2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性 三 相似三角形的判定創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版選修4-1

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1、 三 似三角形的判定及性質(zhì) 1．相似三角形的判定 [對應(yīng)學(xué)生用書P7] 1．相似三角形 (1)定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比或(相似系數(shù))． (2)預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似． 2．相似三角形的判定定理 (1)判定定理1：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似，簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似． (2)判定定理2：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且

2、夾角相等，那么這兩個三角形相似，簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似． 引理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊． (3)判定定理3：對于任意兩個三角形，如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似，簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似． [說明]　1.在這些判定方法中，應(yīng)用最多的是判定定理1，即兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似．因為它的條件最容易尋求．在實際證明當中，要特別注意兩個三角形的公共角．判定定理2則常見于連續(xù)兩次證明相似時，在證明時第二次使用此定理的情況較多． 2．引理是平行

3、線分線段成比例定理的推論的逆定理，可以判定兩直線平行． 3．直角三角形相似的判定定理 (1)定理：①如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等，那么它們相似； ②如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例那么它們相似． (2)定理：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似． [說明]　對于直角三角形相似的判定，除了以上方法外，還有其他特殊的方法，如直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似． 在證明直角三角形相似時，要特別注意直角這一隱含條件的利用． [對應(yīng)學(xué)生用書P8] 相似三角形的判定 [例

4、1]　如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分線，證明：△ABC∽△BCD. [思路點撥]　已知AB＝AC，∠A＝36°，所以∠ABC＝∠C＝72°，而BD是角平分線，因此，可以考慮使用判定定理1. [證明]　∵∠A＝36°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝72°. 又∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝36°， ∴∠A＝∠CBD. 又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BCD. 判定兩三角形相似，可按下面順序進行：(1)有平行截線，用預(yù)備定理；(2)有一對等角時，①找另一對等角，②找夾這個角的兩邊對應(yīng)成比例；(3)有兩對應(yīng)邊成比例時，①找夾角相等，②

5、找第三邊對應(yīng)成比例，③找一對直角． 1．如圖，BC∥FG∥ED，若每兩個三角形相似，構(gòu)成一組相似三角形，那么圖中相似的三角形的組數(shù)是(　　) A．1　　　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：△AED與△AFG相似，△AED與△ABC相似，△AFG與△ABC相似． 答案：C 2．如圖，O是△ABC內(nèi)任一點，D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點，求證：△DEF∽△ABC. 證明：∵D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點， ∴DE＝AB，EF＝BC，F(xiàn)D＝CA. ∴＝＝＝. ∴△DEF∽△ABC. 3．如圖，D在AB上，且DE∥BC交AC于

6、E，F(xiàn)在AD上，且AD2＝AF·AB，求證：△AEF∽△ACD. 證明：∵DE∥BC，∴＝.① ∵AD2＝AF·AB，∴＝.② 由①②兩式得＝， 又∠A為公共角，∴△AEF∽△ACD. 直角三角形相似的判定 [例2]　如圖，已知在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP. [思路點撥]　由于這兩個三角形都是直角三角形，且已知條件是線段間的關(guān)系，故考慮證明對應(yīng)邊成比例，即只需證明＝即可． [證明]　在正方形ABCD中， ∵Q是CD的中點，∴＝2. ∵＝3，∴＝4. 又BC＝2DQ，∴＝2. 在△ADQ和△QCP

7、中， ＝＝2，∠C＝∠D＝90°， ∴△ADQ∽△QCP. 直角三角形相似的判定方法： (1)相似三角形的判定定理1,2,3都適用于直角三角形相似的判定． (2)兩個直角三角形，已經(jīng)具備直角對應(yīng)相等，只要再證明有一對銳角相等，或夾直角的兩邊對應(yīng)成比例，就可以證明這兩個直角三角形相似． 4．如圖，∠C＝90°，D是AC上的一點，DE⊥AB于E，求證：△ADE∽△ABC. 證明：∵DE⊥AB， ∴∠DEA＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠DEA＝∠C. ∵∠A＝∠A. ∴△ADE∽△ABC 5．如圖，BD，CE是△ABC的高，BD，CE交于F，寫出圖中所有

