2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1 函數(shù)的概念及其表示 3.1.2 函數(shù)的表示法 第2課時(shí) 函數(shù)表示法的應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)

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2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1 函數(shù)的概念及其表示 3.1.2 函數(shù)的表示法 第2課時(shí) 函數(shù)表示法的應(yīng)用教學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)_第1頁
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1、第2課時(shí) 函數(shù)表示法的應(yīng)用 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn):1.在實(shí)際情境中,會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù).2.進(jìn)一步理解函數(shù)圖象的作用. 教學(xué)重點(diǎn):根據(jù)實(shí)際情境,選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法解決問題. 教學(xué)難點(diǎn):在實(shí)際情境中,構(gòu)造分段函數(shù)并解決問題. 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn) 應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的一般步驟 (1)閱讀材料、理解題意; (2)把實(shí)際問題抽象為函數(shù)問題,并建立相應(yīng)的函數(shù)模型; (3)利用函數(shù)知識(shí)對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行分析、研究,得出數(shù)學(xué)結(jié)論; (4)把數(shù)學(xué)結(jié)論(結(jié)果)應(yīng)用到實(shí)際問題中,解決實(shí)際問題. 【新知拓展】 應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題的關(guān)鍵是如何根據(jù)題意將

2、實(shí)際問題抽象、轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,然后通過求解數(shù)學(xué)問題,最后解決實(shí)際問題,這也是數(shù)學(xué)建模思想在實(shí)際問題中的具體應(yīng)用. 1.判一判(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)f(x)=2x+1還能用圖象法表示.(  ) (2)在實(shí)際情境中,只能用解析法表示函數(shù)關(guān)系.(  ) (3)利用函數(shù)解決實(shí)際問題時(shí),函數(shù)的定義域僅考慮使函數(shù)的解析式有意義即可.(  ) 答案 (1)√ (2)× (3)× 2.做一做 (1)如圖是反映某市某一天的溫度隨時(shí)間變化情況的圖象,由圖象可知,下列說法中錯(cuò)誤的是(  ) A.這天15時(shí)的溫度最高 B.這天3時(shí)的溫度最低 C.這天的最高溫度與最低

3、溫度相差13 ℃ D.這天21時(shí)的溫度是30 ℃ (2)李明在放學(xué)回家的路上,開始時(shí)和同學(xué)邊走邊討論問題,走得比較慢,后來他們索性停下來將問題徹底解決,再后來他快速地回到了家.下列圖象中與這一過程吻合得最好的是(  ) (3)下表列出了一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),表示將皮球從高處h落下時(shí),彈跳高度d與下落高度h的關(guān)系,則能表示這種關(guān)系的式子是________. 答案 (1)C (2)D (3)d=(或h=2d) 題型一 列表法在實(shí)際生活中的應(yīng)用                   例1 口香糖的生產(chǎn)已有很長(zhǎng)的歷史,咀嚼口香糖有很多益處,但其殘留物也會(huì)帶來污染,為了研究口香糖的黏

4、附力F與溫度t的關(guān)系,一位同學(xué)通過實(shí)驗(yàn),測(cè)定了不同溫度t下除去糖分的口香糖與瓷磚地面的黏附力F,得到了如下表所示的一組數(shù)據(jù): (1)請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù),繪制出口香糖黏附力F隨溫度t變化的圖象; (2)根據(jù)上述數(shù)據(jù)以及得到的圖象,你能得到怎樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)論呢? [解] (1) (2)實(shí)驗(yàn)結(jié)論:①隨著溫度的升高,口香糖的黏附力先增大后減?。虎诋?dāng)溫度在37 ℃時(shí),口香糖的黏附力最大. 金版點(diǎn)睛 (1)對(duì)于這類通過表格來反映兩個(gè)變量之間關(guān)系的問題,求解時(shí)需根據(jù)表中兩個(gè)變量的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù),分析其變化情況,即可做出判斷. (2)在根據(jù)實(shí)際問題的特征選擇合適的方法表示函數(shù)時(shí),如果自變量有限,函

