2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第1章 集合與常用邏輯術(shù)語 1.1 集合的概念教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、 1.1 集合的概念 (教師獨具內(nèi)容) 課程標準：1.通過實例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系.2.針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合． 教學(xué)重點：1.集合概念的正確理解.2.元素的三性(確定性、互異性、無序性).3.元素與集合關(guān)系的判定.4.集合常用的兩種表示方法(列舉法、描述法)． 教學(xué)難點：1.對元素的確定性的理解.2.描述法表示集合. 【知識導(dǎo)學(xué)】 知識點一　　　集合與元素的定義 元素：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素(element)． 集合：把一些元素組成的總體叫做集合(set)(簡稱為集)． 表示：通常用大寫拉丁字母A

2、，B，C，…表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素． 知識點二　　　集合中元素的三個特性 (1)確定性； (2)互異性； (3)無序性． 知識點三　　　元素與集合的關(guān)系 (1)“屬于”：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A. (2)“不屬于”：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A. 知識點四　　　幾個常用數(shù)集的固定字母表示 知識點五　　　集合的表示方法 集合常見的表示方法有：自然語言、列舉法、描述法． (1)自然語言：用文字敘述的形式描述集合的方法．使用此方法時，只要敘述清楚即可，如由所有正方形構(gòu)成的集合，就是用自然語

3、言表示的，不能敘述成“正方形”．再如全體實數(shù)組成的集合，或?qū)崝?shù)集等． (2)列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法． (3)描述法：一般地，設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法． 知識點六　 集合的分類 (1)有限集； (2)無限集． 【新知拓展】 1．元素和集合關(guān)系的判斷 (1)直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．此時應(yīng)先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的． (2)推理法：對于某些不便直接表示的集合

4、，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．此時應(yīng)先明確已知集合的元素具有什么特征，即該集合中元素要滿足哪些條件． 2．集合的三個特性 (1)描述性：“集合”是一個原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的“點”“線”“面”等概念一樣都只是描述性的說明． (2)整體性：集合是一個整體，暗含“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對象一旦組成了集合，這個集合就是這些對象的總體． (3)廣泛性：組成集合的對象可以是數(shù)、點、圖形、多項式、方程，也可以是人或物，甚至一個集合也可以是某集合的一個元素． 3．使用列舉法表示集合時需注意的幾點 (1)元素之間用“，”隔開； (2)元素不重復(fù)

5、，滿足元素的互異性； (3)元素?zé)o順序，滿足元素的無序性； (4)對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法，但是必須把元素間的規(guī)律表述清楚后才能用省略號． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)某校高一年級16歲以下的學(xué)生能構(gòu)成集合．(　　) (2)已知A是一個確定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a?A，二者必居其一且只具其一．(　　) (3)對于數(shù)集A＝{1,2，x2}，若x∈A，則x＝0.(　　) (4)集合{y|y＝x2，x∈R}與集合{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4

6、)√ 2．做一做 (1)下列所給的對象能組成集合的是(　　) A．“金磚國家”成員國 B．接近1的數(shù) C．著名的科學(xué)家 D．漂亮的鮮花 (2)用適當(dāng)?shù)姆?∈，?)填空： 0________?，0________{0},0________N， －2________N*，________Z，________Q， π________R. 答案　(1)A　(2)?　∈　∈　?　?　?　∈ 題型一 正確理解描述法中元素的“代表符號” 例1　分析下列集合中的元素是什么？ A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}． [解]　三個集

7、合都是用描述法表示的．對于集合A，其中的元素是x，根據(jù)“y＝x2”，這里的x并沒有什么限制，即x可以是任意實數(shù)，即集合A是由所有實數(shù)組成的集合，即實數(shù)集．對于集合B，其中的元素是y，這里的x沒有任何限制，即x可以是任意實數(shù)，但是通過“y＝x2”，元素y有了限制：實數(shù)的平方，從而B中的元素是非負實數(shù)．對于集合C，從元素的代表符號“(x，y)”可以看出，其中的元素是有序?qū)崝?shù)對，這些數(shù)對的第一個數(shù)x沒有限制，第二個數(shù)y受條件“y＝x2”的限制，因此C中的元素是有序?qū)崝?shù)對，且數(shù)對的第一個數(shù)取任意實數(shù)，第二個數(shù)是第一個數(shù)的平方(從幾何角度講，(x，y)就是坐標平面內(nèi)的一個點，從而C中的元素就是拋物線y＝

8、x2上的點)． 金版點睛 使用描述法表示集合時要注意：①寫清該集合中元素的代表符號，如{x∈R|x>1}不能寫成{x>1}；②用簡明、準確的語言進行描述，如方程、不等式、幾何圖形等；③不能出現(xiàn)未被說明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被說明，故此集合中的元素是不確定的；④所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，應(yīng)將“m∈N*”寫進“{　}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}；⑤元素的取值(或變化)范圍，從上下文的關(guān)系來看，若x∈R是明確的，則x∈R可省略不寫，如集合D＝{x∈R|x<10}也可表示為D＝{x|x<10}；⑥多層描述時，應(yīng)當(dāng)準

9、確使用“且”“或”等表示元素之間關(guān)系的詞語，如“{x|x<－1或x>1}”等． 　試分析集合{(x，y)|y＝x＋1}的元素，并能從幾何角度解釋這個集合． 解　集合中的元素是有序?qū)崝?shù)對，且第二個實數(shù)等于第一個實數(shù)加1. 從幾何角度：該集合就是一次函數(shù)y＝x＋1的圖象，即直線y＝x＋1. 題型二 判斷元素與集合的關(guān)系 例2　已知集合A＝{x|x＝m＋n·，m，n∈Z}． (1)判斷0，(1＋)2，與A的關(guān)系； (2)若x1，x2∈A，試探究x1x2，x1＋x2與A的關(guān)系． [解]　(1)易知0＝0＋0×，且0∈Z， 所以0∈A. 因為(1＋)2＝3＋2，且3,2∈Z

