2019版高考數(shù)學一輪復習 第七章 立體幾何 第41講 直線、平面平行的判定及其性質學案
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1、 第41講 直線、平面平行的判定及其性質 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點,認識和理解空間中線面平行的有關性質與判定定理. 2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的平行關系的簡單命題. 2017·江蘇卷,15 2016·全國卷Ⅱ,14 2016·四川卷,18 與直線、平面平行有關的命題判斷;線線平行的證明;線面平行的證明;面面平行的證明;由線面平行或面面平行探求動點的位置. 分值:4~6分 1.直線與平面平行的判定定理和性質定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 平面外一條直線與__此
2、平面內(nèi)__的一條直線平行,則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行) __l∥a__,__a?α__, __l?α__?l∥α 性質定理 一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的__交線__與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”) __l∥α__,__l?β__, __α∩β=b__?l∥b 2.平面與平面平行的判定定理和性質定理 文字語言 圖形語言 符號語言 判定定理 一個平面內(nèi)的兩條__相交直線__與另一個平面平行,則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”) __a∥β__,__b∥β__, __a∩b=P__,__a?
3、α,__ __b?α__?α∥β 性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面__相交__,那么它們的__交線__平行 __α∥β__,__α∩γ=a__, __β∩γ=b__?a∥b 1.思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”). (1)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.( × ) (2)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.( √ ) (3)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a∥α.( × ) (4)平行于同一平面的兩條直線平行.( × ) (5)若α∥β,且直線a∥α,則直線a∥β.( × ) 解析 (1)錯
4、誤.當這兩條直線為相交直線時,才能保證這兩個平面平行. (2)正確.如果兩個平面平行,則在這兩個平面內(nèi)的直線沒有公共點,則它們平行或異面. (3)錯誤.若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a∥α或a?α. (4)錯誤.兩條直線平行或相交或異面. (5)錯誤.直線a∥β或直線a?β. 2.下列條件中,能作為兩平面平行的充分條件的是( D ) A.一個平面內(nèi)的一條直線平行于另一個平面 B.一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面 C.一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面 D.一個平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個平面 解析 由面面平行的定義可知,一平面內(nèi)所有的直線都平行于另一個平面
5、時,兩平面才能平行,故D正確. 3.(2016·全國卷Ⅰ)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為( A ) A. B. C. D. 解析 如圖,延長B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延長D1A1至A3,使A3A1=D1A1,連接AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易證AA2∥A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C. ∴平面AA2A3∥平面CB1D1,即平面AA2A3為平面α. 于是m∥A2A3,直線AA2即為直線n.顯然有AA2=AA3=A2A3,于是m
6、,n所成的角為60°,其正弦值為.選A. 4.已知直線a,b,平面α,則以下三個命題: ①若a∥b,b?α,則a∥α; ②若a∥b,a∥α,則b∥α; ③若a∥α,b∥α,則a∥b. 其中真命題的個數(shù)是( A ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 對于命題①,若a∥b,b?α,則應有a∥α或a?α, 所以①不正確; 對于命題②,若a∥b,a∥α,則應有b∥α或b?α, 因此②也不正確; 對于命題③,若a∥α,b∥α,則應有a∥b或a與b相交或a與b異面, 因此③也不正確. 5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中點,則BD1與平面AC
7、E的位置關系為__平行__. 解析 如圖.連接AC,BD交于O點,連接OE,因為OE∥BD1,而OE?平面ACE,BD1?平面ACE,所以BD1∥平面ACE. 一 直線與平面平行的判定與性質 判斷或證明線面平行的常用方法 (1)利用線面平行的定義(無公共點). (2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α). (3)利用面面平行的性質定理(α∥β,a?α?a∥β). (4)利用面面平行的性質(α∥β,a?α,a?β,a∥α?a∥β). 【例1】 (2017·江蘇卷)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點E,
8、F(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求證:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 解析 (1)在平面ABD內(nèi),因為AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB. 又因為EF?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF∥平面ABC. (2)因為平面ABD⊥平面BCD,平面ADB∩平面BCD=BD, BC?平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD. 因為AD?平面ADB,所以BC⊥AD. 又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC, 所以AD⊥平面ABC. 又因為AC?平面ABC,所以AD⊥AC. 二 平面與平面平行的判定
9、與性質 判定面面平行的四種方法 (1)利用定義,即證兩個平面沒有公共點(不常用). (2)利用面面平行的判定定理(主要方法). (3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用). (4)利用平面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行(客觀題可用). 【例2】 如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F(xiàn),G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點,求證: (1)B,C,H,G四點共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG. 證明 (1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點, ∴GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1.
