《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算學(xué)案 新人教B版第三冊》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算學(xué)案 新人教B版第三冊(9頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、8.1.3 向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1.通過平面向量基本定理領(lǐng)會向量的坐標(biāo)表示.(難點)
2.能利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行計算.(重點)
1.通過平面向量基本定理掌握下列的坐標(biāo)表示,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
2.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行數(shù)量積運算,提升數(shù)學(xué)運算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).
1.向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式
設(shè)平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),
(1)數(shù)量積公式:a·b=x1x2+y1y2.
(2)向量垂直公式:a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
思考1:平面向量的坐標(biāo):在平面直角坐標(biāo)系中,分別給定與x軸、
2、y軸正方向相同的單位向量e1,e2,如果對于平面向量a,有a=xe1+ye2,則向量a的坐標(biāo)為______,記作______,
[提示](x,y) a=(x,y).
2.三個重要公式
(1)向量的模:a2=x+y?|a|=.
(2)兩點間的距離公式:設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),則
||=.
思考2:(1)若點A(-3,0), B(3,0),則||=______.
(2)若點A(-3,3), B(3,-5),則||=______.
[提示](1)6(2)10
(3)向量的夾角公式:
cos 〈a,b〉==.
1.已知a=(1,-1),b=(2,3),則a·b
3、=( )
A.5 B.4
C.-2 D.-1
D [a·b=(1,-1)·(2,3)=1×2+(-1)×3=-1.]
2.(2019·全國卷Ⅱ)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=( )
A. B.2
C.5 D.50
A [∵a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),
∴|a-b|== .故選A.]
3.(2019·全國卷Ⅲ)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos 〈a,b〉=________.
- [∵a=(2,2),b=(-8,6),∴a·b=2×(-8)+2×6=-4,
|a|==2 ,|b|==
4、10.
∴cos 〈a,b〉===- .]
4.已知a=(3,x),|a|=5,則x=________.
±4 [|a|==5,∴x2=16.即x=±4.]
利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式計算
【例1】(1)已知向量a=(2,3),b=(-2,4),c=(-1,2),則a·(b+c)=________.
(2)已知向量a=(1,3),b=(2,5),求a·b,|3a-b|,(a+b)·(2a-b).
[思路探究](1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算公式進(jìn)行計算.
(2)利用平面向量的數(shù)量積公式、模的坐標(biāo)公式計算.
(1)12 [∵b=(-2,4),c=(-1,2),
∴b+
5、c=(-2,4)+(-1,2)=(-3,6).又∵a=(2,3),
∴a·(b+c)=(2,3)·(-3,6)=2×(-3)+3×6=-6+18=12.]
(2)[解] a·b=1×2+3×5=17.
因為3a=3(1,3)=(3,9),b=(2,5),
所以3a-b=(1,4),
所以|3a-b|==.
因為a+b=(3,8),2a=(2,6),
所以2a-b=(2,6)-(2,5)=(0,1),
所以(a+b)·(2a-b)=3×0+8×1=8.
1.數(shù)量積坐標(biāo)運算的技巧
(1)進(jìn)行數(shù)量積運算時,要正確使用公式a·b=x1x2+y1y2,并能靈活運用以下幾個關(guān)系:
6、
|a|2=a·a,(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2.
(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2.
(2)利用數(shù)量積的條件求平面向量的坐標(biāo),一般來說應(yīng)當(dāng)先設(shè)出向量的坐標(biāo),然后根據(jù)題目中已知的條件找出向量坐標(biāo)滿足的等量關(guān)系,利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算列出方程(組)進(jìn)行求解.
2.求向量的模的兩種基本策略
(1)字母表示下的運算.
利用|a|2=a2,將向量的模的運算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題.
(2)坐標(biāo)表示下的運算.
若a=(x,y),則a·a=a2=|a|2=x2+y2,
于是有|a|=.
1.已知O為坐標(biāo)原點,點A(1,0),B(0,2),若OC⊥AB于
7、點C,則·(+)=________.
