2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第5章 三角函數(shù) 章末復(fù)習(xí)教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

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1、第5章 三角函數(shù) 知識(shí)系統(tǒng)整合 規(guī)律方法收藏 1．在任意角和弧度制的學(xué)習(xí)中，要區(qū)分開角的各種定義，如：銳角一定是第一象限角，而第一象限角不全是銳角，概念要搞清；角度制和弧度制表示角不能混用，如：α＝2kπ＋30°，k∈Z，這種表示法不正確． 2．任意角的三角函數(shù)，首先要考慮定義域，其次要深刻認(rèn)識(shí)三角函數(shù)符號(hào)的含義，sinα＝≠sin×α；誘導(dǎo)公式的記憶要結(jié)合三角函數(shù)的定義去記憶． 3．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 sin2α＋cos2α＝1及＝tanα，必須牢記這兩個(gè)基本關(guān)系式，并能應(yīng)用它們進(jìn)行三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明，在應(yīng)用中，注意掌握解題的技巧，能靈活運(yùn)用公式．在

2、應(yīng)用平方關(guān)系求某個(gè)角的另一個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，要注意根式前面的符號(hào)的確定． 4．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 誘導(dǎo)公式一至六不僅要正確、熟練地掌握其記憶的訣竅，更要能靈活地運(yùn)用． (1)－α角的三角函數(shù)是把負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角； (2)2kπ＋α(k∈Z)角的三角函數(shù)是化任意角為[0,2π)內(nèi)的角； (3)±α，π±α，±α，2π－α角的三角函數(shù)是化非銳角為銳角； (4)化負(fù)為正→化大為小→化為銳角； (5)記憶規(guī)律：奇變偶同，象限定號(hào)． 5．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì) (1)五點(diǎn)法作圖是畫三角函數(shù)圖象的基本方法，要切實(shí)掌握，作圖時(shí)自變量要用弧度制，作出的圖象要正規(guī)． (2)奇偶性、單調(diào)性

3、、最值、周期是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，f(x＋T)＝f(x)應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是自變量x本身加常數(shù)才是周期，如f(2x＋T)＝f(2x)，T不是f(2x)的周期． 解答三角函數(shù)的單調(diào)性的題目一定要注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則，更要注意定義域． 6．使用本章公式時(shí)，應(yīng)注意公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用．如兩角和與差的正切公式tan(α±β)＝，其變形公式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ)應(yīng)用廣泛；公式cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α的變形公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝，sin2α＝常用來(lái)升冪或降冪．

4、 7．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ) 主要掌握由函數(shù)y＝sinx的圖象到函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的平移、伸縮等變換． 注意各種變換對(duì)圖象的影響，注意各物理量的意義，A，ω，φ與各種變換的關(guān)系． 8．三角函數(shù)的應(yīng)用 (1)根據(jù)圖象建立解析式； (2)根據(jù)解析式作出圖象； (3)將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)模型； (4)利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)模擬． 在建立三角函數(shù)模型的時(shí)候，要注意從數(shù)據(jù)的周而復(fù)始的特點(diǎn)以及數(shù)據(jù)變化趨勢(shì)兩個(gè)方面來(lái)考慮． 學(xué)科思想培優(yōu) 一、三角函數(shù)變形的常見方法 在進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)或求值時(shí)，細(xì)心觀察題目的特征，

5、靈活、恰當(dāng)?shù)剡x用公式，統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、降低次數(shù)是三角函數(shù)關(guān)系式變形的出發(fā)點(diǎn)． 在本章所涉及的變形中，常用的變形方法有切化弦、弦化切和“1”的代換． 1．切化弦 當(dāng)三角函數(shù)式中三角函數(shù)名稱較多時(shí)，往往把三角函數(shù)化為弦，再化簡(jiǎn)變形． [典例1]　求證：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ＝＋. 證明　左邊＝sinθ＋cosθ ＝sinθ＋＋cosθ＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋＝右邊． [典例2]　求證：·＝1. 證明　·＝· ＝·＝＝＝1. 2．弦化切 已知tanα的值，求關(guān)于sinα，cosα的齊次分式(sinα，cosα的次數(shù)相同)的值，可將求值式變?yōu)殛P(guān)于tanα的代數(shù)式，