8、與△ACE相似的三角形． 解：∵∠ACE為公共角，由直角三角形判定定理1，知Rt△FDC∽Rt△ACE. 又∠A為公共角，∴Rt△ABD∽Rt△ACE. 又∵∠A＋∠ACE＝90°，∠A＋∠ABD＝90°， ∴∠ACE＝∠ABD.∴Rt△FBE∽Rt△ACE. 故共有三個直角三角形，即Rt△ABD，Rt△FBE， Rt△FCD與Rt△ACE相似. 相似三角形的應(yīng)用 [例3]　如圖，D為△ABC的邊AB上一點，過D點作DE∥BC，DF∥AC，AF交DE于G，BE交DF于H，連接GH. 求證：GH∥AB. [思路點撥]　根據(jù)此圖形的特點可先證比例式＝成立，再證△EG

9、H∽△EDB，由相似三角形的定義得∠EHG＝∠EBD即可． [證明]　∵DE∥BC， ∴＝＝，即＝. 又∵DF∥AC，∴＝. ∴＝.∴＝. 又∠GEH＝∠DEB， ∴△EGH∽△EDB. ∴∠EHG＝∠EBD. ∴GH∥AB. 不僅可以由平行線得到比例式，也可以根據(jù)比例式的成立確定兩直線的平行關(guān)系．有時用它來證明角與角之間的數(shù)量關(guān)系，線段之間的數(shù)量關(guān)系． 6．如圖，△ABC的三邊長是2、6、7，△DEF的三邊長是4、12、14，且△ABC與△DEF相似，則∠A＝__________，∠B＝__________，∠C＝________. ＝＝＝________.

10、 解析：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝F. ＝＝＝. 答案：∠D　∠E　∠F　DE　BC　DF　 7.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點F在BA的延長線上，連接CF交AD于點E. (1)求證：△CDE∽△FAE； (2)當E是AD的中點，且BC＝2CD時， 求證：∠F＝∠BCF. 證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD. 又∵點F在BA的延長線上， ∴∠DCF＝∠F，∠D＝∠FAE. ∴△CDE∽△FAE. (2)∵E是AD的中點，∴AE＝DE. 由△CDE∽△FAE，得＝. ∴CD＝FA. ∴AB＝CD＝AF.∴BF＝2CD. 又∵BC＝

11、2CD，∴BC＝BF.∴∠F＝∠BCF. 8.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，點E是AC的中點，ED的延長線交AB的延長線于F. 求證：＝. 證明：∵E是Rt△ADC斜邊AC上的中點， ∴AE＝EC＝ED. ∴∠EDC＝∠C＝∠BDF. 又∵AD⊥BC且∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠C. ∴∠BAD＝∠BDF. 又∠F＝∠F，∴△DBF∽△ADF， ∴＝. 又在Rt△ABD與Rt△CBA中，＝， ∴＝. [對應(yīng)學(xué)生用書P10] 一、選擇題 1．如圖所示，AD∥EF∥BC，GH∥AB，則圖中與△BOC相似的三角形共有(　　)

12、A．1個　　　　　　 B．2個 C．3個 D．4個 解析：根據(jù)相似三角形的判定定理可得： △OEF∽△OBC(∵EF∥BC)； △CHG∽△CBO(∵HG∥OB)； △OAD∽△OBC(∵AD∥BC)． 故與△BOC相似的三角形共有3個． 答案：C 2．下列判斷中，不正確的是(　　) A．兩直角邊分別是3.5,2和2.8,1.6的兩個直角三角形相似 B．斜邊和一直角邊長分別是2，4和，2的兩個直角三角形相似 C．兩條邊長分別是7,4和14,8的兩個直角三角形相似 D．兩個等腰直角三角形相似 解析：由直角三角形相似判定定理知A、B、D正確． 答案：C 3．如圖，

13、要使△ACD∽△BCA，下列各式中必須成立的是(　　) A.＝ B.＝ C．AC2＝CD·CB D．CD2＝AC·AB 解析：∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CD·CB時，才能使△ACD∽△BCA. 答案：C 4.如圖，在等邊三角形ABC中，E為AB中點，點D在AC上，使得＝，則有(　　) A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 解析：因為∠A＝∠C，＝＝2， 所以△AED∽△CBD. 答案：B 二、填空題 5．如圖，△ABC中，DE∥BC，GF∥AB，DE，GF交于點O，則圖中與△ABC相似的三角形共有__

