2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 函數(shù) 1 生活中的變量關(guān)系 2 對(duì)函數(shù)的進(jìn)一步認(rèn)識(shí) 2.1 函數(shù)概念學(xué)案 北師大版必修1

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1、2．1　函數(shù)概念 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.通過實(shí)例，了解生活中的變量關(guān)系．(易混點(diǎn)) 2．理解函數(shù)的概念及函數(shù)的三要素．(重點(diǎn)) 3．會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 4．能夠正確使用區(qū)間表示某些函數(shù)的定義域和值域．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 1.通過學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 1．生活中的變量關(guān)系 閱讀教材P23～P25內(nèi)容，完成下列問題． 并非有依賴關(guān)系的兩個(gè)變量都有函數(shù)關(guān)系．只有滿足對(duì)于其中一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)時(shí)，才稱它們之間具有函數(shù)關(guān)系． 2

2、．函數(shù)的概念 閱讀教材P26～P27“值域是{s|s≥0}”之間的部分，完成下列問題． (1)定義 給定兩個(gè)非空數(shù)集A和B，如果按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中任何一個(gè)數(shù)x，在集合B中都存在唯一確定的數(shù)f(x)與之對(duì)應(yīng)，那么就把對(duì)應(yīng)關(guān)系f叫作定義在集合A上的函數(shù)． (2)記法 f：A→B，或y＝f(x)，x∈A. (3)名稱 x叫作自變量，集合A叫作函數(shù)的定義域．集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫作函數(shù)的值域，稱y是x的函數(shù)． 思考：函數(shù)y＝x2－1(x∈R)與函數(shù)y＝t2－1(t∈R)是同一函數(shù)嗎？ [提示]　是同一函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同．因此，這兩個(gè)函

3、數(shù)是同一函數(shù)． 3．區(qū)間的概念 閱讀教材P27從“研究函數(shù)常常用到區(qū)間的概念”～“例1”以上內(nèi)容，完成下列問題． (1)區(qū)間的定義 條件：aa} {x|x≤a} {x|x

4、(a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 幾何 表示 1．下列等式中，y不是x的函數(shù)關(guān)系的是(　　) A．y＝2x　　　　　 B．y＝ C．y＝x2＋5 D．y2＝x2＋5 D　[選項(xiàng)A、B、C符合函數(shù)定義．對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝±.故y不是x的函數(shù)．] 2．函數(shù)y＝＋的定義域?yàn)?　　) A．{x|x≤1}　　　　 B．{x|x≥0} C．{x|x≥1，或x≤0} D．{x|0≤x≤1} D　[依題意，得解得0≤x≤1.] 3．集合{x|x≥0，且x≠1}用區(qū)間表示為________． [答案] [0,1)∪(1，＋∞)

5、 4．若函數(shù)f(x)＝2x2＋3x－5，則f(2)＝________. 9　[f(2)＝2×22＋3×2－5＝9.] 生活中的變量關(guān)系及判斷 【例1】　下列兩個(gè)變量之間是否存在依賴關(guān)系，其中哪些是函數(shù)關(guān)系？ (1)圓的面積與其半徑之間的關(guān)系； (2)家庭收入與消費(fèi)支出之間的關(guān)系； (3)人的身高與視力之間的關(guān)系； (4)價(jià)格不變的情況下，商品銷售額和銷售量之間的關(guān)系． [思路探究]　當(dāng)一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化時(shí)，這兩個(gè)變量之間存在依賴關(guān)系；存在依賴關(guān)系的兩個(gè)變量，對(duì)于一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一個(gè)變量都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)時(shí)，這兩個(gè)變量具有函數(shù)關(guān)系． [解]　

