2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第1節(jié) 坐標(biāo)系學(xué)案 理 北師大版

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1、 第一節(jié)　坐標(biāo)系 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點的位置，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐標(biāo)方程． (對應(yīng)學(xué)生用書第198頁) [基礎(chǔ)知識填充] 1．平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換 設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換． 2．極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念 圖1 在平面內(nèi)取一個定點O，叫作極點，從O點引一條

2、射線Ox，叫作極軸，選定一個單位長度和角的正方向(通常取逆時針方向)．這樣就確定了一個平面極坐標(biāo)系，簡稱為極坐標(biāo)系．對于平面內(nèi)任意一點M，用ρ表示線段OM的長，θ表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度，ρ叫作點M的極徑，θ叫作點M的極角，有序?qū)崝?shù)對(ρ，θ)叫作點M的極坐標(biāo)，記作M(ρ，θ)． 當(dāng)點M在極點時，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值． 3．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 點M 直角坐標(biāo)(x，y) 極坐標(biāo)(ρ，θ) 互化公式 ρ2＝x2＋y2 tan θ＝(x≠0) 4.圓的極坐標(biāo)方程 曲線 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點，半徑為r的圓 ρ＝r(0≤θ＜2π)

3、 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 ρ＝2rcos θ 圓心為，半徑為r的圓 ρ＝2rsin θ(0≤θ＜π) 5.直線的極坐標(biāo)方程 (1)直線l過極點，且極軸到此直線的角為α，則直線l的極坐標(biāo)方程是θ＝α(ρ∈R)． (2)直線l過點M(a,0)且垂直于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝a. (3)直線過M且平行于極軸，則直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin θ＝b(0＜θ＜π)． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點與坐標(biāo)能建立一一對應(yīng)關(guān)系，在極坐標(biāo)系中點與坐標(biāo)也是一一對應(yīng)關(guān)系．(　

4、　) (2)若點P的直角坐標(biāo)為(1，－)，則點P的一個極坐標(biāo)是.(　　) (3)在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程不是唯一的．(　　) (4)極坐標(biāo)方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材改編)若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y＝1－x(0≤x≤1)的極坐標(biāo)方程為(　　) A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ A　[∵y＝1－x(0≤x≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρ

5、cos θ≤1)， ∴ρ＝.] 3．(2017·北京高考)在極坐標(biāo)系中，點A在圓ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0上，點P的坐標(biāo)為(1,0)，則|AP|的最小值為________． 1　[由ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 x2＋y2－2x－4y＋4＝0， 即(x－1)2＋(y－2)2＝1， 圓心坐標(biāo)為C(1,2)，半徑長為1. ∵點P的坐標(biāo)為(1,0)，∴點P在圓C外． 又∵點A在圓C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.] 4．已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin＝，點A的極坐標(biāo)為A，則點A到直線l的距離為______． 　[由2ρsi

6、n＝，得 2ρ＝， ∴y－x＝1. 由A，得點A的直角坐標(biāo)為(2，－2)． ∴點A到直線l的距離d＝＝.] 5．已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρ·sin－4＝0，求圓C的半徑． [解]　以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點O，以極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系xOy. 圓C的極坐標(biāo)方程可化為 ρ2＋2ρ－4＝0， 化簡，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0. 則圓C的直角坐標(biāo)方程為 x2＋y2－2x＋2y－4＝0， 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6， 所以圓C的半徑為. (對應(yīng)學(xué)生用書第199頁) 平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 　

7、在平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換φ： (1)求點A經(jīng)過φ變換所得點A′的坐標(biāo)； (2)求直線l：y＝6x經(jīng)過φ變換后所得直線l′的方程． [解]　(1)設(shè)點A′(x′，y′)，由伸縮變換 φ：得 ∴x′＝×3＝1，y′＝＝－1. ∴點A′的坐標(biāo)為(1，－1)． (2)設(shè)P′(x′，y′)是直線l′上任意一點． 由伸縮變換φ： 得 代入y＝6x，得2y′＝6·＝2x′， ∴y＝x即為所求直線l′的方程． [規(guī)律方法]　伸縮變換后方程的求法,平面上的曲線y＝f(x)在變換φ：的作用下的變換方程的求法是將代入y＝f(x)，得＝f，整理之后得到y(tǒng)′＝h(x′)，即為所求變換之后

8、的方程. 易錯警示：應(yīng)用伸縮變換時，要分清變換前的點的坐標(biāo)(x，y)與變換后的點的坐標(biāo)(x′，y′). [跟蹤訓(xùn)練]　求橢圓＋y2＝1，經(jīng)過伸縮變換后的曲線方程. 【導(dǎo)學(xué)號：79140385】 [解]　由得① 將①代入＋y2＝1，得＋y′2＝1， 即x′2＋y′2＝1. 因此橢圓＋y2＝1經(jīng)過伸縮變換后得到的曲線方程是x2＋y2＝1. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 　(2016·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程； (2)直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù))，l與

9、C交于A，B兩點，|AB|＝，求l的斜率． [解]　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)． 設(shè)A，B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0， 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ＝. 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±. 所以l的斜率為或－. [規(guī)律方法]　1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的三個前提條件 (1)取直角坐標(biāo)系的原點為極點．

10、 (2)以x軸的非負(fù)半軸為極軸． (3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長度單位． 2．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的策略 (1)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只要運用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可； (2)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時常通過變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進行整體代換． [跟蹤訓(xùn)練]　(2018·合肥二檢)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ. (1)求出圓C的直角坐標(biāo)方程； (2)已知圓C與x軸相交于A，B兩點，直線l：y＝2x關(guān)于點M(0，m)(m≠0)對稱的

11、直線為l′.若直線l′上存在點P使得∠APB＝90°，求實數(shù)m的最大值． [解]　(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，即x2＋y2－4x＝0， 即圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝4. (2)直線l：y＝2x關(guān)于點M(0，m)的對稱直線l′的方程為y＝2x＋2m，而AB為圓C的直徑，故直線l′上存在點P使得∠APB＝90°的充要條件是直線l′與圓C有公共點， 故≤2，解得－2－≤m≤－2， 所以實數(shù)m的最大值為－2. 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 　(2017·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρc

12、os θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程； (2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． [解]　(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0)． 由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． (2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB>0)． 由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面積 S＝|

13、OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α· ＝2≤2＋. 當(dāng)α＝－時，S取得最大值2＋. 所以△OAB面積的最大值為2＋. [規(guī)律方法]　在用方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關(guān)問題時，將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，有助于對方程所表示的曲線的認(rèn)識，從而達(dá)到化陌生為熟悉的目的，這是轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用. [跟蹤訓(xùn)練]　(2017·太原市質(zhì)檢)已知曲線C1：x＋y＝和C2：(φ為參數(shù))．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位． (1)把曲線C1和C2的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)C1與x，y軸交于M，N兩點，且線段MN的中點為P.若射線OP與C1，C2交于P，Q兩點，求P，Q兩點間的距離. 【導(dǎo)學(xué)號：79140386】 [解]　(1)曲線C1化為ρcos θ＋ρsin θ＝. ∴ρsin＝. 曲線C2化為＋＝1.(*) 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入(*)式 得cos2θ＋sin2θ＝1，即ρ2(cos2θ＋3sin2θ)＝6. ∴曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＝. (2)∵M(，0)，N(0,1)，∴P， ∴OP的極坐標(biāo)方程為θ＝， 把θ＝代入ρsin＝得ρ1＝1，P. 把θ＝代入ρ2＝得ρ2＝2，Q. ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即P，Q兩點間的距離為1. 7