2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 回顧教材 以點(diǎn)帶面 6 回顧6 解析幾何學(xué)案
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1、回顧6 解析幾何 [必記知識(shí)] 直線方程的五種形式 (1)點(diǎn)斜式:y-y1=k(x-x1)(直線過點(diǎn)P1(x1,y1),且斜率為k,不包括y軸和平行于y軸的直線). (2)斜截式:y=kx+b(b為直線l在y軸上的截距,且斜率為k,不包括y軸和平行于y軸的直線). (3)兩點(diǎn)式:=(直線過點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2,不包括坐標(biāo)軸和平行于坐標(biāo)軸的直線). (4)截距式:+=1(a,b分別為直線的橫、縱截距,且a≠0,b≠0,不包括坐標(biāo)軸、平行于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線). (5)一般式:Ax+By+C=0(其中A,B不同時(shí)為0). 直線的
2、兩種位置關(guān)系 當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時(shí): (1)兩直線平行l(wèi)1∥l2?k1=k2. (2)兩直線垂直l1⊥l2?k1·k2=-1. [提醒]) 當(dāng)一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在時(shí),兩直線也垂直,此種情形易忽略. 三種距離公式 (1)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)間的距離 |AB|=. (2)點(diǎn)到直線的距離d=(其中點(diǎn)P(x0,y0),直線方程為Ax+By+C=0). (3)兩平行線間的距離d=(其中兩平行線方程分別為l1:Ax+By+C1=0,l1:Ax+By+C2=0且C1≠C2). 圓的方程的兩種形式 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(
3、x-a)2+(y-b)2=r2. (2)圓的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0). 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 (1)直線與圓的位置關(guān)系:相交、相切、相離,代數(shù)判斷法與幾何判斷法. (2)圓與圓的位置關(guān)系:相交、內(nèi)切、外切、外離、內(nèi)含,代數(shù)判斷法與幾何判斷法. 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 圖形 幾 何 性 質(zhì) 范圍 -a≤x≤a,-b≤y≤b -b≤x≤b,-a≤y≤a 對(duì)稱性 對(duì)稱軸:x軸,y軸;對(duì)稱中心:原點(diǎn) 焦點(diǎn) F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0) F1
4、(0,-c),F(xiàn)2(0,c) 頂點(diǎn) A1(-a,0),A2(a,0); B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a); B1(-b,0),B2(b,0) 軸 線段A1A2,B1B2分別是橢圓的長(zhǎng)軸和短軸;長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b 焦距 |F1F2|=2c 離心率 焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比值:e∈(0,1) a,b,c 的關(guān)系 c2=a2-b2 [提醒]) 橢圓的離心率反映了焦點(diǎn)遠(yuǎn)離中心的程度,e的大小決定了橢圓的形狀,反映了橢圓的圓扁程度.因?yàn)閍2=b2+c2,所以=,因此,當(dāng)e越趨近于1時(shí),越趨近于0,橢圓越扁;當(dāng)e越趨近于0時(shí),越趨近于1,橢圓
5、越接近于圓.所以e越大橢圓越扁;e越小橢圓越圓,當(dāng)且僅當(dāng)a=b,c=0時(shí),橢圓變?yōu)閳A,方程為x2+y2=a2(a>0). 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 圖形 幾 何 性 質(zhì) 范圍 |x|≥a,y∈R |y|≥a,x∈R 對(duì)稱性 對(duì)稱軸:x軸,y軸;對(duì)稱中心:原點(diǎn) 焦點(diǎn) F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0) F1(0,-c),F(xiàn)2(0,c) 頂點(diǎn) A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 軸 線段A1A2,B1B2分別是雙曲線的實(shí)軸和虛軸;實(shí)軸長(zhǎng)為2a
6、,虛軸長(zhǎng)為2b 焦距 |F1F2|=2c 離心率 焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比值:e∈(1,+∞) 漸近線 y=±x y=±x a,b,c 的關(guān)系 a2=c2-b2 [提醒])?。?)離心率e的取值范圍為(1,+∞).當(dāng)e越接近于1時(shí),雙曲線開口越??;當(dāng)e越接近于+∞時(shí),雙曲線開口越大. (2)滿足||PF1|-|PF2||=2a的點(diǎn)P的軌跡不一定是雙曲線,當(dāng)2a=0時(shí),點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2的中垂線;當(dāng)0<2a<|F1F2|時(shí),點(diǎn)P的軌跡是雙曲線;當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),點(diǎn)P的軌跡是兩條射線;當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),點(diǎn)P的軌跡不存在. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)
