2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第2課時(shí) 函數(shù)的表示方法學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)

第2課時(shí)　函數(shù)的表示方法 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù)，理解函數(shù)圖像的作用.2.通過具體實(shí)例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用． 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的三種表示方法；分段函數(shù)的圖像及應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù). 【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨(dú)具內(nèi)容) 我們已經(jīng)知道圓的面積A與半徑r之間的關(guān)系A(chǔ)＝πr2是函數(shù)關(guān)系，銀行里常用的“利息表”和我國人口出生率的變化曲線也是函數(shù)關(guān)系等等，既然都是函數(shù)關(guān)系，它們的表示各有什么特征？對(duì)你解決問題有哪些益處？學(xué)了本節(jié)知識(shí)，你一定有很深的體會(huì)． 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)一　函數(shù)的表示方法 (1)解析法 用代數(shù)式(或解析式)來表示函數(shù)的方法稱為解析法． (2)列表法 用列表的形式給出函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種表示函數(shù)的方法稱為列表法． (3)圖像法 一般地，將函數(shù)y＝f(x)，x∈A中的自變量x和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y，分別看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，則滿足條件的點(diǎn)(x，y)組成的集合F稱為函數(shù)的圖像，即F＝{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}． 這就是說，如果F是函數(shù)y＝f(x)的圖像，則圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都滿足函數(shù)關(guān)系y＝f(x)；反之，滿足函數(shù)關(guān)系y＝f(x)的點(diǎn)(x，y)都在函數(shù)圖像F上． 用函數(shù)的圖像表示函數(shù)的方法稱為圖像法． 知識(shí)點(diǎn)二 分段函數(shù) 如果一個(gè)函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對(duì)應(yīng)方式，則稱其為分段函數(shù)． 知識(shí)點(diǎn)三 常數(shù)函數(shù) 值域只有一個(gè)元素的函數(shù)，這類函數(shù)通常稱為常數(shù)函數(shù)． 【新知拓展】 1．對(duì)函數(shù)的三種表示法的說明 (1)列表法：采用列表法的前提是定義域內(nèi)自變量的個(gè)數(shù)較少，當(dāng)自變量的個(gè)數(shù)較多時(shí)，使用不方便． (2)圖像法：圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是離散的點(diǎn)． (3)解析法：利用解析式表示函數(shù)的前提是變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系明確，且利用解析法表示函數(shù)時(shí)要注意注明其定義域． 2．關(guān)于分段函數(shù) (1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)． (2)研究分段函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則，尤其是在作分段函數(shù)的圖像時(shí)，可將各段的圖像分別畫出來，從而得到整個(gè)函數(shù)的圖像． (3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，其值域是各段值域的并集，寫定義域時(shí)，區(qū)間端點(diǎn)應(yīng)不重不漏． (4)求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，關(guān)鍵是看自變量的取值屬于哪一段，就用哪一段的解析式求解． 3．關(guān)于函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題，在確定出函數(shù)的解析式后，不僅要注意解析式本身對(duì)自變量的限制，還要注意自變量的實(shí)際意義． 1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示．(　　) (2)函數(shù)的圖像一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線．(　　) (3)分段函數(shù)分幾段，其圖像就有相應(yīng)的幾段．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．做一做 (1)已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)等于(　　) x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．不存在 (2)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則f(x)的定義域是______，值域是________． (3)已知函數(shù)f(x)＝則f(－2)＝________. (4)已知函數(shù)f(x)是一次函數(shù)，且其圖像過點(diǎn)A(－2,0)，B(1，5)兩點(diǎn)，則f(x)的解析式為________． 答案　(1)C　(2)[－1,2)　(－1,1]　(3)4　(4)f(x)＝x＋ 題型一 函數(shù)的三種表示方法 例1　某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x(臺(tái))與收款總額y(元)之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來． [解]　(1)列表法： (2)圖像法： (3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}． 