10、又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點共面. (2)∵E,F(xiàn)分別是AB,AC的中點,∴EF∥BC. ∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG. ∵A1GEB,∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG, ∴A1E∥平面BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG. 三 空間平行關系的探索性問題 解決探究性問題一般先假設求解的結果存在,從這個結果出發(fā),尋找使這個結論成立的充分條件,如果找到了使結論成立的充分條件,則存在;如果找不到使結論成立的充分條件(出現(xiàn)矛盾),則不存在.
11、而對于探求點的問題,一般是先探求點的位置,多為線段的中點或某個等分點,然后給出符合要求的證明. 【例3】 如圖所示,四邊形ABCD為矩形,DA⊥平面ABE, AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE于點F,且點F在線段CE上. (1)求證:AE⊥BE; (2)設點M在線段AB上,且滿足AM=2MB,試在線段CE上確定一點N,使得MN∥平面ADE. 解析 (1)證明:由DA⊥平面ABE及AD∥BC, 得BC⊥平面ABE,又AE?平面ABE,所以AE⊥BC, 因為BF⊥平面ACE,AE?平面ACE,所以BF⊥AE, 又BC∩BF=B,BC,BF?平面BCE,所以AE⊥平面BCE.
12、 因為BE?平面BCE,故AE⊥BE. (2)在△ABE中,過點M作MG∥AE交BE于點G, 在△BEC中,過點G作GN∥BC交CE于點N,連接MN, 則由===,得CN=CE. 因為MG∥AE,AE?平面ADE, MG?平面ADE,所以MG∥平面ADE, 又GN∥BC,BC∥AD,AD?平面ADE,GN?平面ADE, 所以GN∥平面ADE, 又MG∩GN=G,所以平面MGN∥平面ADE, 因為MN?平面MGN,所以MN∥平面ADE. 故當點N為線段CE上靠近C的一個三等分點時,MN∥平面ADE. 1.有下列命題: ①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則直線l
13、∥α; ②若直線a在平面α外,則a∥α; ③若直線a∥b,b∥α,則a∥α; ④若直線a∥b,b∥α,則a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線. 其中真命題的個數(shù)是( A ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 命題①,l可以在平面α內(nèi),不正確;命題②,直線a與平面α可以是相交關系,不正確;命題③,a可以在平面α內(nèi),不正確;命題④正確. 2.已知m,n是兩條直線,α,β是兩個平面,給出下列命題: ①若n⊥α,n⊥β,則α∥β; ②若平面α上有不共線的三點到平面β的距離相等,則α∥β; ③若m,n為異面直線,n?α,n∥β,m?β,m∥α,則α∥β. 其中正確命題的個
14、數(shù)是( B ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 ①若n⊥α,n⊥β,則n為平面α與β的公垂線,則α∥β,故①正確; ②若平面α上有不共線的三點到平面β的距離相等,三點可能在平面β的異側,此時α與β相交,故②錯誤; ③若n,m為異面直線.n?α,n∥β,m?β,m∥α,根據(jù)面面平行的判定定理,可得③正確.故選B. 3.如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB∥CD,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中點. (1)求證:AM=CM; (2)若N是PC的中點,求證:DN∥平面AMC. 證明 (1)∵在直角梯
15、形ABCD中,AD=DC=AB=1, ∴AC=,BC=,AB=2,則AC2+BC2=AB2,∴BC⊥AC, 又PA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD, ∴BC⊥PA,又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC. 在Rt△PAB中,M為PB的中點,則AM=PB, 在Rt△PBC中,M為PB的中點,則CM=PB, ∴AM=CM. (2)如圖,連接DB交AC于點F, ∵DCAB,∴DF=FB. 取PM的中點G,連接DG,F(xiàn)M, 則DG∥FM, 又DG?平面AMC,F(xiàn)M?平面AMC, ∴DG∥平面AMC. 連接GN,則GN∥MC,GN?平面AMC,MC?平面AMC
