6、式為_(kāi)_______．
答案 (1)C (2)[－1,2) (－1,1] (3)4 (4)f(x)＝x＋
題型一 函數(shù)的三種表示方法
例1 某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x(臺(tái))與收款總額y(元)之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來(lái)．
[解] (1)列表法：
(2)圖像法：
(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．
金版點(diǎn)睛
函數(shù)的表示方法
(1)解析法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是簡(jiǎn)明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過(guò)解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．中學(xué)階段所研究的主要是能夠用解析式表示的函數(shù)．
7、
(2)圖像法的優(yōu)點(diǎn)是能直觀形象地表示出隨自變量的變化，相應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)，有利于我們通過(guò)圖像來(lái)研究函數(shù)的某些性質(zhì)．圖像法在生產(chǎn)和生活中有許多應(yīng)用，如企業(yè)生產(chǎn)圖、股市走勢(shì)圖等．
(3)列表法的優(yōu)點(diǎn)是不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，表格法在實(shí)際生產(chǎn)和生活中也有廣泛應(yīng)用，如銀行利率表、列車(chē)時(shí)刻表等．
某問(wèn)答游戲的規(guī)則是：共5道選擇題，基礎(chǔ)分為50分，每答錯(cuò)一道題扣10分，答對(duì)不扣分，試分別用列表法、圖像法、解析法表示一個(gè)參與者的得分y與答錯(cuò)題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關(guān)系．
解 (1)該函數(shù)關(guān)系用列表法表示為：
x/道
0
8、
1
2
3
4
5
y/分
50
40
30
20
10
0
(2)該函數(shù)關(guān)系用圖像法表示，如圖．
(3)該函數(shù)關(guān)系用解析法表示為y＝50－10x(x∈{0,1,2,3,4,5}).
題型二 作函數(shù)的圖像
例2 作出下列各函數(shù)的圖像：
(1)y＝1－x，x∈Z；
(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．
[解] (1)列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
…
y
…
3
2
1
0
－1
－2
…
描點(diǎn)可得這個(gè)函數(shù)的圖像由一些點(diǎn)組成，這些點(diǎn)都在直線y＝1－x上，
∵x∈Z，∴y∈Z，這些點(diǎn)稱(chēng)為整
9、點(diǎn)，如圖(1)所示．
(2)列表：
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
描點(diǎn)、連線可得這個(gè)函數(shù)的圖像是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分，如圖(2)所示．
金版點(diǎn)睛
作函數(shù)圖像應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點(diǎn)、連線．作圖像時(shí)一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，最后列表畫(huà)出圖像．
(2)函數(shù)的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點(diǎn)，畫(huà)圖時(shí)要注意關(guān)鍵點(diǎn)，如圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)等等，還要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn)．
畫(huà)出下列函數(shù)的圖像：
10、
(1)y＝x＋1(x≤0)；
(2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)．
解 (1)y＝x＋1(x≤0)表示一條射線，圖像如圖(1)．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，(x>1或x<－1)是拋物線y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之間的部分后剩余的曲線，如圖(2)．
題型三 函數(shù)解析式的求法
例3 (1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝9x＋4，求f(x)的解析式；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
[解] (1)設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，
則f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.
∴解得k＝3，b＝1或
11、k＝－3，b＝－2.
∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.
(2)解法一(配湊法)：
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
解法二(換元法)：
令＋1＝t(t≥1)，則x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
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求函數(shù)解析式的五種常用方法
(1)待定系數(shù)法：已知函數(shù)f(x)的函數(shù)類(lèi)型，求f(x)的解析式時(shí)，根據(jù)類(lèi)型設(shè)出其解析式，確定其系數(shù)即可．
(2)換元法：即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一個(gè)含t的解析式，即為函數(shù)解析
12、式，注意：換元后新元的范圍．
(3)配湊法：已知f[g(x)]的解析式，要求f(x)時(shí)，可從f[g(x)]的解析式中拼湊出“g(x)”，即用g(x)來(lái)表示f(x)，再將解析式兩邊的g(x)用x代替即可．
(4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f[g(x)]的解析式時(shí)，可直接用新自變量g(x)替換y＝f(x)中的x.
(5)方程組法：當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個(gè)表達(dá)式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解．
(1)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求該二次函數(shù)的解析式；
(2)已知函數(shù)f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f
13、(x)；
(3)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x2)；
(4)已知函數(shù)y＝f(x)，滿足2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)．
解 (1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為
f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由題意，得
解得故f(x)＝x2＋1.