6、(1)圓的面積隨圓的半徑的變化而變化，所以圓的面積與其半徑之間存在依賴關(guān)系，又因?yàn)閷?duì)每一個(gè)半徑的值，都有唯一的圓的面積與之對(duì)應(yīng)，故圓的面積是半徑的函數(shù)． (2)消費(fèi)支出隨家庭收入的變化而變化，消費(fèi)支出與家庭收入之間存在依賴關(guān)系，但消費(fèi)支出還要受到其他因素的影響，二者之間不是函數(shù)關(guān)系． (3)人的身高與視力之間不存在依賴關(guān)系． (4)價(jià)格不變的情況下，商品銷售額隨銷售量的變化而變化，二者存在依賴關(guān)系，且商品銷售額是銷售量的函數(shù)． 綜上可知，(1)(4)中的變量存在依賴關(guān)系，且是函數(shù)關(guān)系； (2)中的變量存在依賴關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系；(3)中的變量不存在依賴關(guān)系． 1．判斷兩個(gè)變量之

7、間是否存在依賴關(guān)系，只需看一個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)，另一個(gè)變量是否會(huì)隨之變化． 2．判斷兩個(gè)具有依賴關(guān)系的變量是否是函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是看二者之間的關(guān)系是否具有確定性，即驗(yàn)證對(duì)于一個(gè)變量的每一個(gè)值，另一個(gè)變量是否都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)． 1．下列變量之間是否具有依賴關(guān)系？其中哪些是函數(shù)關(guān)系？ ①正方形的面積和它的邊長(zhǎng)之間的關(guān)系； ②姚明罰球次數(shù)與進(jìn)球次數(shù)之間的關(guān)系； ③施肥量與作物產(chǎn)量之間的關(guān)系； ④汽車從A地到B地所用時(shí)間與汽車速度之間的關(guān)系． [解]?、佗冖邰苤袃蓚€(gè)變量都存在依賴關(guān)系，其中①④是函數(shù)關(guān)系，②③不是函數(shù)關(guān)系． 函數(shù)的概念 【例2】　(1)設(shè)M＝{x|0≤

8、x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個(gè)圖形： 能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 (2)下圖中能表示函數(shù)關(guān)系的是________． (1)B　(2)①②④　[(1)①中，因?yàn)樵诩螹中，當(dāng)1

9、數(shù)的方法 ①先觀察兩個(gè)數(shù)集A，B是否非空. ②驗(yàn)證對(duì)應(yīng)關(guān)系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性. (2)根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)是否為函數(shù)的步驟 ①任取一條垂直于x軸的直線l. ②在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線l. ③若l與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則不是函數(shù). 2．下列各式是否表示y是x的函數(shù)關(guān)系？如果是，寫出這個(gè)函數(shù)的解析式；若不是，請(qǐng)說(shuō)明原因． (1)5x＋2y＝1(x∈R)；(2)xy＝－3(x≠0)； (3)x2＋y2＝1(x∈(－1,0))；(4)x3＋y3＝1(x∈R)． [解]　(1)5x＋2y＝1(x∈R)

10、是函數(shù)關(guān)系，解析式為y＝－x＋； (2)xy＝－3(x≠0)是函數(shù)關(guān)系，解析式為y＝(x≠0)； (3)x2＋y2＝1(x∈(－1,0))不是函數(shù)關(guān)系，因?qū)τ趚∈(－1,0)的任意一個(gè)值，對(duì)應(yīng)的y值有兩個(gè)； (4)x3＋y3＝1(x∈R)是函數(shù)關(guān)系，解析式為y＝. 求函數(shù)的定義域 【例3】　求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝＋；(2)y＝. [思路探究]　求函數(shù)的定義域就是求使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量的取值范圍，可通過列不等式或不等式組求解． [解]　(1)依題意解得－1≤x≤1. 所以，函數(shù)y＝＋的定義域?yàn)閇－1,1]． (2)依題意，解得x≤1，且x≠0，且x≠－

11、1. 所以，函數(shù)y＝的定義域?yàn)?－∞，－1)∪(－1,0)∪(0,1]． 1．當(dāng)函數(shù)是由解析式給出時(shí)，求函數(shù)的定義域就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍．(1)偶次根號(hào)下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能為0；(3)零次冪的底數(shù)不為0；(4)如果函數(shù)有實(shí)際背景，那么除符合上述要求外，還要符合實(shí)際情況． 2．注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用集合或區(qū)間來(lái)表示． 3．函數(shù)y＝＋的定義域是(　　) A．{x|x≤1}　　　　 B．{x|x≥0} C．{x|x≤0，或x≥1} D．{x|0≤x≤1} A　[依題意1－x≥0，解得x≤1.所以，函數(shù)y＝＋的定義域

