|a|=2,|b|=,且a·b=-3,所以cos 〈a,b〉==-,
又〈a,b〉∈[0, π],所以〈a,b〉=.
(2)在△ABC中,因為AB=4,BC=2,·=-4,
所以||||cos 〈,〉=-4,
得4×2cos(π-B)=-4,所以cos B=,得B=60°.
如圖,延長BC到D,使CD=BC,則△ABD為等邊三角形,所以AC⊥BC,∠BAC=30°,所以向量與的夾角為90°,與的夾角為150°.]
求平面向量
7、的夾角的方法技巧
(1)已知平面向量的長度和數(shù)量積,利用夾角余弦公式計算cos 〈a,b〉=,若是特殊角,再求向量的夾角.
(2)在△ABC中,注意三角形的內(nèi)角與平面向量的夾角的區(qū)別和聯(lián)系,常常利用幾何圖形確定是“相等”還是“互補”的關(guān)系.
1.若兩個單位向量的數(shù)量積等于-1,則這兩個單位向量的夾角為( )
A.0 B. C. D.π
D [設(shè)兩個單位向量分別為e1,e2,則e1·e2=cos 〈e1,e2〉=-1,由于〈e1,e2〉∈[0, π],
所以〈e1,e2〉=π.]
2.已知a是單位向量,且3a·b=|b|,則sin〈a,b〉=______
8、__.
[因為a是單位向量,且3a·b=|b|,則3|a||b|cos 〈a,b〉=|b|,得cos 〈a,b〉=,
又sin2〈a,b〉+cos 2〈a,b〉=1,得sin2〈a,b〉=.又0≤〈a,b〉≤π,得sin〈a,b〉=.]
與向量數(shù)量積有關(guān)的概念
【例2】(1)以下四種說法中正確的是________.(填序號)
①如果a·b=0,則a=0或b=0;
②如果向量a與b滿足a·b<0,則a與b所成的角為鈍角;
③△ABC中,如果·=0,那么△ABC為直角三角形;
④如果向量a與b是兩個單位向量,則a2=b2.
(2)已知等腰△ABC的底邊BC長為4,則·=_
9、_______.
[思路探究] 根據(jù)數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運算律及投影的定義解答.
(1)③④(2)8 [(1)由數(shù)量積的定義知a·b=|a||b|·cos θ(θ為向量a,b的夾角).
①若a·b=0,則θ=90°或a=0或b=0,故①錯;
②若a·b<0,則θ為鈍角或θ=180°,故②錯;
③由·=0知B=90°,故△ABC為直角三角形,故③正確;
④由a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故④正確.
(2)如圖,過點A作AD⊥BC,垂足為D.
因為AB=AC,
所以BD=BC=2,
于是||cos∠ABC=||
=||=×4=2,
所以·=||||cos∠ABC=
10、4×2=8.]
1.在書寫數(shù)量積時,a與b之間用實心圓點“·”連接,而不能用“×”連接,更不能省略不寫.
2.求平面向量數(shù)量積的方法:
(1)若已知向量的模及其夾角,則直接利用公式a·b=|a||b|cos θ.
(2)若已知一向量的模及另一向量在該向量上的投影,可利用數(shù)量積的幾何意義求a·b.
3.給出下列判斷:①若a2+b2=0,則a=b=0;②已知a,b,c是三個非零向量,若a+b=0,則|a·c|=|b·c|;③a,b共線?a·b=|a||b|;④|a||b|0,則a與b的夾角為銳
11、角;⑧若a,b的夾角為θ,則|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影長.其中正確的是________.(填序號)
①②⑥ [由于a2≥0,b2≥0,所以,若a2+b2=0,則a=b=0,故①正確;
若a+b=0,則a=-b,又a,b,c是三個非零向量,所以a·c=-b·c,所以|a·c|=|b·c|,故②正確;
a,b共線?a·b=±|a||b|,所以③不正確;
對于④應(yīng)有|a||b|≥a·b,所以④不正確;
對于⑤,應(yīng)該是a·a·a=|a|2a,所以⑤不正確;
⑥a2+b2≥2|a||b|≥2a·b,故⑥正確;
當(dāng)a與b的夾角為0°時,也有a·b>0,因此⑦錯;
|b|
12、cos θ表示向量b在向量a方向上的正投影的數(shù)量,而非投影長,故⑧錯.綜上可知①②⑥正確.]