6、此方法亦稱為“弦化切”． [典例3]　已知tanα＝－，求下列各式的值： (1)； (2)2sin2α＋sinαcosα－3cos2α. 解　(1)∵tanα＝－， ∴＝＝＝－. (2)2sin2α＋sinαcosα－3cos2α ＝＝ ＝＝－. [典例4]　已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，α∈.求： (1)tanα； (2). 解　(1)2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α ＝＝， 則＝1， 即4tan2α－3tanα－1＝0. 解得tanα＝－或tanα＝1. ∵α∈，∴α為第二象限角， ∴tanα<0，∴tanα＝－.

7、 (2)原式＝＝＝＝. 3．“1”的代換 在三角函數(shù)中，有時(shí)會(huì)含有常數(shù)1，常數(shù)1雖然非常簡(jiǎn)單，但有些三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)卻需要利用三角函數(shù)公式將1代換為三角函數(shù)式，常見的代換方法：1＝sin2α＋cos2α等． [典例5]　求證：＝. 證明　左邊＝ ＝ ＝＝＝右邊． ∴等式成立． [典例6]　已知tan2α＝2tan2β＋1，求證：sin2β＝2sin2α－1. 證明　∵tan2α＝2tan2β＋1， ∴tan2α＋1＝2(tan2β＋1)． ∴＝2·. ∴＝. ∴cos2β＝2cos2α. ∴1－sin2β＝2(1－sin2α)． ∴sin2β＝2sin2α－1.

8、 二、求三角函數(shù)值域與最值的常見類型 求三角函數(shù)的值域或最值主要依據(jù)是利用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)的有界性，這就要求我們必須掌握好三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)． 1．形如y＝asinx＋b(a≠0)型的函數(shù) 求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函數(shù)的最值或值域問(wèn)題時(shí)，利用正、余弦函數(shù)的有界性(－1≤sinx，cosx≤1)求解，注意對(duì)a正、負(fù)的討論． [典例7]　若y＝asinx＋b的最大值為3，最小值為1，求ab的值． 解　當(dāng)a>0時(shí)，解得 當(dāng)a<0時(shí)，解得 ∴ab＝2或ab＝－2. [典例8]　求函數(shù)y＝3－4cos，x∈的最大、最小值及相應(yīng)的x值． 解　∵x∈

9、，∴2x＋∈， 從而－≤cos≤1. ∴當(dāng)cos＝1即2x＋＝0， 即x＝－時(shí)，ymin＝3－4＝－1， 當(dāng)cos＝－即2x＋＝， 即x＝時(shí)，ymax＝3－4×＝5. 2．形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型的函數(shù) 求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函數(shù)的值域或最值時(shí)，通過(guò)換元，令t＝sinx(或cosx)，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，利用配方法求值域或最值即可．求解過(guò)程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性． [典例9]　求函數(shù)f(x)＝2sin2x＋2sinx－，x∈的值域． 解　令t＝sinx，y

10、＝f(x)， ∵x∈，∴≤sinx≤1，即≤t≤1. ∴y＝2t2＋2t－＝22－1， ∴1≤y≤， ∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)? [典例10]　已知|x|≤，求函數(shù)y＝－sin2x＋sinx＋1的最小值． 解　令t＝sinx，因?yàn)閨x|≤， 所以－≤sinx≤，即t∈， 則y＝－t2＋t＋1＝－2＋，t∈. 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)t＝－，即x＝－時(shí)，y有最小值，為－2＋＝. 三、三角函數(shù)的化簡(jiǎn) 在具體實(shí)施過(guò)程中，應(yīng)著重抓住“角”的統(tǒng)一．通過(guò)觀察角、函數(shù)名、項(xiàng)的次數(shù)等，找到突破口，利用切化弦、升冪、降冪、逆用公式等手段將其化簡(jiǎn)．最后結(jié)果應(yīng)為：(1)能求值盡量求值；(2)三角