7、 標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 圖形 幾何性質(zhì) 對(duì)稱軸 x軸 y軸 頂點(diǎn) O(0,0) 焦點(diǎn)準(zhǔn)線 F F F F 方程 x=- x= y=- y= 范圍 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 離心率 e=1 [必會(huì)結(jié)論] 與圓的切線有關(guān)的結(jié)論 (1)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2; (2)過圓(x-a)2+(y-b)2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為(
8、x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; (3)過圓x2+y2=r2外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,則過A,B兩點(diǎn)的直線方程為x0x+y0y=r2; (4)過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一點(diǎn)P(x0,y0)引圓的切線,切點(diǎn)為T,則|PT|=; (5)過圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一點(diǎn)P(x0,y0)作圓C的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則切點(diǎn)弦AB所在的直線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; (6)若圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則過圓外一點(diǎn)P(x0,y0
9、)的切線長(zhǎng)d=. 橢圓中焦點(diǎn)三角形的相關(guān)結(jié)論 由橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形.解決焦點(diǎn)三角形問題常利用橢圓的定義和正、余弦定理. 以橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)(y0≠0)和焦點(diǎn)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)為頂點(diǎn)的△PF1F2中,若∠F1PF2=θ,則 (1)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0(焦半徑公式),|PF1|+|PF2|=2a.(e為橢圓的離心率) (2)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos θ. (3) S△PF1F2=|PF1||PF2|·sin θ=b2tan=c|y0|,當(dāng)|y0|
10、=b,即P為短軸端點(diǎn)時(shí),S△PF1F2取得最大值,為bc. (4)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a+c). 雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 (1)若雙曲線的方程為-=1(a>0,b>0),則漸近線的方程為-=0,即y=±x. (2)若漸近線的方程為y=±x(a>0,b>0),即±=0,則雙曲線的方程可設(shè)為-=λ. (3)若所求雙曲線與雙曲線-=1(a>0,b>0)有公共漸近線,其方程可設(shè)為-=λ(λ>0,焦點(diǎn)在x軸上;λ<0,焦點(diǎn)在y軸上). 雙曲線常用的結(jié)論 (1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b. (2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),則|PF1|m
11、in=a+c,|PF2|min=c-a. (3)同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦),其長(zhǎng)為,異支的弦中最短的為實(shí)軸,其長(zhǎng)為2a. (4)P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),則kPA·kPB=,S△PF1F2=,其中θ為∠F1PF2. (5)P是雙曲線-=1(a>0,b>0)右支上不同于實(shí)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),I為△PF1F2內(nèi)切圓的圓心,則圓心I的橫坐標(biāo)恒為a. 拋物線焦點(diǎn)弦的相關(guān)結(jié)論 設(shè)AB是過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),α為直線AB的傾斜