[設(shè)點C的坐標(biāo)為(x,y),由A(1,0),B(0,2),得=(-1,2),=(x-1,y),
因為OC⊥AB于點C,∴,
即,解得,
∴=,+=(1,2),所以·(+)=.]
2.已知向量a=(,-1)和b=(1,),若a·c=b·c,試求模為的向量c的坐標(biāo).
[解] 法一:設(shè)c=(x,y),
則a·c=(,-1)·(x,y)=x-y,b·c=(1,)·(x,y)=x+y,
由a·c=b·c及|c|=,
得
解得或
所以c=或c=.
法二:由于a·b=×1+(-1)×=0,且|a|=|b|=2,從而以a,b為鄰邊的平行四邊形是正
8、方形,且由于a·c=b·c,所以c與a,b的夾角相等,從而c與正方形的對角線共線.此外,由于|c|=,即其長度為正方形對角線長度(|b|=2)的一半,故c=(a+b)
=或c=-(a+b)
=.
向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式與夾角問題
【例2】(1)已知向量a=(1,2),b=(2,x),若a與b垂直,則實數(shù)x的值是( )
A.4 B.-4 C.1 D.-1
(2)已知平面向量a=(1,3),b=(2,λ),設(shè)a與b的夾角為θ.
①若θ=120 °,求λ的值.
②要使θ為銳角,求λ的取值范圍.
[思路探究](1)根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)關(guān)系求解.
(2)①由θ
9、=120 °求cos θ=,建立方程求λ的值.
②要使θ為銳角,則cos θ>0,且a與b不能共線,建立不等式求λ的取值范圍.
(1)D [因為a=(1,2),b=(2,x),a與b垂直,所以a·b=0,即1×2+2x=0,解得x=-1.故選D.]
(2)[解]?、儆捎赼=(1,3),b=(2,λ),則
a·b=2+3λ,當(dāng)θ=120 °時,cos 120 °==-,
得=-,平方整理得13λ2+24λ-12=0,
解得λ=,由于a·b=2+3λ<0,所以λ<-,得λ=.
②由θ為銳角,得cos θ>0,且cos θ≠1,∵a·b=|a||b|·cos θ>0,
∴a·b
10、>0,即1×2+3λ>0,解得λ>-.若a∥b,則1×λ-2×3=0,即λ=6.
但若a∥b,則θ=0或θ=π,這與θ為銳角相矛盾,所以λ≠6.綜上所述,λ>-且λ≠6.
利用向量法求夾角的方法技巧
(1)若求向量a與b的夾角,利用公式cos 〈a,b〉==,當(dāng)向量的夾角為特殊角時,再求出這個角.
(2)非零向量a與b的夾角θ與向量的數(shù)量積的關(guān)系:
(1)若θ為直角,則充要條件為向量a⊥b,則轉(zhuǎn)化為a·b=0?x1x2+y1y2=0.
(2)若θ為銳角,則充要條件為a·b>0,且a與b的夾角不能為0(即a與b的方向不能相同).
(3)若θ為鈍角,則充要條件為a·b<0,且a與
11、b的夾角不能為π(即a與b的方向不能相反).
3.已知a=(sin α,cos α),|b|=2.
(1)若向量b在a方向上的投影為-1,求a·b及a與b的夾角θ.
(2)若a+b與b垂直,求|2a-b|.
[解](1)由向量數(shù)量積的幾何意義知,a·b等于|a|與b在a方向上的投影的乘積,
∴a·b=1·(-1)=-1.
設(shè)a與b的夾角θ,θ∈[0,π],
則cos θ===-,∴θ=.
(2)若a+b與b垂直,∴(a+b)·b=a·b+b2=0,∴a·b=-4,
∴|2a-b|==
==2.
向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式的綜合問題
【例3】 在邊長為1的正方形
12、ABCD中,M為BC的中點,點E在線段AB上運動.
(1)求證:·為定值;
(2)求·的最大值.