平面向量數(shù)量積的幾何意義
【例3】(1)(2019·永州高一檢測)已知向量b的模為1,且b在a方向上的投影的數(shù)量為,則a與b的夾角為( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
(2)已知平面向量|a|=2,|b|=6且a·b=-4,則a在b上投影的數(shù)量為________,b在a上投影的數(shù)量為________.
[思路探究](1)向量b在a方向上的投影的數(shù)量為|b|cos 〈a,b〉,再求向量的夾角.
(2)先由平面向量數(shù)量積的公式計算cos 〈a,b〉,再
13、計算投影的數(shù)量.
(1)A(2)-?。? [(1)因為向量b的模為1.且b在a方向上的投影的數(shù)量為,則|b|cos 〈a,b〉=,
得cos 〈a,b〉=,因為〈a,b〉∈[0, π],所以〈a,b〉==30°.
(2)因為平面向量|a|=2,|b|=6且a·b=-4,
所以|a||b|cos 〈a,b〉=-4,得cos 〈a,b〉=-.
所以a在b上投影的數(shù)量為|a|cos 〈a,b〉=-,b在a上投影的數(shù)量為|b|cos 〈a,b〉=-2.]
關(guān)于平面向量數(shù)量積的幾何意義的兩點注意事項
(1)向量a在b所在直線上的投影是一個向量,向量a在b所在直線上的投影的數(shù)量是一個實數(shù)
14、.
(2)向量a在向量b上的投影的數(shù)量是|a|cos 〈a,b〉,向量b在向量a上的投影的數(shù)量是|b|cos〈a,b〉,二者不能混為一談.
4.(2019·青島高一檢測)如圖,圓心為C的圓的半徑為r,弦AB的長度為2,則 ·的值為( )
A.r B.2r
C.1 D.2
D [如圖,作AB的中點H,連接CH,則向量在方向上的投影的數(shù)量為AH=||cos ∠CAB,
所以·=||||cos ∠CAB=||||=2.]
5.已知向量a在向量b上的投影的數(shù)量是2,|b|=3,則a·b=________.
6 [因為向量a在向量b上的投影的數(shù)量是2,|
15、b|=3,則a·b=|a||b|cos 〈a,b〉=(|a|cos 〈a,b〉)|b|=2×3=6.]
1.對正投影的三點詮釋
(1)a·b等于|a|與b在a方向上的正投影的乘積,也等于|b|與a在b方向上的正投影的乘積.其中a在b方向上的正投影與b在a方向上的正投影是不同的.
(2)b在a方向上的正投影為|b|cos θ(θ是a與b的夾角),也可以寫成 .
(3)正投影是一個數(shù)量,不是向量,其值可為正,可為負(fù),也可為零.
2.知識導(dǎo)圖
——向量數(shù)量積——
∣
1.已知平面向量|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=,則a·b=( )
A.2 B.3
16、
C.6 D.0
B [因為|a|=2,|b|=3,〈a,b〉=,則a·b=|a||b|cos =2×3×=3.]
2.已知平面向量|a|=1,|b|=2,則a2+b2=( )
A.2 B.3
C.5 D.-5
C [因為|a|=1,|b|=2,
所以a2+b2=|a|2+|b|2=5.]
3.已知向量|a|=6,|b|=2,向量a,b的夾角為120°,則向量a在b上的投影的數(shù)量為( )
A.1 B.3
C.-1 D.-3
D [根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義,向量a在b上的投影的數(shù)量為|a|cos 120°=6×=-3.]
4.已知等腰直角三角形ABC中,D是斜邊AB的中點,則CD和AC的夾角為________,和的夾角為________.
45° 135° [等腰直角三角形ABC中,D是斜邊AB的中點,則CD⊥AB, CD和AC的夾角為45°,和的夾角為135°.]
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