2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 回顧教材 以點(diǎn)帶面 4 回顧4 數(shù)列與不等式學(xué)案
《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 回顧教材 以點(diǎn)帶面 4 回顧4 數(shù)列與不等式學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 回顧教材 以點(diǎn)帶面 4 回顧4 數(shù)列與不等式學(xué)案(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、回顧4 數(shù)列與不等式 [必記知識(shí)] 等差數(shù)列 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則 (1)an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d,若p+q=m+n,則ap+aq=am+an. (2)ap=q,aq=p(p≠q)?ap+q=0;Sm+n=Sm+Sn+mnd. (3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成的數(shù)列是等差數(shù)列. (4)=n+是關(guān)于n的一次函數(shù)或常數(shù)函數(shù),數(shù)列也是等差數(shù)列. (5)Sn====…. (6)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2m(m∈N*),公差為d,所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則所有項(xiàng)之和S2m=m(am+am+1)(am,a
2、m+1為中間兩項(xiàng)),S偶-S奇=md,=. (7)若等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2m-1(m∈N*),所有奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,所有偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則所有項(xiàng)之和S2m-1=(2m-1)am(am為中間項(xiàng)),S奇=mam,S偶=(m-1)am,S奇-S偶=am,=. (8)若Sm=n,Sn=m(m≠n),則Sm+n=-(m+n). 等比數(shù)列 (1)an=am·qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*). (2)若m+n=p+q,則am·an=ap·aq;反之,不一定成立(m,n,p,q∈N*). (3)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a
3、3m,…成等比數(shù)列(m∈N*). (4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-S(k-1)n,…成等比數(shù)列(n≥2,且n∈N*). (5)若等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n(n∈N*),公比為q,奇數(shù)項(xiàng)之和為S奇,偶數(shù)項(xiàng)之和為S偶,則=q. (6){an},{bn}成等比數(shù)列,則{λan},{},{anbn},{}成等比數(shù)列(λ≠0,n∈N*). (7)通項(xiàng)公式an=a1qn-1=·qn,從函數(shù)的角度來(lái)看,它可以看作是一個(gè)常數(shù)與一個(gè)關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)的積,其圖象是指數(shù)型函數(shù)圖象上一系列孤立的點(diǎn). (8)與等差中項(xiàng)不同,只有同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才能有等比中項(xiàng);兩個(gè)同號(hào)的數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè),它們互為
4、相反數(shù). (9)三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,通常設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為,x,xq;四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,通常設(shè)這四個(gè)數(shù)分別為,,xq,xq3. [提醒])?。?)如果數(shù)列{an}成等差數(shù)列,那么數(shù)列{Aan}(Aan總有意義)必成等比數(shù)列. (2)如果數(shù)列{an}成等比數(shù)列,且an>0,那么數(shù)列{logaan}(a>0且a≠1)必成等差數(shù)列. (3)如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列,那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)列;數(shù)列{an}是常數(shù)列僅是數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要不充分條件. (4)如果兩個(gè)等差數(shù)列有公共項(xiàng),那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列,且新等差數(shù)列的公差是原來(lái)兩
