《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1 函數(shù)的概念及其表示 3.1.1 函數(shù)的概念教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1 函數(shù)的概念及其表示 3.1.1 函數(shù)的概念教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、3.1.1 函數(shù)的概念
(教師獨(dú)具內(nèi)容)
課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型.2.在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的符號(hào)語言來刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.3.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，能求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域．
教學(xué)重點(diǎn)：1.理解函數(shù)的定義，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域.2.明確函數(shù)的兩個(gè)要素，了解同一個(gè)函數(shù)的定義，會(huì)判定兩個(gè)給定的函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)．
教學(xué)難點(diǎn)：1.對(duì)應(yīng)關(guān)系f的正確理解，函數(shù)符號(hào)y＝f(x)的理解.2.抽象函數(shù)的定義域.3.一些簡(jiǎn)單函數(shù)值域的求法.
【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】
知識(shí)點(diǎn)一 函數(shù)的概念
一般地，設(shè)A，
2、B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．顯然，值域是集合B的子集．
注意：(1)兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集間的對(duì)應(yīng)能否構(gòu)成函數(shù)，主要看是否滿足三性：任意性、存在性、唯一性．這是因?yàn)楹瘮?shù)概念中明確要求對(duì)于非空實(shí)數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)元素x，在非空實(shí)數(shù)集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對(duì)應(yīng)．這三性只要有一個(gè)不滿足便
3、不能構(gòu)成函數(shù)．
(2)集合A是函數(shù)的定義域，因?yàn)榻o定A中每一個(gè)x值都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)；集合B不一定是函數(shù)的值域，因?yàn)锽中的元素可以在A中沒有與之對(duì)應(yīng)的x，也就是說，B中的某些元素可以不是函數(shù)值，即{f(x)|x∈A}?B.
(3)在函數(shù)定義中，我們用符號(hào)y＝f(x)表示函數(shù)，其中f(x)表示“x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值”，而不是“f乘x”．
知識(shí)點(diǎn)二 函數(shù)的兩要素
從函數(shù)的定義可以看出，函數(shù)有三個(gè)要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域，由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以確定一個(gè)函數(shù)只需要兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系．即要檢驗(yàn)給定的兩個(gè)變量(變量均為數(shù)值)之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只要檢驗(yàn)：
(1)
4、定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否給出；
(2)根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自變量x在其定義域中的每一個(gè)值是否都有唯一的函數(shù)值y和它對(duì)應(yīng)．
知識(shí)點(diǎn)三 區(qū)間的概念
(1)設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a
5、．
我們可以把滿足x≥a，x>a，x≤b，x
6、知拓展】
(1)函數(shù)符號(hào)“y＝f(x)”是數(shù)學(xué)中抽象符號(hào)之一，“y＝f(x)”僅為y是x的函數(shù)的數(shù)學(xué)表示，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖表或圖象．
(2)函數(shù)的概念中強(qiáng)調(diào)“三性”：任意性、存在性、唯一性，這是因?yàn)楹瘮?shù)定義中明確要求是對(duì)于非空實(shí)數(shù)集A中的任意一個(gè)(任意性)數(shù)x，在非空實(shí)數(shù)集B中都有(存在性)唯一確定(唯一性)的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，這“三性”只要有一個(gè)不滿足，便不能構(gòu)成函數(shù)．
1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)函數(shù)值域中的每一個(gè)數(shù)都有定義域中的數(shù)與之對(duì)應(yīng)．( )
(2)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合．( )
(3)定
7、義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也就確定了．( )
(4)若函數(shù)的定義域中只有一個(gè)元素，則值域中也只有一個(gè)元素．( )
(5)對(duì)于定義在集合A到集合B上的函數(shù)y＝f(x)，x1，x2∈A，若x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)．( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)×
2．做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)
(1)下列給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，不能確定從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是________．
①A＝{1,4}，B＝{－1,1，－2,2}，對(duì)應(yīng)關(guān)系：開平方；
②A＝{0,1,2}，B＝{1,2}，對(duì)應(yīng)關(guān)系：
③A＝[0,2]，B＝[0,1]，對(duì)應(yīng)關(guān)系
8、：
(2)下列函數(shù)中，與函數(shù)y＝x是同一個(gè)函數(shù)的是________．
①y＝；②y＝；③y＝()2；④s＝t.
答案 (1)①③ (2)②④
題型一 求函數(shù)的定義域
例1 求下列函數(shù)的定義域：
(1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝；(3)y＝＋；(4)y＝；(5)y＝(1－2x)0.
