《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 回顧教材 以點帶面 3 回顧3 三角函數(shù)與平面向量學(xué)案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 回顧教材 以點帶面 3 回顧3 三角函數(shù)與平面向量學(xué)案(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、回顧3 三角函數(shù)與平面向量
[必記知識]
誘導(dǎo)公式
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ+
α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
-α
+α
正弦
sin α
-sin α
-sin α
sin α
cos α
cos α
余弦
cos α
-cos α
cos α
-cos α
sin α
-sin α
正切
tan α
tan α
-tan α
-tan α
口訣
函數(shù)名不變,符號看象限
函數(shù)名改變,符號看象限
[提醒] 奇變偶不變,符號看象限
“奇、偶”指的是的倍數(shù)是奇數(shù),還是偶數(shù),“變與不
2、變”指的是三角函數(shù)名稱的變化,“變”是指正弦變余弦(或余弦變正弦).“符號看象限”的含義是:把角α看作銳角,看n·±α(n∈Z)是第幾象限角,從而得到等式右邊是正號還是負號.
三種三角函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)
y=sin x
y=cos x
y=tan x
圖象
單
調(diào)
性
在(k∈Z)上單調(diào)遞增;
在
(k∈Z)上單調(diào)遞減
在[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增;在[2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減
在(k∈Z)上單調(diào)遞增
對稱性
對稱中心:(kπ,0)(k∈Z);對稱軸:x=+kπ(k∈Z)
對稱中心:(k∈Z);對稱軸:x=kπ(k
3、∈Z)
對稱中心:(k∈Z)
[提醒]) 求函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時,要注意A與ω的符號,當(dāng)ω<0時,需把ω的符號化為正值后求解.
三角函數(shù)圖象的變換
由函數(shù)y=sin x的圖象變換得到y(tǒng)=sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象的兩種方法
[提醒] 圖象變換的實質(zhì)是點的坐標(biāo)的變換,所以三角函數(shù)圖象的伸縮、平移變換可以利用兩個函數(shù)圖象上的特征點之間的對應(yīng)確定變換的方式,一般選取離y軸最近的最高點或最低點,當(dāng)然也可以選取在原點左側(cè)或右側(cè)的第一個對稱中心點,根據(jù)這些點的坐標(biāo)即可確定變換的方式、平移的單位與方向等.
兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
si
4、n(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β.
tan(α±β)=.
sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β(平方正弦公式).
cos(α+β)cos(α-β)=cos2α-sin2β.
二倍角、輔助角及半角公式
(1)二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α.
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
tan 2α=.
①1+sin 2α=(sin α+cos α)2.
②1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
(2)輔助
5、角公式
y=asin x+bcos x=(sin xcos φ+cos xsin φ)=sin(x+φ),其中角φ的終邊所在象限由a,b的符號確定,角φ的值由tan φ=(a≠0)確定.
正、余弦定理及其變形
定理
正弦定理
余弦定理
內(nèi)容
===2R
a2=b2+c2-2bccos A;
b2=a2+c2-2accos B;
c2=a2+b2-2abcos C
變形
(1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C;
(2)sin A=,sin B=,sin C=;
(3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;
(4)asin B
6、=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A;
(5)==2R
cos A=
;
cos B=
;
cos C=
[提醒]) 在已知兩邊和其中一邊的對角時,要注意檢驗解是否滿足“大邊對大角”,避免增解.
平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ為向量a,b的夾角.
結(jié)論
幾何表示
坐標(biāo)表示
模
|a|=
|a|=
數(shù)量積
a·b=|a||b|cos θ
a·b=x1x2+y1y2
夾角
cos θ=
cos θ=
續(xù) 表
結(jié)論
幾何表示
坐標(biāo)表示
a⊥b的充要條件
7、a·b=0
x1x2+y1y2=0
|a·b|與|a||b|的關(guān)系
|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立)
|x1x2+y1y2|≤
·
[提醒]?。?)要特別注意零向量帶來的問題:0的模是0,方向任意,并不是沒有方向;0與任意非零向量平行.,(2)a·b>0是〈a,b〉為銳角的必要不充分條件;,a·b<0是〈a,b〉為鈍角的必要不充分條件.