5、個(gè)等差數(shù)列的公差的最小公倍數(shù). (5)如果由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)順次組成一個(gè)新數(shù)列,那么常選用“由特殊到一般”的方法進(jìn)行討論,且以等比數(shù)列的項(xiàng)為主,探求等比數(shù)列中哪些項(xiàng)是它們的公共項(xiàng),從而分析構(gòu)成什么樣的新數(shù)列. 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步驟:一化(將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù));二判(判斷Δ的符號(hào));三解(解對(duì)應(yīng)的一元二次方程);四寫(xiě)(大于取兩邊,小于取中間). 解含有參數(shù)的一元二次不等式一般要分類(lèi)討論,往往從以下幾個(gè)方面來(lái)考慮:①二次項(xiàng)系數(shù),它決定二次函數(shù)的開(kāi)口方向;②判別式Δ,它決定根的情形,一般分Δ>0,Δ=0,Δ<0三種情況;③在有根的條件下,要比較兩
6、根的大小. 一元二次不等式的恒成立問(wèn)題 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的條件是 分式不等式 >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0); ≥0(≤0)? [提醒])?。?)不等式兩端同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或同時(shí)除以一個(gè)數(shù),不討論這個(gè)數(shù)的正負(fù),從而出錯(cuò). (2)解形如一元二次不等式ax2+bx+c>0時(shí),易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯(cuò)解,要注意分a>0,a<0進(jìn)行討論. (3)應(yīng)注意求解分式不等式時(shí)正確進(jìn)行同解變形,不能把≤0直接轉(zhuǎn)化為f(x)·g(x)≤0,而忽視g(x)≠0. 圖解法求解線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的基本要點(diǎn)
7、 (1)定域:畫(huà)出不等式(組)所表示的平面區(qū)域,注意平面區(qū)域的邊界與不等式中的不等號(hào)的對(duì)應(yīng). (2)平移:畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)等于0時(shí)所表示的直線(xiàn)l,平行移動(dòng)直線(xiàn),讓其與可行域有公共點(diǎn),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定最優(yōu)解;注意熟練掌握常見(jiàn)的幾類(lèi)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義. (3)求值:利用直線(xiàn)方程構(gòu)成的方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù),求出最值. [提醒])?。?)直線(xiàn)定界,特殊點(diǎn)定域:注意不等式中的不等號(hào)有無(wú)等號(hào),無(wú)等號(hào)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)成虛線(xiàn),有等號(hào)時(shí)直線(xiàn)畫(huà)成實(shí)線(xiàn).若直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn),特殊點(diǎn)常選取原點(diǎn);若直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),則特殊點(diǎn)常選?。?,0),(0,1). (2)線(xiàn)性約束條件下的線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)
8、域的頂點(diǎn)或邊界處取得,最優(yōu)解不一定唯一,有時(shí)可能有多個(gè);非線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)或非線(xiàn)性可行域的最值問(wèn)題,最優(yōu)解不一定在頂點(diǎn)或邊界處取得. 利用基本不等式求最值 (1)對(duì)于正數(shù)x,y,若積xy是定值p,則當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),和x+y有最小值2. (2)對(duì)于正數(shù)x,y,若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),積xy有最大值s2. (3)已知a,b,x,y∈R+,若ax+by=1,則有+=(ax+by)=a+b++≥a+b+2=(+)2. (4)已知a,b,x,y∈R+,若+=1,則有x+y=(x+y)·=a+b++≥a+b+2=(+)2. [提醒]) 利用基本不等式求最大值、最小值時(shí)應(yīng)注意“一正、二定、三
9、相等”,即:①所求式中的相關(guān)項(xiàng)必須是正數(shù);②求積xy的最大值時(shí),要看和x+y是否為定值,求和x+y的最小值時(shí),要看積xy是否為定值,求解時(shí),常用到“拆項(xiàng)”“湊項(xiàng)”等解題技巧;③當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等時(shí),才能取等號(hào).以上三點(diǎn)應(yīng)特別注意,缺一不可. [必會(huì)結(jié)論] 判斷數(shù)列單調(diào)性的方法 (1)作差比較法:an+1-an>0?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;an+1-an<0?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;an+1-an=0?數(shù)列{an}是常數(shù)列. (2)作商比較法:①當(dāng)an>0時(shí),則>1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;0<<1?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列;=1?數(shù)列{an}是常數(shù)列.②當(dāng)an<0時(shí),則>1?數(shù)列{a