[解] (1)函數(shù)y＝2x＋3的定義域?yàn)閧x|x∈R}．
(2)要使函數(shù)式有意義，即分式有意義，則x＋1≠0，x≠－1.故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠－1}．
(3)要使函數(shù)式有意義，則即所以x＝1，從而函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＝1}．
(4)因?yàn)楫?dāng)x2－
9、1≠0，即x≠±1時(shí)，有意義，所以函數(shù)的定義域是{x|x≠±1}．
(5)∵1－2x≠0，即x≠，
∴函數(shù)的定義域?yàn)閤≠}.
例2 已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1,4]，求函數(shù)f(2x＋1)的定義域．
[解] 已知函數(shù)f(x)的定義域是[－1,4]，即－1≤x≤4.
故對(duì)于f(2x＋1)應(yīng)有－1≤2x＋1≤4.
∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤，
∴函數(shù)f(2x＋1)的定義域是.
例3 如圖所示，用長(zhǎng)為1 m的鐵絲做一個(gè)下部為矩形、上部為半圓形的框架(鐵絲恰好用完)，若半圓的半徑為x(單位：m)，求此框架圍成的面積y(單位：m2)與x的函數(shù)關(guān)系式．
[解] 由題意可得
10、，AB＝2x，的長(zhǎng)為πx，
于是AD＝，
∴y＝2x·＋，即y＝－x2＋x.
由得0
11、義域：
①若f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則f[g(x)]中，g(x)∈[a，b]，從中解得x的解集即f[g(x)]的定義域．
②若f[g(x)]的定義域?yàn)閇m，n]，則由x∈[m，n]可確定g(x)的范圍，設(shè)u＝g(x)，則f[g(x)]＝f(u)，又f(u)與f(x)是同一個(gè)函數(shù)，所以g(x)的范圍即f(x)的定義域．
③已知f[φ(x)]的定義域，求f[h(x)]的定義域，先由f[φ(x)]中x的取值范圍，求出φ(x)的取值范圍，即f(x)中的x的取值范圍，即h(x)的取值范圍，再根據(jù)h(x)的取值范圍便可以求出f[h(x)]中x的取值范圍．
(6)實(shí)際問題：若y＝f(x)是由實(shí)
12、際問題確定的，其定義域要受實(shí)際問題的約束．如：例3中，任何一條線段的長(zhǎng)均大于零．
(1)若函數(shù)f(x＋1)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)f(x－1)的定義域?yàn)開_______；
(2)求下列函數(shù)的定義域：
①y＝－；②y＝；
(3)①求函數(shù)y＝＋－的定義域；
②將長(zhǎng)為a m的鐵絲折成矩形(鐵絲恰好用完)，求矩形的面積y(單位：m2)關(guān)于一邊長(zhǎng)x(單位：m)的解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．
答案 (1) (2)見解析 (3)見解析
解析 (1)由題意知，－≤x≤2，則≤x＋1≤3，
即f(x)的定義域?yàn)?，∴≤x－1≤3，
解得≤x≤4.∴f(x－1)的定義域?yàn)?
(2)①要使函數(shù)有意義
13、，自變量x的取值必須滿足即
∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤1，且x≠－1}．
②要使函數(shù)有意義，需滿足|x|－x≠0，即|x|≠x，
∴x<0.
∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x<0}．
(3)①解不等式組得
故函數(shù)的定義域是{x|1≤x≤5，且x≠3}．
②因?yàn)榫匦蔚囊贿呴L(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為(a－2x)，
所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，
定義域?yàn)?
題型二 已知函數(shù)值求自變量的值
例4 已知函數(shù)f(x)＝2x2－4，x∈R，若f(x0)＝2，求x0的值．
[解] 易知f(x0)＝2x－4，
∴2x－4＝2，即x＝3.
又∵x0∈R，∴x0＝±.
金版點(diǎn)睛
就本
14、例而言，已知函數(shù)值求自變量的值就是解方程，需要注意：所求的自變量的值必須在函數(shù)的定義域內(nèi)．如果本例中加一個(gè)條件“x∈[0，＋∞)”，則x0＝(－不符合題意，舍去)．
已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，x∈(－∞，0)，若f(x0)＝3.求x0的值．
解 由題意可得f(x0)＝x－2x0.
∴x－2x0＝3，即x－2x0－3＝0.
解得x0＝3或x0＝－1.
又∵x0∈(－∞，0)，∴x0＝－1.
題型三 已知自變量的值求函數(shù)值
例5 已知f(x)＝x2，x∈R，求：
(1)f(0)，f(1)；
(2)f(a)，f(a＋1)．
[解] (1)f(0)＝02＝0，f(1)＝
15、12＝1.
(2)∵a∈R，a＋1∈R，
∴f(a)＝a2，f(a＋1)＝(a＋1)2.
