2019年高考數學一輪復習 第2章 函數、導數及其應用 第8節(jié) 函數與方程學案 文 北師大版

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1、 第八節(jié)　函數與方程 [考綱傳真]　結合二次函數的圖像，了解函數的零點與方程根的聯系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數． (對應學生用書第24頁) [基礎知識填充] 1．函數的零點 (1)函數零點的定義 函數y＝f(x)的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數的零點． (2)幾個等價關系 方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖像與x軸有交點?函數y＝f(x)有零點． (3)函數零點的判定(零點存在性定理) 若函數y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數值符號相反，即f(a)·f(b)＜0，則在區(qū)間(a，b)內，函

2、數y＝f(x)至少有一個零點，即相應的方程f(x)＝0在區(qū)間(a，b)內至少有一個實數解． 2．二分法 每次取區(qū)間的中點，將區(qū)間一分為二，再經比較，按需要留下其中一個小區(qū)間的方法稱為二分法． 3．二次函數y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像與零點的關系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函數 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的圖像 與x軸的交點 (x1,0)， (x2,0) (x1,0) 無交點 零點個數 2 1 0 [知識拓展] 1．函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的曲線，則“f(a)·f(b)＜0”是函數f(

3、x)在區(qū)間(a，b)內有零點的充分不必要條件． 2．若函數f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調函數，且f(a)·f(b)＜0，則函數f(x)在區(qū)間(a，b)內只有一個零點． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數的零點就是函數的圖像與x軸的交點．(　　) (2)函數y＝f(x)，x∈D在區(qū)間(a，b)?D內有零點(函數圖像連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)＜0.(　　) (3)若函數f(x)在(a，b)上單調且f(a)·f(b)＜0，則函數f(x)在[a，b]上有且只有一個零點．(　　) (4)二次函數y＝ax2＋b

4、x＋c在b2－4ac＜0時沒有零點．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)函數f(x)＝ex＋3x的零點個數是(　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 B　[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0， ∴f(x)在(－1,0)內有零點， 又f(x)為增函數，∴函數f(x)有且只有一個零點．] 3．(2015·安徽高考)下列函數中，既是偶函數又存在零點的是(　　) A．y＝cos x B．y＝sin x C．y＝ln x D．y＝x2＋1 A　[由于y＝sin x是奇函數；y＝ln x是非奇非偶

5、函數，y＝x2＋1是偶函數但沒有零點，只有y＝cos x是偶函數又有零點．] 4．(2016·江西贛中南五校聯考)函數f(x)＝3x－x2的零點所在區(qū)間是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(－2，－1) D．(－1,0) D　[∵f(－2)＝－，f(－1)＝－， f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5， ∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0， f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故選D．] 5．函數f(x)＝ax＋1－2a在區(qū)間(－1,1)上存在一個零點，則實數a的取值范圍是________． 　[∵函數f(x)的圖像為直線，

6、 由題意可得f(－1)f(1)＜0， ∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1， ∴實數a的取值范圍是.] (對應學生用書第25頁) 函數零點所在區(qū)間的判斷 　(1)若a＜b＜c，則函數f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個零點分別位于區(qū)間(　　) A．(a，b)和(b，c)內　　　　 B．(－∞，a)和(a，b)內 C．(b，c)和(c，＋∞)內 D．(－∞，a)和(c，＋∞)內 (2)(2018·唐山模擬)設x0是方程x＝的解，則x0所在的范圍是(　　) A． B． C． D． (1)A　

7、(2)B　[(1)∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0， f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0， 由函數零點存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)和(b，c)內分別存在零點，又函數f(x)是二次函數，最多有兩個零點；因此函數f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a，b)和(b，c)內，故選A． (2)構造函數f(x)＝x－， 因為f(0)＝0－＝1＞0， f＝－＝－＞0，f＝－＝－＜0.所以由零點存在性定理可得函數f(x)＝x－在上存在零點，即x0∈，故選B．] [規(guī)律方法]　判斷函數零點所在區(qū)間的方法： 判斷函數在某個區(qū)間上是否