12、為{x|x≤1}．] 求函數(shù)值與值域 [探究問題] 1．已知f(x)＝，如何求f？ 提示：f＝＝＝. 2．已知f(x)＝，若f(x)＝2，如何求x? 提示：由f(x)＝2，得＝2，解得x＝－2. 3．已知f(x)＝，如何求f[f(x)]? 提示：f[f(x)]＝＝＝＝. 　已知f(x)＝(x∈R，x≠2)，g(x)＝x＋4(x∈R)． (1)求f(1)，g(1)的值； (2)求f[g(x)]的值． [思路探究]　(1)將x＝1分別代入f(x)與g(x)的函數(shù)表達(dá)式中求出函數(shù)值． (2)將x＝x＋4代入f(x)的解析式中，求出f[g(x)]． [解]　(1)f(1

13、)＝＝1，g(1)＝1＋4＝5. (2)f[g(x)]＝f(x＋4)＝＝＝－(x∈R，且x≠－2)． 1．(變結(jié)論)在本例條件下，求g[f(1)]的值及f(2x＋1)的表達(dá)式． [解]　g[f(1)]＝g(1)＝1＋4＝5. f(2x＋1)＝＝－. 2．(變條件、變結(jié)論)若將本例g(x)的定義域改為{0,1,2,3}，求g(x)的值域． [解]　因?yàn)間(x)＝x＋4，x∈{0,1,2,3}，所以g(0)＝4，g(1)＝5，g(2)＝6，g(3)＝7. 所以g(x)的值域?yàn)閧4,5,6,7}． (1)求函數(shù)值的方法 ①先要確定出函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系f的具體含義，②然后將變量取

14、值代入解析式計(jì)算，對(duì)于f[g(x)]型的求值，按“由內(nèi)到外”的順序進(jìn)行，要注意f[g(x)]與g[f(x)]的區(qū)別. (2)求函數(shù)值域的常用方法 ①觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到； ②配方法：此法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法，即把函數(shù)通過配方轉(zhuǎn)化為能直接看出其值域的方法； ③分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域； ④換元法：即運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域. 1．對(duì)函數(shù)相等的概念的理解 (1)函數(shù)有三個(gè)要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系．函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系共同

15、確定函數(shù)的值域，因此當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)才是同一個(gè)函數(shù)． (2)定義域和值域都分別相同的兩個(gè)函數(shù)，它們不一定是同一函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不一定相同．如y＝x與y＝3x的定義域和值域都是R，但它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以是兩個(gè)不同的函數(shù)． 2．區(qū)間實(shí)質(zhì)上是數(shù)軸上某一線段或射線上的所有點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的取值集合，即用端點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)、“＋∞”(正無(wú)窮大)、“－∞”(負(fù)無(wú)窮大)、方括號(hào)(包含端點(diǎn))、小圓括號(hào)(不包含端點(diǎn))等來(lái)表示的部分實(shí)數(shù)組成的集合．如{x|a

16、績(jī)與物理成績(jī)的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系．(　　) (2)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的多個(gè)x可以對(duì)應(yīng)同一個(gè)y值．(　　) (3)在函數(shù)f：A→B中，值域即集合B.(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)× 2．已知f(x)＝x2＋1，則f[f(－1)]＝________. 5　[∵f(－1)＝(－1)2＋1＝2， ∴f[f(－1)]＝f(2)＝22＋1＝5.] 3．函數(shù)y＝的定義域是________． {x|x≠±1}　[由x2－1≠0，得x≠±1.所以函數(shù)y＝的定義域?yàn)閧x|x≠±1}．] 4．已知函數(shù)f(x)＝. (1)求f(2)和f[f(2)]； (2)若f(x)＝，求x； (3)求函數(shù)f(x)的值域． [解]　(1)∵f(2)＝＝，∴f[f(2)]＝f＝＝＝－. (2)由f(x)＝，得＝，x2＝3，∴x＝±. (3)f(x)＝1＋. ∵x2＋1≥1，∴－2≤<0，∴－1≤1＋<1. ∴函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－1,1)． - 8 -