金版點(diǎn)睛
對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都可以求函數(shù)值(當(dāng)然函數(shù)值唯一)，本例可以直接應(yīng)用公式：f(x)＝x2求解，實(shí)質(zhì)上就是求代數(shù)式的值，例如f(1)就是當(dāng)x＝1時(shí)，代數(shù)式x2的值，而f(a＋1)就是當(dāng)x＝a＋1時(shí)，代數(shù)式x2的值．
已知f(x)＝＋，求：
(1)f(2)；
(2)當(dāng)a>0時(shí)，f(a＋1)的值．
解 (1)f(2)＝＋.
(2)易知f(x)的定義域A＝[0，＋∞)，
∵a>0，∴a＋1>1，則a＋1∈A，
∴f(a＋1)＝＋.
題型四 求函數(shù)的值域
例6 求下
16、列函數(shù)的值域：
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(3)y＝；
(4)y＝2x－.
[解] (1)(觀察法)因?yàn)閤∈{1,2,3,4,5}，分別代入求值，可得函數(shù)的值域?yàn)閧2,3,4,5,6}．
(2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)閇2,6)．
(3)(分離常數(shù)法)y＝＝＝2＋，
顯然≠0，所以y≠2.
故函數(shù)的值域?yàn)?－∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)(換元法)設(shè)t＝，則x＝t2＋1，且t≥0，
所以y＝2(t2＋1)－t
＝
17、22＋，
由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象(如右圖)，可得函數(shù)的值域?yàn)?
金版點(diǎn)睛
求函數(shù)值域的原則及常用方法
(1)原則：①先確定相應(yīng)的定義域；②再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運(yùn)算法則確定其值域．
(2)常用方法
①觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察法得到．
②配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法．
③換元法：運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對(duì)于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d為常數(shù)，且ac≠0)型的函數(shù)常用換元法．
④分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域．
求下列
18、函數(shù)的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(3)y＝x＋.
解 (1)∵y＝＝＝1－，且≠0，
∴函數(shù)y＝的值域?yàn)閧y|y≠1}．
(2)配方，得y＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5)，
∴結(jié)合函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)閧y|2≤y<11}．
(3)(換元法)設(shè)t＝，則x＝t2－1，且t≥0，
所以y＝t2＋t－1＝2－，
由t≥0，再結(jié)合函數(shù)的圖象可得函數(shù)的值域?yàn)閇－1，＋∞).
題型五 相同函數(shù)的判斷
例7 下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是( )
A．f(x)＝x，g(x)＝()2
B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1
19、
C．f(x)＝1，g(x)＝
D．f(x)＝x，g(x)＝|x|
[解析] A項(xiàng)中，由于f(x)＝x的定義域?yàn)镽，g(x)＝()2的定義域?yàn)閧x|x≥0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù)．
B項(xiàng)中，函數(shù)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，所以它們是同一函數(shù)．
C項(xiàng)中，由于f(x)＝1的定義域?yàn)镽，g(x)＝的定義域?yàn)閧x|x≠0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù)．
D項(xiàng)中，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以它們不是同一函數(shù)．
[答案] B
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判斷兩個(gè)函數(shù)為同一函數(shù)的條件
(1)判斷兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同．
20、定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中只要有一個(gè)不相同就不是相同函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是相同函數(shù)．
(2)函數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．另外，在化簡(jiǎn)解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形．
下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)y＝x相同？
(1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝.
解 (1)y＝()2＝x(x≥0)，y≥0，定義域不同且值域不同，所以不相同．
(2)y＝＝x(x∈R)，y∈R，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，定義域和值域都相同，所以相同．
(3)y＝＝|x|＝y(tǒng)≥0；值域不同，且當(dāng)x<0時(shí)，它的對(duì)應(yīng)關(guān)系與函數(shù)y＝x不相同，所以不相同．
(4)y
21、＝的定義域?yàn)閧x|x≠0}，與函數(shù)y＝x的定義域不相同，所以不相同．
1．下列各圖中，可能是函數(shù)y＝f(x)的圖象的是( )
答案 D
解析 A，B中的圖象與y軸有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)y值與x＝0對(duì)應(yīng)，所以A，B不可能是函數(shù)y＝f(x)的圖象；對(duì)于C中圖象，過x＝1作與x軸垂直的直線，與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以C不可能是函數(shù)y＝f(x)的圖象．故選D.
2．函數(shù)f(x)＝x＋的定義域是( )
A．{x|x≥2} B．{x|x>2}
C．{x|x≤2} D．{x|x<2}
答案 C
解析 要使函數(shù)式有意義，則2－x≥0，即x≤2.所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤2}．
3
22、．已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,0)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)? )
A．(－1,1) B.
C．(－1,0) D.
答案 B
解析 ∵原函數(shù)的定義域?yàn)?－1,0)，
∴－1<2x＋1<0，解得－1
2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1 函數(shù)的概念及其表示 3.1.1 函數(shù)的概念教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)