14、______個，它們分別是____________________． 解析：與△ABC相似的有△GFC，△OGE，△ADE. 答案：3　△GFC，△OGE，△ADE 6．如圖所示，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，BC＝3，AC＝4，則AD＝________，BD＝________. 解析：由題設(shè)可求得AB＝5， ∵Rt△ABC∽Rt△ACD， ∴＝.∴AD＝＝. 又∵Rt△ABC∽Rt△CBD， ∴＝.∴BD＝＝. 答案：　 7．已知：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，AD的垂直平分線EF與AD交于點E，與BC的延長線交于點F，若CF＝4，BC＝5，則DF＝__

15、______. 解析：連接AF. ∵EF⊥AD，AE＝ED， ∴AF＝DF， ∠FAD＝∠FDA. 又∵∠FAD＝∠DAC＋∠CAF， ∠FDA＝∠BAD＋∠B， 且∠DAC＝∠BAD， ∴∠CAF＝∠B.而∠CFA＝∠AFB， ∴△AFC∽△BFA. ∴＝. ∴AF2＝CF·BF＝4×(4＋5)＝36. ∴AF＝6，即DF＝6. 答案：6 三、解答題 8．如圖，已知△ABC中，AB＝AC，D是AB的中點，E在AB的延長線上，且BE＝AB，求證：△ADC∽△ACE. 證明：∵D是AB的中點，∴＝. ∵AB＝AC，∴＝. ∵ BE＝AB，∴＝. 又AB＝

16、AC，∴＝. ∴＝. 又∠A為公共角，∴△ADC∽△ACE. 9.如圖，直線EF交AB、AC于點F、E，交BC的延長線于點D，AC⊥BC，且AB·CD＝DE·AC. 求證：AE·CE＝DE·EF. 證明：∵AB·CD＝DE·AC ∴＝. ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°. ∴△ACB∽△DCE. ∴∠A＝∠D. 又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC. ∴＝. ∴AE·CE＝DE·EF. 10．如圖所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AE是∠CAB的角平分線，CD與AE相交于點F，EG⊥AB于G.求證：EG2＝FD·EB.

17、證明：因為∠ACE＝90°，CD⊥AB， 所以∠CAE＋∠AEC＝90°，∠FAD＋∠AFD＝90°. 因為∠AFD＝∠CFE， 所以∠FAD＋∠CFE＝90°. 又因為∠CAE＝∠FAD， 所以∠AEC＝∠CFE. 所以CF＝CE. 因為AE是∠CAB的平分線，EG⊥AB，EC⊥AC， 所以EC＝EG，CF＝EG. 因為∠B＋∠CAB＝90°，∠ACF＋∠CAB＝90°， 所以∠ACF＝∠B.因為∠CAF＝∠BAE， 所以△AFC∽△AEB，＝. 因為CD⊥AB，EG⊥AB， 所以Rt△ADF∽Rt△AGE. 所以＝，＝. 所以CF·EG＝FD·EB，EG2＝F

18、D·EB. 2．相似三角形的性質(zhì) [對應(yīng)學(xué)生用書P11] 1．相似三角形的性質(zhì)定理 相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比． 相似三角形周長的比等于相似比． 相似三角形面積的比等于相似比的平方． 2．兩個相似三角形的外接圓的直徑比、周長比、面積比與相似比的關(guān)系 相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方． [說明]　相似三角形中的“對應(yīng)線段”不僅僅指對應(yīng)邊、對應(yīng)中線、角平分線和高，應(yīng)包括一切“對應(yīng)點”連接的線段；同時也可推演到對應(yīng)的內(nèi)切圓、外接圓的半徑． [對應(yīng)學(xué)生用書P11] 利用相似三角形性

19、質(zhì)計算 [例1]　已知如圖，△ABC中，CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，若S△ABC＝36 cm2，S△AEF＝4 cm2，求sin A的值． [思路點撥]　由題目條件證明△AEC∽△AFB，得AE∶AF＝AC∶AB，由此推知△AEF∽△ACB，進而求出線段EC與AC的比值． [解]　∵CE⊥AB于E，BF⊥AC于F， ∴∠AEC＝∠AFB＝90°. 又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△AFB. ∴＝. 又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB. ∴()2＝＝. ∴＝＝. 設(shè)AE＝k， 則AC＝3k， ∴EC＝2k. ∴sin A＝＝. 利用相似三角形的性質(zhì)進行有關(guān)的