5、數(shù)值確定,則可以選擇列表法也可以用圖象法;如果自變量的取值為區(qū)間的形式,則一般選擇解析法.  某商場(chǎng)在國(guó)慶促銷期間,規(guī)定商場(chǎng)內(nèi)所有商品均按標(biāo)價(jià)的80%出售.同時(shí),當(dāng)顧客在該商場(chǎng)內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后,按如下方案獲得相應(yīng)金額的消費(fèi)券: 根據(jù)上述促銷方法,顧客在該商場(chǎng)購(gòu)物可以獲得雙重優(yōu)惠,例如,購(gòu)買標(biāo)價(jià)為400元的商品,則消費(fèi)金額為320元,獲得的優(yōu)惠額為400-320+30=110元.若顧客購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品,則所能得到的優(yōu)惠額為(  ) A.130元 B.330元 C.360元 D.800元 答案 B 解析 當(dāng)顧客購(gòu)買一件標(biāo)價(jià)為1000元的商品時(shí),消費(fèi)金額為10

6、00×80%=800.由表格,可知該顧客還可獲得130元的消費(fèi)券,故所能得到的優(yōu)惠額為1000-800+130=330元.故選B. 題型二 圖象法在實(shí)際生活中的應(yīng)用 例2 如圖,該曲線表示一人騎自行車離家的距離與時(shí)間的關(guān)系.騎車者9時(shí)離開家,15時(shí)回到家.根據(jù)這個(gè)曲線圖,請(qǐng)你回答下列問題: (1)最初到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方是什么時(shí)間?離家多遠(yuǎn)? (2)何時(shí)開始第一次休息?休息了多長(zhǎng)時(shí)間? (3)第一次休息時(shí),離家多遠(yuǎn)? (4)11:00到12:00他騎了多少千米? (5)他在9:00~10:00和10:00~10:30的平均速度分別是多少? (6)他在哪段時(shí)間里停止前進(jìn)并休息

7、用午餐? [解] (1)最初到達(dá)離家最遠(yuǎn)的地方的時(shí)間是12時(shí),離家30千米. (2)10:30開始第一次休息,休息了半小時(shí). (3)第一次休息時(shí),離家17千米. (4)11:00至12:00他騎了13千米. (5)9:00~10:00的平均速度是10千米/時(shí);10:00~10:30的平均速度是14千米/時(shí). (6)從12時(shí)到13時(shí)停止前進(jìn),并休息用午餐較為符合實(shí)際情形. 金版點(diǎn)睛 利用圖象法解決實(shí)際問題的解題策略 仔細(xì)閱讀題目條件,認(rèn)真觀察分析圖象和數(shù)據(jù)中的信息,充分利用圖象和數(shù)據(jù)中的信息解決問題.  下列圖象中,哪幾個(gè)圖象與下述三事件分別吻合得最好?請(qǐng)你為剩下的那個(gè)圖象寫

8、出一件事. (1)我離開家不久,發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了,停車思考一番,于是返回家里找到了作業(yè)本再上學(xué); (2)我騎著車一路勻速行駛,只是途中遇到了一次交通堵塞,耽擱了一些時(shí)間; (3)我出發(fā)后,心情輕松,緩緩行進(jìn),后來為了趕時(shí)間開始加速. 解 (1)分析可知離開家的距離先逐漸增大;后來發(fā)現(xiàn)作業(yè)本忘家里了,返回家的過程中離開家的距離又逐漸減??;找到作業(yè)本后離開家的距離又逐漸增大,故(1)對(duì)應(yīng)D. (2)分析可知離開家的距離先逐漸增大;后因?yàn)榻煌ǘ氯?,在一段時(shí)間內(nèi)沒有前進(jìn),因此離開家的距離未變化;交通通暢后繼續(xù)前進(jìn),離開家的距離又逐漸增加,故(2)對(duì)應(yīng)A. (3)剛開始緩緩前

9、進(jìn),所以離開家的距離緩緩增加;加速后離開家的距離急劇增加,故(3)對(duì)應(yīng)B. 剩下的圖象C為:我出發(fā)后越走越累,所以速度越來越慢(只要合理即可). 題型三 解析法在實(shí)際生活中的應(yīng)用 例3 某市出租車的現(xiàn)行計(jì)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是:路程在2 km以內(nèi)(含2 km)按起步價(jià)8元收取,超過2 km后的路程按1.9 元/km 收取,但超過10 km后的路程需加收50%的返空費(fèi)(即單價(jià)為1.9×(1+50%)=2.85(元/km). (1)將某乘客搭乘一次出租車的費(fèi)用f(x)(單位:元)表示為行程x(0