金版點(diǎn)睛 函數(shù)的表示方法 (1)解析法有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)：一是簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系；二是可以通過解析式求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．中學(xué)階段所研究的主要是能夠用解析式表示的函數(shù)． (2)圖像法的優(yōu)點(diǎn)是能直觀形象地表示出隨自變量的變化，相應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢(shì)，有利于我們通過圖像來研究函數(shù)的某些性質(zhì)．圖像法在生產(chǎn)和生活中有許多應(yīng)用，如企業(yè)生產(chǎn)圖、股市走勢(shì)圖等． (3)列表法的優(yōu)點(diǎn)是不需要計(jì)算就可以直接看出與自變量的值相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，表格法在實(shí)際生產(chǎn)和生活中也有廣泛應(yīng)用，如銀行利率表、列車時(shí)刻表等． 　某問答游戲的規(guī)則是：共5道選擇題，基礎(chǔ)分為50分，每答錯(cuò)一道題扣10分，答對(duì)不扣分，試分別用列表法、圖像法、解析法表示一個(gè)參與者的得分y與答錯(cuò)題目道數(shù)x(x∈{0,1,2,3,4,5})之間的函數(shù)關(guān)系． 解　(1)該函數(shù)關(guān)系用列表法表示為： x/道 0 1 2 3 4 5 y/分 50 40 30 20 10 0 (2)該函數(shù)關(guān)系用圖像法表示，如圖． (3)該函數(shù)關(guān)系用解析法表示為y＝50－10x(x∈{0,1,2,3,4,5}). 題型二 作函數(shù)的圖像 例2　作出下列各函數(shù)的圖像： (1)y＝1－x，x∈Z； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [解]　(1)列表： x … －2 －1 0 1 2 3 … y … 3 2 1 0 －1 －2 … 描點(diǎn)可得這個(gè)函數(shù)的圖像由一些點(diǎn)組成，這些點(diǎn)都在直線y＝1－x上， ∵x∈Z，∴y∈Z，這些點(diǎn)稱為整點(diǎn)，如圖(1)所示． (2)列表： x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 描點(diǎn)、連線可得這個(gè)函數(shù)的圖像是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分，如圖(2)所示． 金版點(diǎn)睛 作函數(shù)圖像應(yīng)注意的問題 (1)作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點(diǎn)、連線．作圖像時(shí)一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，最后列表畫出圖像． (2)函數(shù)的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點(diǎn)，畫圖時(shí)要注意關(guān)鍵點(diǎn)，如圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)等等，還要分清這些關(guān)鍵點(diǎn)是實(shí)心點(diǎn)還是空心點(diǎn)． 　畫出下列函數(shù)的圖像： (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1或x<－1)． 解　(1)y＝x＋1(x≤0)表示一條射線，圖像如圖(1)． (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，(x>1或x<－1)是拋物線y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之間的部分后剩余的曲線，如圖(2)． 題型三 函數(shù)解析式的求法 例3　(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝9x＋4，求f(x)的解析式； (2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式． [解]　(1)設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)， 則f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4. ∴解得k＝3，b＝1或k＝－3，b＝－2. ∴f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2. (2)解法一(配湊法)： ∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 解法二(換元法)： 令＋1＝t(t≥1)，則x＝(t－1)2(t≥1)， ∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)． ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 金版點(diǎn)睛 求函數(shù)解析式的五種常用方法 (1)待定系數(shù)法：已知函數(shù)f(x)的函數(shù)類型，求f(x)的解析式時(shí)，根據(jù)類型設(shè)出其解析式，確定其系數(shù)即可． (2)換元法：即令t＝g(x)，解出x，代入h(x)中，得到一個(gè)含t的解析式，即為函數(shù)解析式，注意：換元后新元的范圍． (3)配湊法：已知f[g(x)]的解析式，要求f(x)時(shí)，可從f[g(x)]的解析式中拼湊出“g(x)”，即用g(x)來表示f(x)，再將解析式兩邊的g(x)用x代替即可． (4)代入法：已知y＝f(x)的解析式求y＝f[g(x)]的解析式時(shí)，可直接用新自變量g(x)替換y＝f(x)中的x. (5)方程組法：當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的含有自變量的兩個(gè)表達(dá)式之間有互為相反數(shù)或互為倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解． 　