11、函數(shù)名稱盡量少；(3)項(xiàng)數(shù)盡量少；(4)次數(shù)盡量低；(5)分母、根號(hào)下盡量不含三角函數(shù)． [典例11]　化簡(jiǎn)：. 解　原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝2. 四、三角函數(shù)求值 三角函數(shù)求值主要有三種類型，即： (1)“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，從表面看較難，但仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)這類問(wèn)題中的角與特殊角都有一定的關(guān)系，如和或差為特殊角，當(dāng)然還有可能需要運(yùn)用誘導(dǎo)公式． (2)“給值求值”，即給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些三角函數(shù)的值，這類求值問(wèn)題關(guān)鍵在于結(jié)合條件和結(jié)論中的角，合理拆、配角．當(dāng)然在這個(gè)過(guò)程中要注意角的范圍． (3)“給值求角”，本質(zhì)上還是“給值

12、求值”，只不過(guò)往往求出的是特殊角的值，在求出角之前還需結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定角，必要時(shí)還要討論角的范圍． [典例12]　已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈，求： (1)cos； (2)tan(α＋β)． 解　(1)∵<α<π，0<β<， ∴<α－<π，－<－β<， ∴sin＝＝， cos＝＝， ∴cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝－×＋×＝－. (2)∵<<， ∴sin＝＝. ∴tan＝＝－. ∴tan(α＋β)＝＝. [典例13]　已知tanα＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均為銳角，求cosβ的值． 解　因?yàn)棣?，β均為銳角，所以0<α＋β<

13、π， 又cos(α＋β)＝－，所以<α＋β<π， 且sin(α＋β)＝. 因?yàn)閠anα＝4，所以sinα＝，cosα＝. 所以cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝. 五、三角恒等證明 三角恒等式的證明，就是應(yīng)用三角公式，通過(guò)適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q，消除三角恒等式兩端結(jié)構(gòu)上的差異，這些差異有以下幾方面：①角的差異；②三角函數(shù)名稱的差異；③三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)形式上的差異．針對(duì)上面的差異，選擇合適的方法進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化． [典例14]　求證：tan2x＋＝. 證明　證法一：左邊＝＋＝ ＝＝ ＝＝＝ ＝＝＝右邊． 原式得證． 證法二：右

14、邊＝＝ ＝ ＝ ＝＝tan2x＋＝左邊． 原式得證． 六、三角函數(shù)的圖象 三角函數(shù)的圖象是研究三角函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)，又是三角函數(shù)性質(zhì)的具體體現(xiàn)．在平時(shí)的考查中，主要體現(xiàn)在三角函數(shù)圖象的變換和解析式的確定，以及通過(guò)對(duì)圖象的描繪、觀察來(lái)討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)． [典例15]　如圖，是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的一段圖象． (1)求此函數(shù)的解析式； (2)分析一下該函數(shù)的圖象是如何通過(guò)y＝sinx的圖象變換得來(lái)的？ 解　(1)由圖象知 A＝＝， k＝＝－1， T＝2×＝π， ∴ω＝＝2. ∴y＝sin(2x＋φ)－1. 當(dāng)x＝時(shí)，2×＋φ＝，

15、∴φ＝. ∴所求函數(shù)的解析式為y＝sin－1. (2)把y＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin的圖象，然后縱坐標(biāo)保持不變、橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，得到y(tǒng)＝sin的圖象，再橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到y(tǒng)＝sin的圖象，最后把函數(shù)y＝sin的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝sin－1的圖象． 七、三角函數(shù)的性質(zhì) 1．三角函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)應(yīng)掌握函數(shù)y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性，在此基礎(chǔ)上，掌握函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)及y＝Atan(ωx＋φ)的相關(guān)性質(zhì)． 2．該熱點(diǎn)是三角函數(shù)的重中之重

16、，考查的形式也不唯一，主、客觀題均有體現(xiàn)，在難度上較前兩熱點(diǎn)有所增加，主觀題以中檔題為主，知識(shí)間的聯(lián)系相對(duì)加大． [典例16]　已知函數(shù)f(x)＝logacos(其中a>0，且a≠1)． (1)求它的定義域； (2)求它的單調(diào)區(qū)間； (3)判斷它的奇偶性； (4)判斷它的周期性，如果是周期函數(shù)，求出它的周期． 解　(1)由題意知cos>0， ∴2kπ－<2x－<2kπ＋(k∈Z)， 即kπ－1時(shí)， f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z)， 單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z)； 當(dāng)0