(2)解法一：令x＋1＝t，則x＝t－1，
代入，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2，
即f(t)＝t2－5t＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.
解法二：f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1
＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.
(3)解法一：∵f(＋4)＝()2＋8＝(＋4)
14、2－16，
∴f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)．
解法二：令＋4＝t(t≥4)，則x＝(t－4)2.
∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)，
即f(x)＝x2－16(x≥4)．
∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)．
(4)用代替x有2f＋f(x)＝，
所以有
①×2－②，得3f(x)＝4x－，即f(x)＝－(x≠0).
題型四 分段函數(shù)
例4 (1)已知函數(shù)f(x)＝
①求f(2)，f；
②若f(a)＝3，求a的值；
(2)已知函數(shù)f(x)＝
①畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖像；
②求函數(shù)f
15、(x)的定義域和值域；
③利用圖像解不等式f(x)>x.
[解] (1)①f(2)＝2×2＝4，f＝2＝.
②當(dāng)a≤－1時(shí)，f(a)＝a＋2，即a＋2＝3，
∴a＝1(舍去)．
當(dāng)－11時(shí)，f(x)＝1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,1]．
③由圖像，知不
16、等式f(x)>x的解集為{x|x<0}．
金版點(diǎn)睛
分段函數(shù)求值應(yīng)注意的問(wèn)題
(1)分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，然后代入相應(yīng)的解析式求得，當(dāng)不明確時(shí)要分類(lèi)討論．
(2)分段函數(shù)的解析式因其特點(diǎn)可以分成兩個(gè)或兩個(gè)以上的不同解析式，所以它的圖像也由幾部分構(gòu)成，有的可以是光滑的曲線段，有的也可以是一些孤立的點(diǎn)或幾段線段，而分段函數(shù)的定義域與值域的最好的求法也是“圖像法”，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是分別求出各段上的值域的并集．
(1)已知函數(shù)f(x)＝則f＝________；
(2)如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿逆時(shí)針?lè)较?/p>
17、由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y.
①根據(jù)題意寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)解析式；
②作出函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像求y的最大值．
答案 (1) (2)見(jiàn)解析
解析 (1)由于≤1，所以f＝－2＝－，
而>1，所以f＝1＋2＝.
所以f＝.
(2)①點(diǎn)P移動(dòng)，△ABP的面積隨之變化，可分點(diǎn)P落在邊BC上，CD上，DA上三種情況進(jìn)行討論，得關(guān)系式
y＝
②函數(shù)的圖像如圖所示．由圖像可得ymax＝8.
1．在下面四個(gè)圖中，可表示函數(shù)y＝f(x)的圖像的只可能是( )
答案 D
解析 根據(jù)函數(shù)的定義，任意作出與x軸垂直的直線
18、，直線與函數(shù)圖像至多有一個(gè)交點(diǎn)，因此只有D符合．
2．若f(x)＝3x－4，g(x－1)＝f(x)，則g(x)＝( )
A．3x－3 B．3x－5
C．3x－1 D．3x＋4
答案 C
解析 ∵g(x－1)＝3x－4＝3(x－1)－1，
∴g(x)＝3x－1.
3．函數(shù)y＝x＋的圖像是圖中的( )
答案 C
解析 ∵y＝x＋＝畫(huà)出圖像即為C.
4．設(shè)函數(shù)f(x)＝則f的值為_(kāi)_____．
答案
解析 f＝，f＝f＝.
5．某市“招手即停”公共汽車(chē)的票價(jià)按下列規(guī)則制定：
(1)5 km以?xún)?nèi)(含5 km)，票價(jià)2元；
(2)5 km以上，每增加5 km，票價(jià)增加1元(不足5 km的部分按5 km計(jì)算)．
如果某條線路的總里程為20 km，請(qǐng)根據(jù)題意，寫(xiě)出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫(huà)出函數(shù)的圖像．
解 設(shè)里程為x km時(shí)，票價(jià)為y元．
由題意可知，自變量x的取值范圍是(0,20]．由“招手即?！惫财?chē)票價(jià)的制定規(guī)則，可得函數(shù)解析式為
y＝
根據(jù)這個(gè)函數(shù)的解析式，可畫(huà)出函數(shù)的圖像，如圖所示．
11
2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第2課時(shí) 函數(shù)的表示方法學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)