[思路探究](1)利用向量的投影證明,也可以建立平面直角坐標(biāo)系,利用向量的坐標(biāo)計算數(shù)量積.
(2)利用向量的投影轉(zhuǎn)化為平面幾何性質(zhì)求最大值,也可以建立平面直角坐標(biāo)系,利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式,建立函數(shù)求最大值.
[解] 法一:(幾何法)(1)在邊長為1的正方形ABCD中,
·=·=||||cos ∠ BCE=||2=1(定值).
(2)如圖,作CN⊥EM,垂足為N,則
△EBM∽△CNM,得=,
所以EM·MN=CM·MB=,
所以·=||||cos ∠ CEN=||(||cos
13、∠ CEN)=||||=||(||+||)=||2+||||=||2+≤ ||2+=1++=,
所以當(dāng)點E在點A時,·取得最大值.
法二:(坐標(biāo)法)以點A為坐標(biāo)原點,AB,AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),C(1,1),D(0,1),設(shè)E(x,0),x∈[0,1],
(1)·=(1-x,1)·(0,1)=1(定值).
(2)由上述可知,C(1,1),M,
設(shè)E(x,0),x∈[0,1],
則·=(1-x,1)·=(1-x)2+,
當(dāng)x∈[0,1]時,(1-x)2+單調(diào)遞減,
當(dāng)x=0時,·取得最大值.
解決向量數(shù)量積的最值的方法技巧
14、(1)“圖形化”技巧:利用平面向量線性運算以及數(shù)量積運算的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題,然后根據(jù)平面圖形的直觀特征進(jìn)行判斷.
(2)“代數(shù)化”技巧:若已知條件中具有等腰三角形或矩形,常常建立平面直角坐標(biāo)系,通過坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)解決最值或取值范圍.
4.(2017·全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則·(+)的最小值是( )
A.-2 B.-
C.- D.-1
B [如圖,以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸,以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,),B(-1,0),C(1,0),設(shè)P
15、(x,y),則=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),
所以·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)
=2x2+2-,
當(dāng)x=0,y=時,·(+)取得最小值為-,選B.]
5.在矩形ABCD中, AB=3,AD=1,若M,N分別在邊BC,CD上運動(包括端點),且滿足=,則·的取值范圍是________.
[1,9] [分別以AB,AD為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,
則A(0,0),B(3,0),C(3,1),D(0,1),
設(shè)M(3,b),N(x,1),因為=,
所以b=,則=(x,1),=,
故·=x+1(0≤x≤3),
所以1≤x+1≤9,所以·
16、的取值范圍是[1,9].
]
1.利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求兩向量夾角的步驟
(1)求向量的數(shù)量積.利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出這兩個向量的數(shù)量積.
(2)求模.利用|a|= 計算兩向量的模.
(3)求夾角余弦值.由公式cos θ=求夾角余弦值.
(4)求角.由向量夾角的范圍及cos θ求θ的值.
2.知識導(dǎo)圖
1.已知a=(1,2),b=(-3,2),則a·b=( )
A.1 B.2
C.3 D.4
A [因為a=(1,2),b=(-3,2),
所以a·b=1×(-3)+2×2=1.]
2.已知a=(1,2),b=(6,-3),則必
17、有( )
A.a(chǎn)∥b B.b=3a
C.a(chǎn)⊥b D.b=-3a
C [由a=(1,2),b=(6,-3),得1×6+2×(-3)=0?a⊥b.]
3.已知向量a=(2,2),b=(0,-3),則a與b的夾角為( )
A.45° B.60°
C.120° D.135°
D [因為向量a=(2,2),b=(0,-3),則a·b=-6,|a|=2,|b|=3,則cos 〈a,b〉==-,又0°≤〈a,b〉≤180°,所以a與b的夾角為135°.]
4.(2019·揚州高一檢測)已知向量 a=(1,-1),向量b=(-1,2),則(2a+b)·a=________.
1 [由向量a=(1,-1),b=(-1,2),
得2a+b=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.]
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