16、. ∴GN∥平面AMC,又GN∩DG=G,∴平面DNG∥平面AMC, 又DN?平面DNG,∴DN∥平面AMC. 4.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設Q是CC1上的點,則當點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面PAO? 解析 當Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.證明如下: ∵Q為CC1的中點,P為DD1的中點,∴QB∥PA. ∵P,O分別為DD1,DB的中點,∴D1B∥PO. 又∵D1B?平面PAO,PO?平面PAO,QB?平面PAO, PA?平面PAO,∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO, 又D1B
17、∩QB=B,D1B,QB?平面D1BQ,∴平面D1BQ∥平面PAO. 易錯點 忽視判定定理和性質定理的使用條件 錯因分析:如下面的例子中,已知α∥β,a?α,b?β,那么a與b不一定平行,還可能異面. 【例1】 已知三個平面α,β,γ,滿足α∥β∥γ,直線a與這三個平面依次交于點A,B,C,直線b與這三個平面依次交于點E,F(xiàn),G,求證:=. 證明 (1)當a,b共面時,設a,b共面θ,連接AE,BF,CG. ∵α∥β∥γ,α∩θ=AE,β∩θ=BF,γ∩θ=CG, ∴AE∥BF∥CG. 據(jù)平行線分線段成比例可知=; (2)當a,b異面時,如圖(1),連接AG交β于
18、點O,連接OB,OF. ∵β∥γ,β∩面ACG=OB,γ∩面ACG=CG, ∴OB∥CG, 同理可得OF∥AE, ∴=,=,∴=. 【跟蹤訓練1】 (2016·四川卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=AD. (1)在平面PAD內(nèi)找一點M,使得直線CM∥平面PAB,并說明理由; (2)證明:平面PAB⊥平面PBD. 解析 (1)取棱AD的中點M(M∈平面PAD),點M即為所求的一個點.理由如下: 連接CM.因為AD∥BC,BC=AD, 所以BC∥AM,且BC=AM. 所以四邊形AMCB是平行四邊形, 從
19、而CM∥AB. 又AB?平面PAB,CM?平面PAB, 所以CM∥平面PAB. (2)證明:連接BM,由已知得,PA⊥AB,PA⊥CD, 因為AD∥BC,BC=AD,所以直線AB與CD相交, 所以PA⊥平面ABCD.從而PA⊥BD,因為AD∥BC,BC=AD, 所以BC∥MD,且BC=MD.所以四邊形BCDM是平行四邊形. 所以BM=CD=BC,BCDM是菱形,∴BD⊥MC,又MC∥AB,所以BD⊥AB.又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB. 又BD?平面PBD,所以平面PAB⊥平面PBD. 課時達標 第41講 [解密考綱]對直線、平面平行的判定與性質定理的初步考查一般以
20、選擇題、填空題的形式出現(xiàn),難度不大;綜合應用直線、平面平行的判定與性質,常以解答題為主,難度中等. 一、選擇題 1.(2018·廣東揭陽模擬)設兩個不同的平面α,β,兩條不同的直線 a,b,且a?α,b?α,則“a∥β,b∥β”是“α∥β”的( B ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析 因為“a∥β,b∥β”,若a∥b,則α與β不一定平行,反之若“α∥β”,則一定“a∥β,b∥β”,故選B. 2.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別為邊AB,AD上的點,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分別為BC,CD的中
21、點,則( B ) A.BD∥平面EFGH,且四邊形EFGH是矩形 B.EF∥平面BCD,且四邊形EFGH是梯形 C.HG∥平面ABD,且四邊形EFGH是菱形 D.EH∥平面ADC,且四邊形EFGH是平行四邊形 解析 由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EFBD,所以EF∥平面BCD.又H,G分別為BC,CD的中點,所以HGBD,所以EF∥HG且EF≠HG,所以四邊形EFGH是梯形. 3.設a,b表示不同的直線,α,β,γ表示不同的平面,則下列命題中正確的是( D ) A.若a⊥α且a⊥b,則b∥α B.若γ⊥α且γ⊥β,則α∥β C.若a∥α且a∥β,則α∥β D.若γ∥
22、α且γ∥β,則α∥β 解析 對于A項,若a⊥α且a⊥b,則b∥α或b?α,故A項不正確;對于B項,若γ⊥α且γ⊥β,則α∥β或α與β相交,故B項不正確;對于C項,若a∥α且a∥β,則α∥β或α與β相交,故C項不正確.排除A,B,C項,故選D. 4.下面四個正方體圖形中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,P分別為其所在棱的中點,能得出AB ∥平面MNP的圖形是( A ) A.①② B.①④ C.②③ D.③④ 解析 由線面平行的判定定理知圖①②可得出AB∥平面MNP. 5.已知a,b表示不同的直線,α,β表示不同的平面,則下列命題正確的是( C ) A.若a∥α,b∥β
23、,α∥β,則 a∥b B.若a∥b,a?α,b?β,則α∥β C.若a∥b,α∩β=a,則b∥α或b∥β D.若直線a與b異面,a?α,b?β,則α∥β 解析 對于A項,a與b還可能相交或異面,此時a與b不平行,故A項不正確;對于B項,α與β可能相交,此時設α∩β=m,則a∥m,b∥m,故B項不正確;對于D項,α與β可能相交,如圖所示,故D項不正確,故選C. 6.已知m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,給出下列命題: ①?n∥α;②?m∥n;③?α∥β;④?m∥n.其中所有正確命題的序號是( B ) A.③④ B.②③ C.①② D.①②③④ 解析 ①