12、角,則 (1)焦半徑|AF|=x1+=,|BF|=x2+=. (2)x1x2=,y1y2=-p2. (3)弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p=. (4)+=. (5)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切. (6)S△OAB=(O為拋物線的頂點(diǎn)). [必練習(xí)題] 1.過圓x2+y2-x-y+=0的圓心,且傾斜角為的直線方程為( ) A.x-2y=0 B.x-2y+3=0 C.x-y=0 D.x-y+1=0 解析:選C.由題意知圓的圓心坐標(biāo)為,所以過圓的圓心,且傾斜角為的直線方程為y=x,即x-y=0. 2.圓心為(4,0)且與直線x-y=0相切的圓的方程為( ) A
13、.(x-4)2+y2=1 B.(x-4)2+y2=12 C.(x-4)2+y2=6 D.(x+4)2+y2=9 解析:選B.由題意,知圓的半徑為圓心到直線x-y=0的距離,即r==2,結(jié)合圓心坐標(biāo)可知,圓的方程為(x-4)2+y2=12,故選B. 3.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的離心率為,則其漸近方程為( ) A.y=±2x B.y=±4x C.y=±x D.y=±x 解析:選C.由題意得e==,又a2+b2=c2,所以=,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x,選C. 4.設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸,點(diǎn)C在橢圓上,且∠CBA=,若|AB|=4,|BC|=,則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為
14、( ) A. B. C. D. 解析:選A.不妨設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),如圖,由題意知,2a=4,a=2,因?yàn)椤螩BA=,|BC|=,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,1),因?yàn)辄c(diǎn)C在橢圓上,所以+=1,所以b2=,所以c2=a2-b2=4-=,c=,則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為. 5.已知⊙M經(jīng)過雙曲線S:-=1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),圓心M在雙曲線S上,則圓心M到原點(diǎn)O的距離為( ) A.或 B.或 C. D. 解析:選D.因?yàn)椤袽經(jīng)過雙曲線S:-=1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),圓心M在雙曲線S上,所以⊙M不可能過異側(cè)的頂點(diǎn)和焦點(diǎn),不妨設(shè)⊙M經(jīng)過雙曲線的右頂點(diǎn)和右焦點(diǎn),則圓
15、心M到雙曲線的右焦點(diǎn)(5,0)與右頂點(diǎn)(3,0)的距離相等,所以xM=4,代入雙曲線方程可得yM=± =±,所以|OM|==,故選D. 6.設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為( ) A. B. C. D. 解析:選D.易知直線AB的方程為y=,與y2=3x聯(lián)立并消去x得4y2-12y-9=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=3,y1y2=-,S△OAB=|OF|·|y1-y2|=×==.故選D. 7.已知雙曲線-=1(a>0),以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓與雙曲線的兩條漸近線
16、相交于A,B,C,D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為4,則雙曲線的方程為( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:選D.根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,A(x,y),則解得因?yàn)樗倪呅蜛BCD 的面積為4,所以4xy==4,解得a=2,故雙曲線的方程為-=1,選D. 8.已知圓C1:(x-1)2+y2=2與圓C2:x2+(y-b)2=2(b>0)相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2,則b=________. 解析:由題意知C1(1,0),C2(0,b),半徑r1=r2=,所以線段AB和線段C1C2相互垂直平分,則|C1C2|=2,即1+b2=4,又b>0,故b=. 答
17、案: 9.已知橢圓+=1(a>b>0),以原點(diǎn)O為圓心,短半軸長(zhǎng)為半徑作圓O,過橢圓的長(zhǎng)軸的一端點(diǎn)P作圓O的兩條切線,切點(diǎn)為A,B,若四邊形PAOB為正方形,則橢圓的離心率為________. 解析:如圖,因?yàn)樗倪呅蜳AOB為正方形,且PA,PB為圓O的切線,所以△OAP是等腰直角三角形,故a=b,所以e==. 答案: 10.已知拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2:-y2=1的右焦點(diǎn)的連線交C1于第一象限的點(diǎn)M.若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=________. 解析:由題意知,經(jīng)過第一象限的雙曲線的漸近線方程為y=x.拋物線的焦點(diǎn)為F1,雙曲線的右焦點(diǎn)為F2(2,0).又y′=x,故拋物線C1在點(diǎn)M處的切線的斜率為,即x0=,所以x0=p,又點(diǎn)F1,F(xiàn)2(2,0),M三點(diǎn)共線,所以=,即p=. 答案: 8
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