20、計算往往與相似三角形對應(yīng)邊的比及對應(yīng)角相等有關(guān)，解決此類問題，要善于聯(lián)想，變換比例式，從而達到目的． 1．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點．AB＝8 cm，AC＝10 cm，若△ADE和△ABC相似，且S△ABC∶S△ADE＝4∶1，則AE＝________cm. 解析：因為△ADE∽△ABC，且S△ABC∶S△ADE＝4∶1，所以其相似比為2∶1，即＝或＝，所以AE＝5或4(cm)． 答案：5或4 2.如圖，在?ABCD中，AE∶EB＝2∶3. (1)求△AEF與△CDF周長的比； (2)若S△AEF＝8，求S△CDF. 解：(1)∵四邊形ABCD

21、是平行四邊形， ∴AB∥CD且AB＝CD.∵＝， ∴＝，即＝.∴＝. 又由AB∥CD知△AEF∽△CDF， ∴△AEF的周長∶△CDF的周長＝2∶5. (2)S△AEF∶S△CDF＝4∶25， 又S△AEF＝8，∴S△CDF＝50. 利用相似三角形的性質(zhì)解決實際問題 [例2]　如圖，一天早上，小張正向著教學(xué)樓AB走去，他發(fā)現(xiàn)教學(xué)樓后面有一水塔DC，可過了一會抬頭一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是納悶．經(jīng)過了解，教學(xué)樓、水塔的高分別是20米和30米，它們之間的距離為30米，小張身高為1.6米．小張要想看到水塔，他與教學(xué)樓之間的距離至少應(yīng)有多少米？ [思路點撥]　此題的

22、解法很多，其關(guān)鍵是添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的知識解題． [解]　如圖，設(shè)小張與教學(xué)樓的距離至少應(yīng)有x米，才能看到水塔． 連接FD，由題意知，點A在FD上，過F作FG⊥CD于G，交AB于H，則四邊形FEBH，四邊形BCGH都是矩形． ∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG. ∴AH∶DG＝FH∶FG. 即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)， 解得x＝55.2(米)． 故小張與教學(xué)樓的距離至少應(yīng)有55.2米，才能看到水塔． 此類問題是利用數(shù)學(xué)模型解實際問題，關(guān)鍵在于認真分析題意，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造相似三角形求解． 3.

23、如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝200 mm，高AD＝300 mm，要把它加工成長是寬的2倍的矩形零件，使矩形較短的邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB、AC上，求這個矩形零件的邊長． 解：設(shè)矩形EFGH為加工成的矩形零件，邊FG在BC上，則點E、H分別在AB、AC上，△ABC的高AD與邊EH相交于點P，設(shè)矩形的邊EH的長為x mm. 因為EH∥BC，所以△AEH∽△ABC. 所以＝. 所以＝， 解得x＝(mm)， 2x＝ (mm)． 答：加工成的矩形零件的邊長分別為 mm和 mm. 4．已知一個三角形的三邊長分別為3 cm,4 cm,5 cm，和它相似的另一個三角形

24、的最長邊為12 cm，求另一個三角形內(nèi)切圓和外接圓的面積． 解：設(shè)邊長為3 cm,4 cm,5 cm的三角形的內(nèi)切圓半徑為r，外接圓半徑為R，因為該三角形為直角三角形， 所以R＝，且(3＋4＋5)r＝×3×4，即r＝1. ∴S內(nèi)切圓＝π(cm2)，S外接圓＝π·()2＝(cm2)． 又兩三角形的相似比為， ∴S′內(nèi)切圓＝()2S內(nèi)切圓＝(cm2)， S′外接圓＝()2S外接圓＝36π(cm2)． [對應(yīng)學(xué)生用書P12] 一、選擇題 1．如圖，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4 cm，則DB等于(　　) A．2 cm　　　　　　 B．6

25、cm C．4 cm D．8 cm 解析：由DE∥BC， 得△ADE∽△ABC， ∴＝. ∴＝＝. ∴DB＝4×2＝8(cm)． 答案：D 2．如果兩個相似三角形對應(yīng)邊上的中線之比為3∶4，周長之和是35，那么這兩個三角形的周長分別是(　　) A．13和22 B．14和21 C．15和20 D．16和19 解析：由相似三角形周長之比，中線之比均等于相似比可得． ∴周長之比＝.又l1＋l2＝35， ∴l(xiāng)1＝15，l2＝20，即兩個三角形的周長分別為15,20. 答案：C 3．如圖所示，在?ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中點，在AB上取一點F，