8、存在零點，要根據具體題目靈活處理，當能直接求出零點時，就直接求出進行判斷；當不能直接求出時，可根據零點存在性定理判斷；當用零點存在性定理也無法判斷時，可畫出圖像判斷． [變式訓練1]　(1)已知函數f(x)＝ln x－x－2的零點為x0，則x0所在的區(qū)間是 (　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) (2)(2018·衡陽模擬)已知[x]表示不超過實數x的最大整數，g(x)＝[x]為取整函數，x0是函數f(x)＝ln x－的零點，則g(x0)等于(　　) 【導學號：00090044】 A．1 B．2 C．3 D．4 (1)C　(2)B　

9、[(1)∵f(x)＝ln x－x－2在(0，＋∞)上是增函數， 又f(1)＝ln 1－－1＝ln 1－2＜0， f(2)＝ln 2－0＜0， f(3)＝ln 3－1＞0， ∴x0∈(2,3)，故選C． (2)f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，則x0∈(2,3)，故g(x0)＝2.] 判斷函數零點的個數 　(1)函數f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數為(　　) A．1　　　　 B．2 C．3　　　　 D．4 (2)(2017·秦皇島模擬)函數f(x)＝的零點個數是________． (1)B　(2)3　[(1)令

10、f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0， 可得|log0.5x|＝x. 設g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝x，在同一坐標系下分別畫出函數g(x)，h(x)的圖像，可以發(fā)現兩個函數圖像一定有2個交點，因此函數f(x)有2個零點． (2)當x＞0時，作函數y＝ln x和y＝x2－2x的圖像， 由圖知，當x＞0時，f(x)有2個零點； 當x≤0時，由f(x)＝0得x＝－， 綜上，f(x)有3個零點．] [規(guī)律方法]　判斷函數零點個數的方法： (1)解方程法：所對應方程f(x)＝0有幾個不同的實數解就有幾個零點． (2)零點存在性定理法：利用零點存在性

11、定理并結合函數的性質進行判斷． (3)數形結合法：轉化為兩個函數的圖像的交點個數問題．先畫出兩個函數的圖像，看其交點的個數，其中交點的個數，就是函數零點的個數． [變式訓練2]　(1)(2015·湖北高考)函數f(x)＝2sin xsinx＋－x2的零點個數為________． (2)若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,1]時，f(x)＝x，則方程f(x)＝log3|x|的解的個數是(　　) A．0 B．2 C．4 D．6 (1)2　(2)C　[(1)f(x)＝2sin xsin－x2＝2sin xcos x－x2＝sin 2x－x2，由

12、f(x)＝0，得sin 2x＝x2. 設y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐標系中畫出二者的圖像，如圖所示． 由圖像知，兩個函數圖像有2個交點，故函數f(x)有兩個零點． (2)畫出周期函數f(x)和y＝log3|x|的圖像，如圖所示，則方程f(x)＝log3|x|的解的個數是4. ] 函數零點的應用 　(2017·昆明模擬)已知定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x－4)＝f(x)，且在區(qū)間[0,2]上f(x)＝x，若關于x的方程f(x)＝logax有三個不同的實根，求a的取值范圍． [思路點撥]　先作出函數f(x)的圖像，根據方程有三個不同的根，確定

13、應滿足的條件． [解]　由f(x－4)＝f(x)知，函數的周期為4，又函數為偶函數，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)， 所以函數圖像關于x＝2對稱，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝logax有三個不同的根， 則滿足如圖，即解得＜a＜. 故a的取值范圍是(，)． [規(guī)律方法]　已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法 (1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍； (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決； (3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖

14、像，然后數形結合求解． [變式訓練3]　(1)函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則實數a的取值范圍是(　　) 【導學號：00090045】 A．(1,3)　　　 B．(1,2) C．(0,3)　　　 D．(0,2) (2)(2016·山東高考)已知函數f(x)＝其中m>0.若存在實數b，使得關于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是________． (1)C　(2)(3，＋∞)　[(1)∵函數f(x)＝2x－－a在區(qū)間(1,2)上單調遞增，又函數f(x)＝2x－－a的一個零點在區(qū)間(1,2)內，則有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3. (2)作出f(x)的圖像如圖所示．當x>m時，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三個不同的根，則有4m－m20.又m>0，解得m>3.] 6