10、n}是遞減數(shù)列;0<<1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列;=1?數(shù)列{an}是常數(shù)列. (3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷. 數(shù)列中項(xiàng)的最值的求法 (1)借用構(gòu)造法求解:根據(jù)數(shù)列與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,構(gòu)造函數(shù)f(n)=an(n∈N*),利用求解函數(shù)最值的方法進(jìn)行求解即可,但要注意自變量的取值必須是正整數(shù). (2)利用數(shù)列的單調(diào)性求解:利用不等式an+1≥an(或an+1≤an)求出n的取值范圍,從而確定數(shù)列單調(diào)性的變化,進(jìn)而求出數(shù)列中項(xiàng)的最值. (3)轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的不等式組求解:若求數(shù)列{an}的最大項(xiàng),則可轉(zhuǎn)化為求解若求數(shù)列{an}的最小項(xiàng),則可轉(zhuǎn)化為求解求出n的取值范圍之后再確定取得最值
11、的項(xiàng). 求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法 (1)公式法:①等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;②等比數(shù)列的通項(xiàng)公式. (2)已知Sn(a1+a2+…+an=Sn),求an,用作差法:an= (3)已知a1·a2·…·an=f(n),an≠0,求an,用作商法:an= (4)已知an+1-an=f(n),求an,用累加法:an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2). (5)已知=f(n),求an,用累乘法:an=··…··a1=f(n-1)·f(n-2)·…·f(1)·a1(n≥2). (6)構(gòu)造等比數(shù)列法:若已知
12、數(shù)列{an}中,an+1=pan+q(p≠0,p≠1,q≠0),a1≠,設(shè)存在非零常數(shù)λ,使得an+1+λ=p(an+λ),其中λ=,則數(shù)列{an+}就是以a1+為首項(xiàng),p為公比的等比數(shù)列,先求出數(shù)列{an+}的通項(xiàng)公式,再求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式即可. (7)倒數(shù)法:若an=(mkb≠0,n≥2),對(duì)an=取倒數(shù),得到=·,即=·+.令bn=,則{bn}可歸納為bn+1=pbn+q(p≠0,q≠0)型. 數(shù)列求和的常用方法 (1)公式法:①等差數(shù)列的求和公式;②等比數(shù)列的求和公式;③常用公式,即1+2+3+…+n=n(n+1),12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),
13、1+3+5+…+(2n-1)=n2,n∈N*. (2)分組求和法:當(dāng)直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí),常將“和式”中的“同類(lèi)項(xiàng)”先合并在一起,再運(yùn)用公式法求和. (3)倒序相加法:在數(shù)列求和中,若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)的和有共性,則??紤]選用倒序相加法進(jìn)行求和. (4)錯(cuò)位相減法:如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成的,那么常選用錯(cuò)位相減法將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新的等比數(shù)列的和”,從而進(jìn)行求解. (5)裂項(xiàng)相消法:如果數(shù)列的通項(xiàng)可分裂成“兩項(xiàng)差”的形式,且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián),那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用的裂項(xiàng)形式有 ①=-; ②=; ③<=, -=<<=
14、-; ④=. 解不等式恒成立問(wèn)題的常用方法 (1)若所求問(wèn)題可以化為一元二次不等式,可以考慮使用判別式法求解,利用二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)和判別式進(jìn)行求解,若二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí),應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論. (2)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于零的問(wèn)題,一般的轉(zhuǎn)化原理是:在閉區(qū)間D上,f(x)≥0恒成立?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸上方或x軸上;f(x)≤0?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸下方或x軸上. (3)對(duì)于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上的函數(shù)值恒大于等于或小于等于常數(shù)的問(wèn)題,即“f(x)≥a”或“f(x)≤a”型不等式恒成立問(wèn)題,通常利用函數(shù)最值進(jìn)行轉(zhuǎn)化,其一般的轉(zhuǎn)化原