10、， 所以(1＋)2∈A. 因為＝＝＋， 且，?Z，所以?A. (2)因為x1，x2∈A，所以可設(shè)x1＝m1＋n1，x2＝m2＋n2，且m1，n1，m2，n2∈Z， 所以x1x2＝(m1＋n1)(m2＋n2)＝m1m2＋(m2n1＋m1n2)＋2n1n2＝(m1m2＋2n1n2)＋(m2n1＋m1n2)．因為m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以x1x2∈A. 因為x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，m1＋m2∈Z，n1＋n2∈Z，所以x1＋x2∈A. 金版點睛 該問題是判斷所給的元素是否具有集合A中元素的特征，用自然語言理解為：所給元素是否能寫成

11、“整數(shù)＋整數(shù)的倍”的形式.可以看出，問題的實質(zhì)是正確解讀集合的表示方法(描述法). 　已知集合A＝，試判斷－2,2與A的關(guān)系． 解　解法一：易知A＝{－3,0,1,2,4,5,6,9}， 所以－2?A,2∈A. 解法二：當(dāng)x＝－2時，＝?Z，所以－2?A； 當(dāng)x＝2時，x∈Z且＝6∈Z，所以2∈A. 題型三 含參問題探究 例3　集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一個元素，試求實數(shù)k的值，并用列舉法表示集合A. [解]　①當(dāng)k＝0時，原方程為16－8x＝0， ∴x＝2，此時A＝{2}． ②當(dāng)k≠0時，若集合A中只有一個元素， 則方程kx2－8x＋16

12、＝0有兩個相等實根． 即Δ＝64－64k＝0，即k＝1， 從而x1＝x2＝4， ∴集合A＝{4}． 綜上所述，實數(shù)k的值為0或1.當(dāng)k＝0時，A＝{2}； 當(dāng)k＝1時，A＝{4}． 金版點睛 對于含參問題，隨著參數(shù)值的變化，問題的解發(fā)生變化，所以這類問題往往需要分類討論.通過分類，把復(fù)雜的問題簡單化，從而蘊含著轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想. 　把本例條件“只有一個元素”改為“有兩個元素”，求實數(shù)k的取值范圍的集合． 解　由題意可知方程kx2－8x＋16＝0有兩個不等的實根． ∴解得k＜1且k≠0. ∴實數(shù)k的取值范圍的集合為{k|k＜1且k≠0}. 題型四 集合中的新定義問

13、題 例4　已知集合A＝{1,2,4}，則集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)為(　　) A．3 B．6 C．8 D．9 [解析]　根據(jù)已知條件，列表如下： 由上表可知，B中的元素有9個，故選D. [答案]　D 金版點睛 本例借助表格語言，運用列舉法求解.表格語言是常用的數(shù)學(xué)語言，表達問題清晰，明了；列舉法是分析問題的重要的數(shù)學(xué)方法，通過“列舉”直接解決問題或發(fā)現(xiàn)問題的規(guī)律，此方法通常配合圖表(含樹形圖)使用. 　定義A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，設(shè)A＝{1,2}，B＝{0,2}，則集合A*B中的所有元素之和為(　　)

14、 A．0 B．2 C．3 D．6 答案　D 解析　根據(jù)已知條件，列表如下： 根據(jù)集合中元素的互異性，可由上表知A*B＝{0,2,4}，故其中所有元素之和為0＋2＋4＝6，故選D. 1．下列所給的對象不能組成集合的是(　　) A．我國古代的四大發(fā)明 B．二元一次方程x＋y＝1的解 C．某班年齡較小的同學(xué) D．平面內(nèi)到定點距離等于定長的點 答案　C 解析　C項中“年齡較小的同學(xué)”的標準不明確，不符合確定性，故選C. 2．已知集合A含有三個元素2,4,6，且當(dāng)a∈A時，有6－a∈A，則a為(　　) A．2 B．2或4 C．4 D．0 答案

15、　B 解析　集合A中含有三個元素2,4,6，且當(dāng)a∈A，有6－a∈A.當(dāng)a＝2∈A時，6－a＝4∈A，∴a＝2；當(dāng)a＝4∈A時，6－a＝2∈A，∴a＝4；當(dāng)a＝6∈A時，6－a＝0?A，綜上所述，a＝2或4.故選B. 3．由實數(shù)－a，a，|a|，所組成的集合最多含有的元素個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　對a進行分類討論：①當(dāng)a＝0時，四個數(shù)都為0，只含有一個元素；②當(dāng)a≠0時，含有兩個元素a，－a，所以集合中最多含有2個元素．故選B. 4．用適當(dāng)符號(∈，?)填空： (1)(1,3)________{(x，y)|y＝2x＋1}； (2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}． 答案　(1)∈　(2)∈ 解析　(1)當(dāng)x＝1時，y＝2×1＋1＝3，故(1,3)∈{(x，y)|y＝2x＋1}． (2)當(dāng)n＝2∈Z時，m＝2×(2－1)＝2，故2∈{m|m＝2(n－1)，n∈Z}． 5．設(shè)a∈R，關(guān)于x的方程(x－1)(x－a)＝0的解集為A，試分別用描述法和列舉法表示集合A. 解　A＝{x|(x－1)(x－a)＝0}；當(dāng)a＝1時，A＝{1}；當(dāng)a≠1時，A＝{1，a}． - 8 -