2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大(小)值 第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)
《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大(?。┲?第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大(?。┲?第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1課時(shí) 函數(shù)的單調(diào)性
(教師獨(dú)具內(nèi)容)
課程標(biāo)準(zhǔn):1.理解函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的概念.2.會(huì)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,判斷函數(shù)的單調(diào)性,會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性.3.會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.
教學(xué)重點(diǎn):1.函數(shù)單調(diào)性的定義及其幾何特征.2.用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.
教學(xué)難點(diǎn):用定義證明函數(shù)的單調(diào)性.
【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】
知識(shí)點(diǎn)一 函數(shù)的單調(diào)性及其符號(hào)表達(dá)
(1)函數(shù)單調(diào)性的概念
函數(shù)值隨自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性.
(2)函數(shù)單調(diào)性的符號(hào)表達(dá)
一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,區(qū)間D?I:
如果?x1,x2∈D,當(dāng)x1 2、) 3、1.單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì),但在其單調(diào)區(qū)間上是整體性質(zhì),因此對(duì)x1,x2有下列要求:
(1)屬于同一個(gè)區(qū)間D;
(2)任意性,即x1,x2是定義域中某一區(qū)間D上的任意兩個(gè)值,不能用特殊值代替;
(3)有大小,即確定的任意兩值x1,x2必須區(qū)分大小,一般令x1 4、∞,0]上單調(diào)遞減,在[0,+∞)上單調(diào)遞增.
4.函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增(減),但是在整個(gè)定義域上不一定都是單調(diào)遞增(減).如函數(shù)y=(x≠0)在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上都單調(diào)遞減,但是在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性.
5.一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或者兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí),不能用“∪”連接,而應(yīng)該用“和”或“,”連接.如函數(shù)y=(x≠0)在區(qū)間(-∞,0)和(0,+∞)上都單調(diào)遞減,不能認(rèn)為y=(x≠0)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)∪(0,+∞).
6.函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)于函數(shù)的定義域的子區(qū)間D而言的.對(duì)于單獨(dú)的一點(diǎn),它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù),沒(méi)有增減變化,所以不存在單調(diào)性問(wèn)題.因此在 5、寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí),區(qū)間端點(diǎn)可以包括,也可以不包括.但對(duì)于函數(shù)式無(wú)意義的點(diǎn),單調(diào)區(qū)間一定不能包括這些點(diǎn).
7.圖象變換對(duì)單調(diào)性的影響
(1)上下平移不影響單調(diào)區(qū)間,即y=f(x)和y=f(x)+b的單調(diào)區(qū)間相同.
(2)左右平移影響單調(diào)區(qū)間.如y=x2的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0];y=(x+1)2的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-1].
(3)y=k·f(x),當(dāng)k>0時(shí)單調(diào)區(qū)間與f(x)相同,當(dāng)k<0時(shí)單調(diào)區(qū)間與f(x)相反.
1.判一判(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)所有函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性.( )
(2)函數(shù)單調(diào)遞增(減)定義中的“?x1,x2∈D”可以改為“?x1 6、,x2∈D”.( )
(3)若區(qū)間D是函數(shù)f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間,且x1,x2∈D,若x1 7、______.
(2)已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖2所示,則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________,單調(diào)遞減區(qū)間是________.
(3)下列函數(shù)f(x)中,滿足?x1,x2∈(0,+∞),當(dāng)x1 8、-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=.
∵2 9、(x1)>f(x2),相應(yīng)地也可用一個(gè)不等式來(lái)替代:
(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0.
利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x)=在(-1,+∞)上的單調(diào)性.
解 ?x1,x2∈(-1,+∞),且x1 10、
[解] (1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.作出f(x)的圖象,保留其在x軸上及其上方部分,將位于x軸下方的部分翻折到x軸上方,得到y(tǒng)=|x2+2x-3|的圖象,如圖所示.
由圖象,得原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[-3,-1]和[1,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-3]和[-1,1].