26、使△CBF∽△CDE，則BF的長是(　　) A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8 解析：∵△CBF∽△CDE，∴＝. ∴BF＝＝＝1.8. 答案：D 4．如圖，是一個簡單的幻燈機，幻燈片與屏幕平行，光源到幻燈片的距離是30 cm，幻燈片到屏幕的距離是1.5 m，幻燈片上小樹的高度是10 cm，則屏幕上小樹的高度是(　　) A．50 cm B．500 cm C．60 cm D．600 cm 解析：圖中的兩個三角形相似．設(shè)屏幕上小樹的高度為x cm，根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比，得＝，解得x＝60 cm. 答案：C 二、填空題 5．在比例尺為

27、1∶500的地圖上，測得一塊三角形土地的周長為12 cm，面積為6 cm2，則這塊土地的實際周長是________m，實際面積是________m2. 解析：這塊土地的實際形狀與地圖上的形狀是兩個相似三角形，由比例尺可知，它們的相似比為，則實際周長是12×500＝6 000(cm)＝60 m；實際面積是6×5002＝1 500 000(cm2)＝150 m2. 答案：60　150 6．如圖，在△ABC中，D為AC邊上的中點，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延長線于F，若BG∶GA＝3∶1，BC＝10，則AE的長為________． 解析：∵AE∥BC，∴△BGF∽△AGE. ∴BF

28、∶AE＝BG∶GA＝3∶1. ∵D為AC中點，∴＝＝1. ∴AE＝CF. ∴BC∶AE＝2∶1.∵BC＝10，∴AE＝5. 答案：5 7．如圖所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD＝40 cm2.S△ABE∶S△DBA＝1∶5，則AE的長為________． 解析：因為∠BAD＝90°，AE⊥BD， 所以△ABE∽△DBA. 所以S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2. 因為S△ABE∶S△DBA＝1∶5， 所以AB∶DB＝1∶. 設(shè)AB＝k cm，DB＝k cm， 則AD＝2k cm. 因為S矩形ABCD＝40 cm2， 所以k·2k＝40，所以k

29、＝2(cm)． 所以BD＝k＝10 (cm)．AD＝4(cm)． 又因為S△ABD＝BD·AE＝20， 所以·10·AE＝20. 所以AE＝4(cm)． 答案：4 cm 三、解答題 8．如圖，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為AB中點，E是AC上的點，BE、CD交于M.若AC＝3AE，求∠EMC的度數(shù)． 解：如圖，作EF⊥BC于F， 設(shè)AB＝AC＝3， 則AD＝，BC＝3， CE＝2，EF＝FC＝. ∴BF＝BC－FC＝2. ∴EF∶BF＝∶2＝1∶2＝AD∶AC. ∴△FEB∽△ADC.∴∠2＝∠1. ∵∠EMC＝∠2＋∠MCB， ∴∠EMC＝∠1

30、＋∠MCB＝∠ACB＝45°. 9.如圖，?ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F，DE＝CD. (1)求證：△ABF∽△CEB； (2)若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積． 解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD. ∴∠ABF＝∠E. ∴△ABF∽△CEB. (2)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF. ∵DE＝CD， ∴＝()2＝， ＝()2＝. ∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8， ∴S四邊形BCDF＝S△BCE－S△DE

31、F＝16. ∴S?ABCD＝S四邊形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24. 10．如圖所示，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2 cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向點A以1 cm/s的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t秒表示移動的時間(0≤t≤6)，那么： (1)當t為何值時，△QAP為等腰直角三角形？ (2)對四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結(jié)果無關(guān)的結(jié)論． (3)當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？ 解：(1)由題意可知：AQ＝6－t(cm)，AP＝2t(cm)． 若△QAP為等腰直角三角形， 則AQ＝AP，即t＝2(s)． (2)S四邊形QAPC＝S矩形ABCD－S△DQC－S△PBC ＝12×6－×12×t－×6×(12－2t) ＝72－6t－36＋6t＝36(cm2)， 結(jié)論：無論P、Q運動到何處， S四邊形QAPC都不變，為36 cm2. (3)①△QAP∽△ABC， ∴＝.∴＝. ∴t＝1.2 s. ②△QAP∽△CBA， ∴＝.∴＝.∴t＝3 s. 即t為1.2 s或3 s時， 以Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似． 18