2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第1章 集合與常用邏輯術(shù)語 1.4 充分條件與必要條件 1.4.1 充分條件與必要條件教學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、1.4.1　充分條件與必要條件 (教師獨具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解充分條件的意義，理解判定定理與充分條件的關(guān)系.2.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理，理解必要條件的意義，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系． 教學(xué)重點：1.掌握充分條件的概念，理解充分條件的意義，會判斷條件與結(jié)論之間的充分性.2.掌握必要條件的概念，理解必要條件的意義，會判斷條件與結(jié)論之間的必要性． 教學(xué)難點：1.判斷條件與結(jié)論之間的充分性.2.判斷條件與結(jié)論之間的必要性． 【知識導(dǎo)學(xué)】 知識點一　　　命題的概念及結(jié)構(gòu) (1)一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．

2、判斷為真的語句是真命題，判斷為假的語句是假命題． (2)當(dāng)命題表示為“若p，則q”時，p是命題的條件，q是命題的結(jié)論． 知識點二　　　充分條件與必要條件 一般地，“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時，我們就說，由p可以推出q，記作p?q，并且說，p是q的充分條件(sufficient condition)，q是p的必要條件(necessary condition)． 如果“若p，則q”為假命題，那么由條件p不能推出結(jié)論q，記作pq.此時，我們就說p不是q的充分條件，q不是p的必要條件． 【新知拓展】 1．p?q的含義 (1)“若p，則q”形式的命題為真命題．

3、 (2)由條件p可以得到結(jié)論q. (3)p是q的充分條件或q的充分條件是p； q是p的必要條件或p的必要條件是q. (4)只要有條件p，就一定有結(jié)論q，即p對于q是充分的，q對于p的成立是必要的． (5)為得到結(jié)論q，具備條件p就可以推出． 顯然，p是q的充分條件與q是p的必要條件表述的是同一個邏輯關(guān)系，即p?q，只是說法不同而已． 2．對充分條件概念的理解 “若p，則q”為假命題時，p推不出q，q不是p的必要條件，p也不是q的充分條件． 3．對充分條件的理解 (1)所謂充分，就是說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠的，條件是足以保證的．“有之必成立，無之未必不成

4、立”． (2)充分條件不是唯一的，如x>2，x>3等都是x>0的充分條件． 必要條件不是唯一的，如x>0，x>5等都是x>9的必要條件． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若p是q的必要條件，則q是p的充分條件．(　　) (2)內(nèi)錯角相等?兩直線平行．(　　) (3)“x＝0”是“x2＝2x”的必要條件．(　　) (4)“△ABC∽△A′B′C′”是“△ABC≌△A′B′C′”的必要條件．(　　) (5)“x＝3”是“x2＝9”的充分條件．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)

5、若p是q的充分條件，q是r的充分條件，則p是r的________條件． (2)設(shè)集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，則“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的________條件． (3)“ab＞0”是“a＞0，b＞0”的________條件． 答案　(1)充分　(2)必要　(3)必要 題型一 充分條件、必要條件的概念及判斷方法 例1　在以下各題中，判斷哪些能p?q，哪些能q?p，并分析各題中p與q的關(guān)系． (1)p：x是整數(shù)，q：x2是整數(shù)； (2)p：a>b，q：ac>bc(c≥0)； (3)p：四邊形是正方形，q：四邊形的對角線互相垂直平分． [解]　(1)當(dāng)x是

6、整數(shù)時，x2一定是整數(shù)，即p?q，故p是q的充分條件，q是p的必要條件． (2)不等式ac>bc(c≥0)中隱含了c≠0，即此時c>0，在此不等式兩邊同除以正數(shù)c，便得a>b，即q?p，故q是p的充分條件，p是q的必要條件． (3)因為當(dāng)四邊形是正方形時，對角線互相垂直平分且相等，所以p?q，故p是q的充分條件，q是p的必要條件． 例2　在下列各題中，q是p的必要條件嗎？為什么？ (1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全等； (3)p：m<－2；q：方程x2－x－m＝0無實根． [解]　(1)∵x－2＝0?(x－2)(x－3