(2)函數(shù)f(x)可化為:
f(x)=|x-3|+|x+3|=
作出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.
由圖象知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為(-∞,-3],[3,+∞).
其中,單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,-3],單調(diào)遞增區(qū)間為[3,+∞).
金版點(diǎn)睛
常用畫(huà)圖象求單調(diào)區(qū)間
(1)對(duì)于函數(shù)單調(diào)區(qū)間 11、的確定,常借助于函數(shù)圖象直接寫(xiě)出.
(2)對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù),往往轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)去處理其圖象,借助于圖象的變化趨勢(shì)分析相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間).
(3)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集,在求解的過(guò)程中不要忽略了函數(shù)的定義域.
(1)根據(jù)下圖說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間與單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)寫(xiě)出f(x)=|x2-2x-3|的單調(diào)區(qū)間.
解 (1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,2],[4,5],函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[-1,0],[2,4].
(2)先畫(huà)出f(x)=的圖象,如圖.
所以f(x)=|x2-2x-3|的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-1],[1,3];單調(diào)遞增區(qū)間是 12、[-1,1],[3,+∞).
題型三 抽象函數(shù)的單調(diào)性
例3 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),對(duì)m,n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠0,f(n)≠0),且當(dāng)x>0時(shí),0 13、
∴f(x)·f(-x)=1,
∴f(x)=>0.
∴?x∈R,恒有f(x)>0.
(3)?x1,x2∈R,且x1 14、或湊已知,從而使用定義或已知條件得出結(jié)論;另一種是“賦值”,給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系,有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.
注意:若給出的是和型(f(x+y)=…)抽象函數(shù),判定符號(hào)時(shí)的變形為f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1),f(x2)-f(x1)=f(x2)-f[(x1-x2)+x2];
若給出的是積型(f(xy)=…)抽象函數(shù),判定符號(hào)時(shí)的變形為f(x2)-f(x1)=f-f(x1),f(x2)-f(x1)=f(x2)-f.
已知函數(shù)f(x),?x,y∈R,總有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0.求證:f(x)為減函數(shù).
證 15、明 ?x1,x2∈R,且x2>x1,
則x2-x1>0,
∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0,∴f(x2-x1)<0,
∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x)為減函數(shù).
題型四 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
例4 求函數(shù)f(x)=的單調(diào)區(qū)間.
[解] 易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x<-4或-4 16、單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-4)和(-4,-1].
金版點(diǎn)睛
一般地,對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)],如果t=g(x)在(a,b)上單調(diào),并且y=f(t)在(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上也單調(diào),那么y=f[g(x)]在(a,b)上的單調(diào)性如下表所示,簡(jiǎn)記為“同增異減”.
若一個(gè)函數(shù)是由多個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合而成的,則此復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由簡(jiǎn)單函數(shù)中減函數(shù)的個(gè)數(shù)決定.若減函數(shù)有偶數(shù)個(gè),則這個(gè)復(fù)合函數(shù)為增函數(shù);若減函數(shù)有奇數(shù)個(gè),則這個(gè)復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).
判斷復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性的步驟:
(1)確定函數(shù)的定義域;
(2)將復(fù)合函數(shù)分解成y=f(u),u=g(x) 17、;
(3)分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性;
(4)確定復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性.
已知函數(shù)f(x)在定義域[0,+∞)上單調(diào)遞減,求f(1-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間.
解 ∵f(x)的定義域?yàn)閇0,+∞),
∴1-x2≥0,即x2≤1,故-1≤x≤1.
令u=1-x2,則f(1-x2)=f(u).
∵u=1-x2在[0,1]上單調(diào)遞減,
∴f(1-x2)在[0,1]上單調(diào)遞增;
∵u=1-x2在[-1,0]上單調(diào)遞增,
∴f(1-x2)在[-1,0]上單調(diào)遞減.
故f(1-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1,0].
題型五 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用
例5 (1)已知y=f
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