[必會結(jié)論]
降冪、升冪公式
(1)降冪公式
①sin2α=;②cos2α=;③sin αcos α=sin 2α.
(2)升冪公式
①1+cos α=2cos2;②1-cos α=2sin2;③1+sin α=;
8、④1-sin α=.
常見的輔助角結(jié)論
(1)sin x±cos x=sin.
(2)cos x±sin x=cos.
(3)sin x±cos x=2sin.
(4)cos x±sin x=2cos.
(5)sin x±cos x=2sin.
(6)cos x±sin x=2cos.
[必練習(xí)題]
1.已知tan α=3,則的值為( )
A.- B.-3
C. D.3
解析:選A.==-=-.
2.已知x∈(0,π),且cos=sin2x,則tan等于( )
A. B.-
C.3 D.-3
解析:選A.由cos=sin2x得sin 2x=
9、sin2x,因為x∈(0,π),所以tan x=2,所以tan==.
3.函數(shù)y=cos 2x+2sin x的最大值為( )
A. B.1
C. D.2
解析:選C.y=cos 2x+2sin x=-2sin2x+2sin x+1.
設(shè)t=sin x(-1≤t≤1),則原函數(shù)可以化為y=-2t2+2t+1=-2+,所以當(dāng)t=時,函數(shù)取得最大值.
4.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示,則f的值為( )
A.2 B.
C.- D.-
解析:選D.依題意得f′(x)=Aωcos(ωx+φ),結(jié)合函數(shù)y=f
10、′(x)的圖象可知,T==4=π,ω=2.又Aω=1,因此A=.因為0<φ<π,<+φ<,且f′=cos=-1,所以+φ=π,所以φ=,f(x)=sin,f=sin=-×=-,故選D.
5.已知x=是函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)+cos(2x+φ)(0<φ<x)圖象的一條對稱軸,將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,則函數(shù)g(x)在上的最小值為( )
A.-2 B.-1
C.- D.-
解析:選B.因為x=是f(x)=2sin圖象的一條對稱軸,所以+φ=kπ+(k∈Z),因為0<φ<π,所以φ=,則f(x)=2sin,所以g(x)=-2sin在上的最小值
11、為g=-1.
6.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,則△ABC的外接圓面積為( )
A.4π B.8π
C.9π D.36π
解析:選C.由題意知c=bcos A+acos B=2,由cos C=得sin C=,再由正弦定理可得2R==6,所以△ABC的外接圓面積為πR2=9π,故選C.
7.已知非零單位向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則a與b-a的夾角可能是( )
A. B.
C. D.
解析:選D.由|a+b|=|a-b|可得(a+b)2=(a-b)2,即a·b=0,而a·(b-a)=a·b-a2=
12、-|a|2<0,即a與b-a的夾角為鈍角,故選D.
8.已知向量a=(1,3),b=(-2,k),且(a+2b)∥(3a-b),則實數(shù)k=________.
解析:a+2b=(-3,3+2k),3a-b=(5,9-k),由題意可得-3(9-k)=5(3+2k),解得k=-6.
答案:-6
9.已知向量a=(1,0),|b|=,a與b的夾角為45°,若c=a+b,d=a-b,則c在d方向上的投影為________.
解析:依題意得|a|=1,a·b=1××cos 45°=1,|d|===1,c·d=a2-b2=-1,因此c在d方向上的投影等于=-1.
答案:-1
10.已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0),A,B是函數(shù)y=f(x)圖象上相鄰的最高點和最低點,若|AB|=2,則f(1)=________.
解析:設(shè)f(x)的最小正周期為T,則由題意,得=2,解得T=4,所以ω===,所以f(x)=sin,所以f(1)=sin=sin =.
答案:
11.在△ABC中,A=60°,b=1,S△ABC=,則=______.
解析:依題意得,bcsin A=c=,則c=4.由余弦定理得a==,因此==.由正弦定理得=.
答案:
7