7、)＝0， ∴q是p的必要條件． (2)∵兩個三角形相似推不出兩個三角形全等， ∴q不是p的必要條件． (3)∵方程x2－x－m＝0無實根，∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m<0，解得m<－. ∵m<－2?m<－， ∴q是p的必要條件． [結(jié)論探究]　如果把本例中“q是p的必要條件嗎？”改為“p是q的必要條件嗎？”，其他不變，該如何解答呢？ 解　(1)∵(x－2)(x－3)＝0推不出x－2＝0，∴p不是q的必要條件． (2)∵兩個三角形全等?兩個三角形相似， ∴p是q的必要條件． (3)∵方程x2－x－m＝0無實根推不出m<－2， ∴p不是q的必要條件．

8、 金版點睛 充分條件、必要條件的判斷方法 (1)定義法：首先分清條件和結(jié)論，然后判斷p?q和q?p是否成立，最后得出結(jié)論． (2)命題判斷法 ①如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時q是p的必要條件； ②如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時q也不是p的必要條件. (3)集合法：對于涉及取值范圍的判斷題，可從集合的角度研究，若兩個集合具有包含關(guān)系，則小范圍?大范圍，大范圍推不出小范圍. (4)傳遞法：由推式的傳遞性：p1?p2?p3?…?pn，則pn是p1的必要條件. 　(1)設(shè)A，B是兩個集合，判斷“A∩B＝A”是“A

9、?B”的什么條件； (2)在下列各題中，q是p的必要條件嗎？p是 q的必要條件嗎？為什么？ ①p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； ②p：a1；當(dāng)b>0時，<1，故a0，b>0，<1時，可以推出a

10、可以推出a>b. ∴p不是q的必要條件. 題型二 利用充分條件、必要條件求參數(shù)的取值范圍 例3　(1)已知p：關(guān)于x的不等式0， 要使A?

11、B，應(yīng)有 綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是m≤3. (2)由已知可得 A＝y(tǒng)＝2－，x∈R}＝y(tǒng)≥－}， B＝{x|x≥－2m}． 因為q是p的必要條件， 所以p?q，所以A?B， 所以－2m≤－，所以m≥， 即實數(shù)m的取值范圍是m≥. 金版點睛 利用充分條件或必要條件求參數(shù)的思路 根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)的取值范圍時，先將p，q等價轉(zhuǎn)化，再根據(jù)充分條件或必要條件與集合間的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的兩個集合之間的包含關(guān)系，然后建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)進(jìn)行求解． 　(1)已知p：x2＋x－6＝0，q：mx＋1＝0(m≠0)，且q是p的充分條件，求m的值； (

12、2)已知M＝{x|a－1

13、答案　A 解析　用集合的相關(guān)定義理解、分析可知A為真命題，B，C，D為假命題． 2．若a∈R，則“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的(　　) A．充分條件 B．必要條件 C．既不是充分條件，也不是必要條件 D．無法判斷 答案　A 解析　因為a＝2?(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2，故“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分條件，應(yīng)選A. 3．下列命題中，是真命題的是(　　) A．“x2>0”是“x>0”的充分條件 B．“xy＝0”是“x＝0”的必要條件 C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分條件 D．“|x|>1”是“x

14、2不小于1”的必要條件 答案　B 解析　A中，x2>0?x>0或x<0，不能推出x>0，而x>0?x2>0，故“x2>0”是“x>0”的必要條件．B中，xy＝0?x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0?xy＝0，故“xy＝0”是“x＝0”的必要條件．C中，|a|＝|b|?a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b?|a|＝|b|，故“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要條件．D中，|x|>1?x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|>1，故“|x|>1”是“x2不小于1”的充分條件，故本題應(yīng)選B. 4．“ac<0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根”的________條件． 答

15、案　充分 解析　由ac<0?b2－4ac>0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根，而ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根不能推出ac<0.故“ac<0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根”的充分條件． 5．下列各題中，q是p的必要條件嗎？p是q的必要條件嗎？為什么？ (1)p：|x|＝|y|，q：x＝y(tǒng)； (2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形； (3)p：四邊形的對角線互相平分，q：四邊形是矩形． 解　(1)因為|x|＝|y|推不出x＝y(tǒng)， 所以q不是p的必要條件． 因為x＝y(tǒng)?|x|＝|y|，所以p是q的必要條件． (2)因為△ABC是直角三角形推不出△ABC是等腰三角形，所以q不是p的必要條件． 又因為△ABC是等腰三角形也推不出△ABC是直角三角形，所以p也不是q的必要條件． (3)因為四邊形的對角線互相平分推不出四邊形是矩形， 所以q不是p的必要條件． 因為四邊形是矩形?四邊形的對角線互相平分， 所以p是q的必要條件． - 7 -