15、理是:f(x)≥a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)min≥a(x∈D);f(x)≤a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)max≤a(x∈D). (4)分離參數(shù)法:將恒成立的不等式F(x,m)≥0(或≤0)(m為參數(shù))中的參數(shù)m單獨(dú)分離出來(lái),不等號(hào)一側(cè)是不含參數(shù)的函數(shù),將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題,該方法主要適用于參數(shù)與變量能分離和函數(shù)的最值易于求出的題目,其一般轉(zhuǎn)化原理是:當(dāng)m為參數(shù)時(shí),g(m)>f(x)?g(m)>f(x)max;g(m)<f(x)?g(m)<f(x)min. [必練習(xí)題] 1.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,若a3=6,S3=12,則公差d=( ) A.1
16、 B.2 C.3 D. 解析:選B.在等差數(shù)列{an}中,S3===12,解得a1=2,又a3=a1+2d=2+2d=6,解得d=2,選B. 2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2+a4=6,則S5等于( ) A.10 B.12 C.15 D.30 解析:選C.由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a2+a4=a1+a5,所以S5==15,故選C. 3.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a2·a6=9a4,a2=1,則a1的值為( ) A.3 B.-3 C.- D. 解析:選D.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,由a2·a6=9a4,得a2·a2q4=9a2q2,解得q2=
17、9,所以q=3或q=-3(舍),所以a1==.故選D. 4.已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 解析:選D.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由題意,得 所以或解得或當(dāng)時(shí),a1+a10=a1(1+q9)=1+(-2)3=-7;當(dāng)時(shí),a1+a10=a1(1+q9)=(-8)×=-7.綜上,a1+a10=-7.故選D. 5.設(shè)x,y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值是( ) A.3 B.4 C.6 D.8 解析:選C.法一:作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,作直線(xiàn)x+y=0,平移該直
18、線(xiàn),當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6,0)時(shí),z取得最大值,即zmax=6,故選C. 法二:目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最值在可行域的三個(gè)頂點(diǎn)處取得,易知三條直線(xiàn)的交點(diǎn)分別為(3,0),(6,0),(2,2).當(dāng)x=3,y=0時(shí),z=3;當(dāng)x=6,y=0時(shí),z=6;當(dāng)x=2,y=2時(shí),z=4.所以zmax=6,故選C. 6.若數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3,{bn}為等差數(shù)列,且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,則a8=( ) A.0 B.3 C.8 D.11 解析:選B.依題意可設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d,則b10=b3+7d=-2+7d=12,解得d=2,所以bn=b3+(
19、n-3)d=2n-8,又bn=an+1-an,則b7=a8-a7,b6=a7-a6,…,b1=a2-a1,采用累加法可得,b7+b6+…+b1=(a8-a7)+(a7-a6)+…+(a2-a1)=a8-a1,又易知b1+b2+…+b7=0,則a8=a1=3,故選B. 7.在各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{an}中,若a1=1,a2=,2anan+2=an+1an+2+anan+1(n∈N*),則a2 018=( ) A. B. C. D. 解析:選C.因?yàn)?anan+2=an+1an+2+anan+1(n∈N*),所以=+,所以是等差數(shù)列,其公差d=-=2,所以=1+(n-1)×2=2n-1,a
20、n=,所以a2 018=. 8.已知函數(shù)f(x)=則不等式f(x-1)≤0的解集為_(kāi)_______. 解析:由題意,得f(x-1)=當(dāng)x≥2時(shí),由2x-2-2≤0,解得2≤x≤3;當(dāng)x<2時(shí),由22-x-2≤0,解得1≤x<2.綜上所述,不等式f(x-1)≤0的解集為{x|1≤x≤3}. 答案:[1,3] 9.已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=,an=(n≥2,n∈N*),則通項(xiàng)公式an=________. 解析:由an=?=·+,令=bn,則bn=·bn-1+?bn-1=·(bn-1-1),由a1=,得b1-1=-,所以{bn-1}是以-為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,所以bn-1=-·,得an==. 答案: 10.已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=1,anan+1=3n,則S2 017=________. 解析:由anan+1=3n,得an-1an=3n-1(n≥2),所以=3(n≥2),則數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成以3為公比的等比數(shù)列,又a1=1,a1a2=3,所以a2=3,所以S2 017=+=31 009-2. 答案:31 009-2 8
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