10、乘另一輛出租車完成余下行程,請(qǐng)問:他這樣做是否比只乘一輛出租車完成全部行程更省錢? (現(xiàn)實(shí)中要計(jì)等待時(shí)間且最終付費(fèi)取整數(shù),本題在計(jì)算時(shí)都不予考慮) [解] (1)由題意,得車費(fèi)f(x)關(guān)于路程x的函數(shù)為: f(x)= = (2)只乘一輛車的車費(fèi)為:f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元); 換乘2輛車的車費(fèi)為:2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元). ∵40.3>38.8,∴該乘客換乘比只乘一輛車更省錢. 金版點(diǎn)睛 對(duì)于此類問題,要根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇表示方法,一般情況下用解析法表示.用解析法表示時(shí),首先找出自變量x和函數(shù)y,然后利用題干條件用x表示y

11、,最后寫出定義域. 注意:求實(shí)際問題中函數(shù)的定義域時(shí),除考慮使函數(shù)解析式有意義外,還要考慮使實(shí)際問題有意義.  為了節(jié)約用水,某市打算出臺(tái)一項(xiàng)水費(fèi)政策,規(guī)定每季度每人用水量不超過5噸時(shí),每噸水的水費(fèi)為1.2元,若超過5噸而不超過6噸時(shí),超過部分的水費(fèi)按原價(jià)的200%收費(fèi),若超過6噸而不超過7噸時(shí),超過部分的水費(fèi)按原價(jià)的400%收費(fèi).如果某人本季度實(shí)際用水量為x(x≤7)噸,試計(jì)算本季度他應(yīng)交的水費(fèi)y(單位:元). 解 由題意知,當(dāng)0

12、×2+(x-6)×1.2×4=4.8x-20.4. 所以應(yīng)交的水費(fèi)y= 1.向高為H的水瓶中注水,注滿為止,如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示,那么水瓶的形狀可以是(  ) 答案 B 解析 取h=與h=H兩個(gè)位置觀察注水量V,知h=時(shí),水量已經(jīng)超過,由此可以判斷水瓶的下半部分體積大,上半部分體積小.故選B. 2.小明騎車上學(xué),開始時(shí)勻速行駛,途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間,后為了趕時(shí)間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是(  ) 答案 C 解析 出發(fā)時(shí)距學(xué)校最遠(yuǎn),先排除A,中途堵塞停留,距離沒變,再排除D,堵塞停留后比原來騎得快,因此排除

13、B,故選C. 3.一等腰三角形的周長(zhǎng)是20,底邊長(zhǎng)y是關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù),則它的解析式為(  ) A.y=20-2x B.y=20-2x(0y,即2x>20-2x,即x>5, 由y>0即20-2x>0得x<10, 所以5

14、K金的K數(shù)與含金量之間是函數(shù)關(guān)系,且K數(shù)越大含金量越高. 5.甲、乙兩車同時(shí)沿某公路從A地駛往300 km外的B地,甲車先以75 km/h的速度行駛,在到達(dá)AB中點(diǎn)C處停留2 h后,再以100 km/h的速度駛往B地,乙車始終以速度v行駛. (1)請(qǐng)將甲車離A地的距離x(km)表示為離開A地時(shí)間t(h)的函數(shù),并畫出這個(gè)函數(shù)圖象; (2)若兩車在途中恰好相遇兩次(不包括A,B兩地),試確定乙車行駛速度v的取值范圍. 解 (1)x= 它的圖象如圖①所示. (2)由已知,乙車離開A地的距離x(km)表示為離開A地的時(shí)間t(h)的函數(shù)為x=vt,其圖象是一條線段.由圖象知,當(dāng)此線段經(jīng)過點(diǎn)(4,150)時(shí),v=(km/h);當(dāng)此線段經(jīng)過點(diǎn)(5.5,300)時(shí),v=(km/h). ∴當(dāng)

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