24、不正確,n可能在α內(nèi).②正確,垂直于同一平面的兩直線平行.③正確,垂直于同一直線的兩平面平行.④不正確,m,n可能為異面直線.故選B. 二、填空題 7.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點E為AD的中點,點F在CD上.若EF∥平面AB1C,則線段EF的長度等于____. 解析 因為直線EF∥平面AB1C,EF?平面ABCD,且平面AB1C∩平面ABCD=AC,所以EF∥AC,又E是DA的中點,所以F是DC的中點,由中位線定理可得EF=AC,又在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2,所以EF=. 8.(2018·北京模擬)設α,β,γ是三個不
25、同平面,a,b是兩條不同直線,有下列三個條件:①a∥γ,b?β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a?γ.如果命題“α∩β=a,b?γ,且________,則a∥b”為真命題,則可以在橫線處填入的條件是__①③__(把所有正確的題號填上). 解析 ①可以,由a∥γ得a與γ沒有公共點,由b?β,α∩β=a,b?γ知,a,b在面β內(nèi),且沒有公共點,故平行. ②a∥γ,b∥β不可以.舉出反例如下:使β∥γ,b?γ,a?β,則此時能有a∥γ,b∥β,但不一定a∥b.這些條件無法確定兩直線的位置關系. ③可以,由b∥β,α∩β=a知,a,b無公共點,再由a?γ,b?γ,可得兩直線平行. 9.在四棱錐P
26、-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠BAD=60°,Q為AD的中點,點M在線段PC上,PM=tPC,PA∥平面MQB,則實數(shù)t=____. 解析 連接AC交BQ于N,交BD于O, 連接MN,如圖,則O為BD的中點. 又∵BQ為△ABD邊AD上中線, ∴N為正△ABD的中心. 令菱形ABCD的邊長為a, 則AC=a,AN=a. ∵PA∥平面MQB,PA?平面PAC, 平面PAC∩平面MQB=MN ∴PA∥MN,∴PM∶PC=AN∶AC, 即PM=PC,∴t=. 三、解答題 10.如圖,P是△ABC所在平面外一點,A′,B′,C′分別是△PBC,△PCA,△PAB的重心
27、.求證:平面 A′ B′ C′∥平面 ABC. 證明 連接PA′,PC′并延長,分別交BC,AB于M,N. ∵A′,C′分別是△PBC,△PAB的重心, ∴M,N分別是BC,AB的中點.連接MN, 由==知A′C′∥MN,∵MN?平面ABC,∴A′C′∥平面ABC.同理,A′B′∥平面ABC,而A′C′和A′B′是平面A′B′C′內(nèi)的相交直線,∴平面A′B′C′∥平面ABC. 11.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點,在棱C1D1上是否存在一點F,使B1F∥平面A1BE?證明你的結論. 解析 當點F為棱C1D1中點時,可使B1F∥平面A1BE
28、,證明如下: 分別取C1D1和CD的中點F,G,連接EG,BG,CD1,F(xiàn)G, 因為A1D1∥B1C1∥BC,且A1D1=BC, 所以四邊形A1BCD1為平行四邊形, 因此D1C∥A1B,又E,G分別為D1D,CD的中點,所以EG∥D1C,從而EG∥A1B,這說明A1,B,G,E共面,所以BG?平面A1BE.因為四邊形C1CDD1與B1BCC1都為正方形,F(xiàn),G分別為C1D1和CD的中點,所以FG∥C1C∥B1B,且FG=C1C=B1B,因此四邊形B1BGF為平行四邊形,所以B1F∥BG,而B1F?平面A1BE,BG?平面A1BE,故B1F∥平面A1BE. 12.在正方體ABCD
29、-A1B1C1D1中,Q是CC1的中點,F(xiàn)是側面BCC1B1內(nèi)的動點,且A1F∥平面D1AQ,求A1F與平面BCC1B1所成角的正切值的取值范圍. 解析 設平面AD1Q與直線BC交于點G,連接AG,QG,則G為BC的中點.分別取B1B,B1C1的中點M,N,連接A1M,MN,A1N,如圖所示.∵A1M∥D1Q,A1M?平面D1AQ, D1Q?平面D1AQ,∴A1M∥平面D1AQ.同理可得MN∥平面D1AQ. ∵A1M,MN是平面A1MN內(nèi)的兩條相交直線, ∴平面A1MN∥平面D1AQ. 由此結合A1F∥平面D1AQ,可得直線A1F?平面A1MN,即點F是線段MN上的動點. 設直線A1F與平面BCC1B1所成角為θ,移動點F并加以觀察,可得當點F與M(或N)重合時,A1F與平 面BCC1B1所成角等于∠A1MB1,此時所成角θ達到最小值,滿足tan θ==2;當點F與MN的中點重合時,A1F與平面BCC1B1所成角達到最大值,滿足tan θ==2. ∴A1F與平面BCC1B1所成角的正切值的取值范圍為[2,2]. 14
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