(1)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求該二次函數(shù)的解析式； (2)已知函數(shù)f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)； (3)已知f(＋4)＝x＋8，求f(x2)； (4)已知函數(shù)y＝f(x)，滿足2f(x)＋f＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)． 解　(1)設(shè)二次函數(shù)的解析式為 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由題意，得 解得故f(x)＝x2＋1. (2)解法一：令x＋1＝t，則x＝t－1， 代入，得f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2， 即f(t)＝t2－5t＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6. 解法二：f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1 ＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6. (3)解法一：∵f(＋4)＝()2＋8＝(＋4)2－16， ∴f(x)＝x2－16(x≥4)． ∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)． 解法二：令＋4＝t(t≥4)，則x＝(t－4)2. ∴f(t)＝(t－4)2＋8(t－4)＝t2－16(t≥4)， 即f(x)＝x2－16(x≥4)． ∴f(x2)＝x4－16(x≥2或x≤－2)． (4)用代替x有2f＋f(x)＝， 所以有 ①×2－②，得3f(x)＝4x－，即f(x)＝－(x≠0). 題型四 分段函數(shù) 例4　(1)已知函數(shù)f(x)＝ ①求f(2)，f； ②若f(a)＝3，求a的值； (2)已知函數(shù)f(x)＝ ①畫出函數(shù)f(x)的圖像； ②求函數(shù)f(x)的定義域和值域； ③利用圖像解不等式f(x)>x. [解]　(1)①f(2)＝2×2＝4，f＝2＝. ②當(dāng)a≤－1時(shí)，f(a)＝a＋2，即a＋2＝3， ∴a＝1(舍去)． 當(dāng)－1<a<2時(shí)，f(a)＝a2＝3，∴a＝±， ∵－<－1，∴a＝－不符合題意，舍去，∴a＝. 當(dāng)a≥2時(shí)，f(a)＝2a＝3，∴a＝1.5(舍去)． 綜上可知，a＝. (2)①函數(shù)f(x)的圖像如右圖所示． ②由條件，知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽. 由圖像，知當(dāng)|x|≤1時(shí)，f(x)＝x2的值域?yàn)閇0,1]，當(dāng)|x|>1時(shí)，f(x)＝1，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,1]． ③由圖像，知不等式f(x)>x的解集為{x|x<0}． 金版點(diǎn)睛 分段函數(shù)求值應(yīng)注意的問題 (1)分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，然后代入相應(yīng)的解析式求得，當(dāng)不明確時(shí)要分類討論． (2)分段函數(shù)的解析式因其特點(diǎn)可以分成兩個(gè)或兩個(gè)以上的不同解析式，所以它的圖像也由幾部分構(gòu)成，有的可以是光滑的曲線段，有的也可以是一些孤立的點(diǎn)或幾段線段，而分段函數(shù)的定義域與值域的最好的求法也是“圖像法”，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是分別求出各段上的值域的并集． 　(1)已知函數(shù)f(x)＝則f＝________； (2)如圖所示，在邊長為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿逆時(shí)針方向由B點(diǎn)(起點(diǎn))向A點(diǎn)(終點(diǎn))移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y. ①根據(jù)題意寫出y與x之間的函數(shù)解析式； ②作出函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像求y的最大值． 答案　(1)　(2)見解析 解析　(1)由于≤1，所以f＝－2＝－， 而>1，所以f＝1＋2＝. 所以f＝. (2)①點(diǎn)P移動(dòng)，△ABP的面積隨之變化，可分點(diǎn)P落在邊BC上，CD上，DA上三種情況進(jìn)行討論，得關(guān)系式 y＝ ②函數(shù)的圖像如圖所示．由圖像可得ymax＝8. 1．在下面四個(gè)圖中，可表示函數(shù)y＝f(x)的圖像的只可能是(　　) 答案　D 解析　根據(jù)函數(shù)的定義，任意作出與x軸垂直的直線，直線與函數(shù)圖像至多有一個(gè)交點(diǎn)，因此只有D符合． 2．若f(x)＝3x－4，g(x－1)＝f(x)，則g(x)＝(　　) A．3x－3 B．3x－5 C．3x－1 D．3x＋4 答案　C 解析　∵g(x－1)＝3x－4＝3(x－1)－1， ∴g(x)＝3x－1. 3．函數(shù)y＝x＋的圖像是圖中的(　　) 答案　C 解析　∵y＝x＋＝畫出圖像即為C. 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝則f的值為______． 答案　 解析　f＝，f＝f＝. 5．某市“招手即?！惫财嚨钠眱r(jià)按下列規(guī)則制定： (1)5 km以內(nèi)(含5 km)，票價(jià)2元； (2)5 km以上，每增加5 km，票價(jià)增加1元(不足5 km的部分按5 km計(jì)算)． 如果某條線路的總里程為20 km，請(qǐng)根據(jù)題意，寫出票價(jià)與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像． 解　設(shè)里程為x km時(shí)，票價(jià)為y元． 由題意可知，自變量x的取值范圍是(0,20]．由“招手即?！惫财嚻眱r(jià)的制定規(guī)則，可得函數(shù)解析式為 y＝ 根據(jù)這個(gè)函數(shù)的解析式，可畫出函數(shù)的圖像，如圖所示． 11