2018版高考數(shù)學二輪復習 第1部分 重點強化專題 專題1 三角函數(shù) 第1講 三角函數(shù)問題教學案 理

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1、 第1講　三角函數(shù)問題 題型1　三角函數(shù)的圖象問題 (對應(yīng)學生用書第1頁) ■核心知識儲備………………………………………………………………………· 1．“五點法”作圖 用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內(nèi)的簡圖時，一般先列表，后描點，連線，其中所列表如下： x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2．圖象變換 ■典題試解尋法……………………………………………………………………… 【典題1】　(考查三角函數(shù)圖象的平移變換) (2017·全國Ⅰ卷)已知曲線C1：y＝cos

2、 x，C2：y＝sin，則下面結(jié)論正確的是(　　) A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 [思路分析]　異名三角函數(shù)同名三角函數(shù)得結(jié)論． [解析]　因為y＝sin＝cos＝cos，所以曲線C1：y＝cos x上各點的橫坐標

3、縮短到原來的，縱坐標不變，得到曲線y＝cos 2x，再把得到的曲線y＝cos 2x向左平移個單位長度，得到曲線y＝cos 2＝cos.故選D. [答案]　D 【典題2】　(考查已知三角函數(shù)的圖象求解析式)(2017·洛陽模擬)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖1-1所示，已知圖象經(jīng)過點A(0,1)，B，則f(x)＝________. 【導學號：07804000】 圖1-1 [思路分析]　由圖象得周期T，利用T＝得ω→由特殊點A(0,1)得關(guān)于φ的三角方程→利用φ的范圍確定φ的值→f(x)． [解析]　由已知得＝，∴T＝，又T＝，∴ω＝3. ∵f(0)＝1，∴s

4、in φ＝，又∵0＜φ＜，∴φ＝， ∴f(x)＝2sin(經(jīng)檢驗滿足題意)． [答案]　2sin [類題通法] (1)當原函數(shù)與所要變換得到的目標函數(shù)的名稱不同時，首先要將函數(shù)名稱統(tǒng)一，將y＝sin ωx(ω＞0)的圖象變換成y＝sin(ωx＋φ)的圖象時，只需進行平移變換，應(yīng)把ωx＋φ變換成ω，根據(jù)確定平移量的大小，根據(jù)的符號確定平移的方向. (2)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的確定 ①A由最值確定，A＝； ②ω由周期確定； (3)φ由圖象上的特殊點確定. 通常利用峰點、谷點或零點列出關(guān)于φ的方程，結(jié)合φ的范圍解得φ的值，所列方程如下： 峰點：ωx＋φ＝＋2kπ

5、；谷點：ωx＋φ＝－＋2kπ.,利用零點時，要區(qū)分該零點是升零點，還是降零點. 升零點(圖象上升時與x軸的交點)：ωx＋φ＝2kπ； 降零點(圖象下降時與x軸的交點)：ωx＋φ＝π＋2kπ.(以上k∈Z) ■對點即時訓練………………………………………………………………………· 1．已知函數(shù)f(x)＝sin2(ωx)－(ω＞0)的最小正周期為，若將其圖象沿x軸向右平移a(a＞0)個單位，所得圖象關(guān)于原點對稱，則實數(shù)a的最小值為(　　) A．　 B． C． D． D　[依題意得f(x)＝－＝－cos 2ωx，最小正周期T＝＝，ω＝2，所以f(x)＝－cos 4x，將f(x)＝－cos

6、 4x的圖象向右平移a個單位后得到函數(shù)g(x)＝－cos[4(x－a)]的圖象．又函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點對稱． 因此有g(shù)(0)＝－cos 4a＝0,4a＝kπ＋，k∈Z，即a＝＋，k∈Z，因此正實數(shù)a的最小值是，選D.] 2．函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數(shù)，A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的圖象如圖1-2所示，則f 的值為________． 圖1-2 1　[根據(jù)圖象可知，A＝2，＝－，所以周期T＝π，ω＝＝2. 又函數(shù)過點， 所以有sin＝1，而0＜φ＜π， 所以φ＝，則f(x)＝2sin， 因此f ＝2sin＝1.] ■題型強化集訓……………………

