2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程教學(xué)案 文（含解析）北師大版

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1、第三節(jié)　圓的方程 [考綱傳真]　1.掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想． 1．圓的定義及方程 定義 平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合(軌跡) 標(biāo)準(zhǔn) 方程 (x－a)2＋(y－b)2 ＝r2(r＞0) 圓心(a，b)，半徑r 一般 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， (D2＋E2－4F＞0) 圓心， 半徑 2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系： (1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (2)若M(x0，y0)

2、在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2. (3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2. 1．圓的三個性質(zhì) (1)圓心在過切點(diǎn)且垂直于切線的直線上； (2)圓心在任一弦的中垂線上； (3)兩圓相切時，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線． 2．兩個圓系方程 具有某些共同性質(zhì)的圓的集合稱為圓系，它們的方程叫圓系方程 (1)同心圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b為定值，r是參數(shù)； (2)半徑相等的圓系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中r為定值，a，b是參數(shù)． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正

3、誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑． (　　) (2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個圓． (　　) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0． (　　) (4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)已知點(diǎn)A(1，－1)，B(－1,1)，則以線段AB為直徑的圓的方程是(　　) A．x2＋y2

4、＝2　　　 B．x2＋y2＝ C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4 A　[AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，|AB|＝ ＝2，所以圓的方程為x2＋y2＝2.] 3．點(diǎn)(m2,5)與圓x2＋y2＝24的位置關(guān)系是(　　) A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓上 D．不能確定 A　[將點(diǎn)(m2,5)代入圓方程，得m4＋25>24.故點(diǎn)在圓外，故選A.] 4．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．R B．(－∞，1) C．(－∞，1] D．[1，＋∞) B　[由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k，此方

5、程表示圓，則5－5k>0，解得k<1.故實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，1)．故選B.] 5．若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1 A　[由于圓心在第一象限且與x軸相切，可設(shè)圓心為(a,1)(a>0)，又圓與直線4x－3y＝0相切，∴＝1，解得a＝2或a＝－(舍去)． ∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－1)2＝1. 故選A.] 求圓的方程 1. 過點(diǎn)A(1，－1)，

6、B(－1,1)，且圓心在x＋y－2＝0上的圓的方程是(　　) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 C　[AB的中垂線方程為y＝x，所以由y＝x，x＋y－2＝0的交點(diǎn)得圓心(1,1)，半徑為2，因此圓的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4，故選C．] 2．已知圓心在直線y＝－4x上，且圓與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)，則該圓的方程是________． (x－1)2＋(y＋4)2＝8　[過切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為

7、(1，－4)．所以半徑r＝＝2，故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.] 3．(2018·天津高考)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)的圓的方程為________． x2＋y2－2x＝0　[法一：設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∵圓經(jīng)過點(diǎn)(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴ 解得 ∴圓的方程為x2＋y2－2x＝0. 法二：畫出示意圖如圖所示，則△OAB為等腰直角三角形，故所求圓的圓心為(1,0)，半徑為1，所以所求圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.] [規(guī)律方法]　求圓的方程的方法 (1)直接法：

8、直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程． (2)待定系數(shù)法 ①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值； ②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值． 與圓有關(guān)的最值問題 ?考法1　斜率型最值問題 【例1】　已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，則的最大值為________，最小值為________． ?。原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓.的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率， 所以設(shè)＝k，即y＝kx.當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或

9、最小值，此時＝，解得k＝±.(如圖所示) 所以的最大值為，最小值為－. ?考法2　截距型最值問題 【例2】　已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值． [解]　設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t， t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距， ∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距． 由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑， 即＝1，解得t＝－1或t＝－－1. ∴x＋y的最大值為－1，最小值為－－1. ?考法3　距離型最值問題 【例3】　已知M(x，y)為圓C：x2＋y2－

10、4x－14y＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(－2,3)．求|MQ|的最大值和最小值； [解]　(1)由圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0， 可得(x－2)2＋(y－7)2＝8， ∴圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r＝2. 又|QC|＝＝4， ∴|MQ|max＝4＋2＝6， |MQ|min＝4－2＝2. [規(guī)律方法]　與圓有關(guān)的最值問題的三種幾何轉(zhuǎn)化法 (1)形如μ＝形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題． (2)形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題． (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題

11、． (1)如果實(shí)數(shù)x，y滿足圓(x－2)2＋y2＝1，那么的取值范圍是________． (2)由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓x2－6x＋y2＋8＝0引切線，則切線長的最小值為________． (1)　(2)　[(1)(x，y)在圓上，表示的是圓上的點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(1，－3)連線的斜率，結(jié)合圖像(圖略)，求出過點(diǎn)(1，－3)與圓相切的一條切線的斜率不存在，另一條切線斜率設(shè)為k，切線方程為kx－y－3－k＝0，圓心到直線的距離等于半徑，即＝1，k＝，故取值范圍是. (2)切線長的最小值在直線y＝x＋1上的點(diǎn)與圓心距離最小時取得，圓心(3,0)到直線的距離為d＝＝2，圓的半徑為1，故切

12、線長的最小值為＝＝.] 與圓有關(guān)的軌跡問題 【例4】　已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2,0)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動點(diǎn)． (1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程； (2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程． [解]　(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)， 由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x－2,2y)． 因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2＋y2＝4上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1. (2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON(圖略)，則

13、ON⊥PQ， 所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4. 故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0. [規(guī)律方法]　求與圓有關(guān)的軌跡問題的四種方法 (1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解． (2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解． (3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解． (4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解． 已知點(diǎn)A(－1,0)，點(diǎn)B(2,0)，動點(diǎn)C滿足|AC|＝|AB|，求點(diǎn)C與點(diǎn)P(1,4)所連線段的中點(diǎn)M的軌跡方程． [解

14、]　由題意可知：動點(diǎn)C的軌跡是以(－1,0)為圓心，3為半徑長的圓，方程為(x＋1)2＋y2＝9. 設(shè)M(x0，y0)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得C(2x0－1,2y0－4)， 代入點(diǎn)C的軌跡方程得4x＋4(y0－2)2＝9， 化簡得x＋(y0－2)2＝， 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2＋(y－2)2＝. 1．(2015·全國卷Ⅱ)過三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|＝(　　) A．2　　　　B．8　　　　C．4　　　　D．10 C　[設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則解得 ∴圓的方程為x2＋y2－2x＋4y－20＝0.

15、令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2， ∴M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，∴|MN|＝4，故選C．] 2．(2015·全國卷Ⅰ)一個圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 2＋y2＝　[由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(diǎn)(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點(diǎn)．設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋y2＝r2(00)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝.] 3．(2017·全國卷Ⅲ)已

16、知拋物線C：y2＝2x，過點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓． (1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； (2)設(shè)圓M過點(diǎn)P(4，－2)，求直線l與圓M的方程． [解]　(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2， 由可得y2－2my－4＝0，則y1y2＝－4. 又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4. 因此OA的斜率與OB的斜率之積為·＝＝－1， 所以O(shè)A⊥OB， 故坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上． (2)由(1)可得y1＋y2＝2m， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4， 故圓心M的坐標(biāo)為(m2＋2，m)， 圓M的半徑r＝. 由于圓M過點(diǎn)P(4，－2)，因此·＝0， 故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0， 即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0. 由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4， 所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－. 當(dāng)m＝1時，直線l的方程為x－y－2＝0，圓心M的坐標(biāo)為(3,1)，圓M的半徑為， 圓M的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝10. 當(dāng)m＝－時，直線l的方程為2x＋y－4＝0，圓心M的坐標(biāo)為，圓M的半徑為， 圓M的方程為＋＝. - 8 -