7、…………………………………………………· (見專題限時集訓T3、T5、T11) 題型2　三角函數(shù)的性質(zhì)問題 (對應(yīng)學生用書第2頁) ■核心知識儲備……………………………………………………………………… 1．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y＝sin x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z)；y＝cos x的單調(diào)遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tan x的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)． 2．三角函數(shù)的對稱性 y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx

8、＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得． y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數(shù)；當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數(shù)；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得． y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數(shù)． 3．三角函數(shù)的最值 (1)y＝asin x＋bcos x＋c型函數(shù)的最值： 通過引入輔助角φ可將此類函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為y＝sin(x＋φ)＋c的最值問題，然后利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解． (2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函數(shù)的最值：可利用降冪公式sin2x＝，sin xcos x＝，cos2x＝，將y＝asin2x＋bsin

9、 xcos x＋ccos2x轉(zhuǎn)化為y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，這樣就可將其轉(zhuǎn)化為(1)的類型來求最值． ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題1】　(考查三角函數(shù)圖象的對稱性)將函數(shù)f(x)＝cos 2x的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，則g(x)具有性質(zhì)(　　) A．最大值為1，圖象關(guān)于直線x＝對稱 B．在上單調(diào)遞增，為奇函數(shù) C．在上單調(diào)遞增，為偶函數(shù) D．周期為π，圖象關(guān)于點對稱 [解析]　由題意可得將f(x)＝cos 2x的圖象向右平移個單位得到g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的圖象，因為函數(shù)g(x)為

10、奇函數(shù)，所以排除C，又當x＝時函數(shù)值為0，當x＝時，函數(shù)值為，所以A和D中對稱的說法不正確，選B. [答案]　B 【典題2】　(考查三角函數(shù)的值域問題)(2017·全國Ⅱ卷)函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________． [解析]　f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－＋1. ∵x∈， ∴cos x∈[0,1]， ∴當cos x＝時，f(x)取得最大值，最大值為1. [答案]　1 【典題3】　(考查三角函數(shù)的定義域、周期性及單調(diào)性的判斷)已知函數(shù)f(x)＝4tan x·sin·cos－. 【導學號：07804001】 (1)求f(x)的定義域與最小

11、正周期； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性． [解]　(1)f(x)的定義域為. f(x)＝4tan xcos xcos－＝4sin xcos－ ＝4sin x－＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)令z＝2x－，則函數(shù)y＝2sin z的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 設(shè)A＝，B＝，易知A∩B＝. 所以當x∈時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減． [類題通法] 函數(shù)y＝Asi

12、n(ωx＋φ)的性質(zhì)及應(yīng)用的求解思路 第一步：先借助三角恒等變換及相應(yīng)三角函數(shù)公式把待求函數(shù)化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式； 第二步：把“ωx＋φ”視為一個整體，借助復合函數(shù)性質(zhì)求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的單調(diào)性及奇偶性、最值、對稱性等問題． ■對點即時訓練………………………………………………………………………· 1．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋2φ)－2sin φcos(ωx＋φ)(ω＞0，φ∈R)在上單調(diào)遞減，則ω的取值范圍是(　　) A．(0,2] B． C． D． C　[f(x)＝sin(ωx＋φ＋φ)－2sin φcos(ωx＋φ)＝cos φsin(ω

13、x＋φ)－sin φcos(ωx＋φ)＝sin ωx，＋2kπ≤ωx≤＋2kπ，k∈Z?＋≤x≤＋，k∈Z，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為， k∈Z，所以＋≤π＜≤＋，k∈Z，由＋≤π，可得＋2k≤ω，k∈Z，由≤＋，k∈Z，可得ω≤1＋，k∈Z，所以＋2k≤ω≤1＋，k∈Z，又≥－π＝，所以≥π，因為ω＞0，所以0＜ω≤2，所以當k＝0時，≤ω≤1.故選C.] 2．已知函數(shù)f(x)＝Acos2(ωx＋φ)＋1的最大值為3，f(x)的圖象與y軸的交點坐標為(0,2)，其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝(　　) 【導學號：07804002】 A．

14、2 468 B．3 501 C．4 032 D．5 739 C　[f(x)＝cos(2ωx＋2φ)＋＋1.由相鄰兩條對稱軸間的距離為2，知＝2，得T＝4＝，∴ω＝，由f(x)的最大值為3，得A＝2.又f(x)的圖象過點(0,2)，∴cos 2φ＝0，∴2φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，又0＜φ＜，∴φ＝，∴f(x)＝cos＋2＝－sin ＋2.∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 016)＝(－1＋2)＋(0＋2)＋(1＋2)＋(0＋2)＋(－1＋2)＋…＋(0＋2)＝2×2 016＝4 032.] ■題型強化集訓………………………………………………………………………· (見

15、專題限時集訓T1、T4、T6、T7、T8、T12、T13、T14) 題型3　三角恒等變換 (對應(yīng)學生用書第4頁) ■核心知識儲備………………………………………………………………………· 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； (2)cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； (3)tan(α±β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)tan 2α＝.

16、 3．輔助角公式 asin x＋bcos x＝sin(x＋φ). ■典題試解尋法………………………………………………………………………· 【典題1】　(考查給式求角問題)(2014·全國Ⅰ卷)設(shè)α∈，β∈，且tan α＝，則(　　) A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ [解析]　法一：(切化弦)由tan α＝得＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin. ∵α∈，β∈， ∴α－β∈，－α∈， 由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α， ∴2α－β＝. 法二：(弦化切)tan α

17、＝＝ ＝ ＝cot ＝tan ＝tan， ∴α＝kπ＋，k∈Z， ∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z. 當k＝0時，滿足2α－β＝，故選B. [答案]　B 【典題2】　(考查給值求值問題)(2016·江西八校聯(lián)考)如圖1-3，圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C，B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標為，∠AOC＝α，若|BC|＝1，則cos2－sincos －的值為________. 【導學號：07804003】 圖1-3 [解析]　由題意可知|OB|＝|BC|＝1，∴△OBC為正三角形． 由三角函數(shù)的定義可知，sin∠AOB＝sin＝， ∴cos2－sinco

18、s－＝－－＝cos α－sin α＝sin＝. [答案]　 [類題通法] 解決三角函數(shù)式的化簡求值要堅持“三看”原則：一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進行合理的拆分；二是“函數(shù)名稱”，是需進行“切化弦”還是“弦化切”等，從而確定使用的公式；三看“結(jié)構(gòu)特征”，了解變式或化簡的方向. ■對點即時訓練………………………………………………………………………· 1．對于銳角α，若sin＝，則cos＝(　　) A． B． C． D．－ D　[由α為銳角，且sin＝，可得cos＝，那么cos＝cos＝coscos －sinsin ＝，于是cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.故選D

19、.] 2．已知tan α＝，tan β＝－，且0＜α＜，＜β＜π，則2α－β的值為________． －　[tan 2α＝＝， 又0＜α＜，所以2α∈，又＜β＜π， 所以2α－β∈(－π，0)，又tan β＝－，則tan(2α－β)＝＝＝1， 故2α－β＝－.] ■題型強化集訓………………………………………………………………………· (見專題限時集訓T2、T9、T10) 三年真題| 驗收復習效果 (對應(yīng)學生用書第4頁) 1．(2015·全國Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　) A．－　　B.　　C．－　　D. D　[sin 20°

20、cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故選D.] 2．(2016·全國Ⅲ卷)若tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝(　　) A．　　　　B．　　　　C．1　　　　D． A　[因為tan α＝，則cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.故選A.] 3．(2016·全國Ⅱ卷)若將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為(　　) 【導學號：07804004】 A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z) C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋

21、(k∈Z) B　[將函數(shù)y＝2sin 2x的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)y＝2sin 2＝2sin的圖象．由2x＋＝kx＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后圖象的對稱軸為x＝＋(k∈Z)．] 4．(2017·全國Ⅲ卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在單調(diào)遞減 D　[A項，因為f(x)＝cos的周期為2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一個周期為－2π，A項正確． B項，因為f(x)＝cos圖象的對稱軸為直線x＝kπ－(k∈Z)，所以y

22、＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，B項正確． C項，f(x＋π)＝cos.令x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝kπ－π，當k＝1時，x＝，所以f(x＋π)的一個零點為x＝，C項正確． D項，因為f(x)＝cos的遞減區(qū)間為(k∈Z)，遞增區(qū)間為(k∈Z)，所以是減區(qū)間，是增區(qū)間，D項錯誤．故選D.] 5．(2015·全國Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖1-4所示，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) 【導學號：07804005】 圖1-4 A.，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z D　[由圖象知，最小正周期T＝2＝2， ∴＝2，∴ω＝π.

23、 由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝， ∴f(x)＝cos. 由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－