《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.2 向量數(shù)量積的運算律學案 新人教B版第三冊》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第8章 向量的數(shù)量積與三角恒等變換 8.1 向量的數(shù)量積 8.1.2 向量數(shù)量積的運算律學案 新人教B版第三冊(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、8.1.2 向量數(shù)量積的運算律
學 習 目 標
核 心 素 養(yǎng)
1.通過向量數(shù)量積的定義給出向量數(shù)量積的運算律.(難點)
2.能利用運算律進行向量的數(shù)量積運算.(重點,難點)
1.通過向量加法與數(shù)乘運算律得到數(shù)量積的運算律,培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).
2.利用平面向量的運算律進行數(shù)量積運算,提升學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng).
1.兩個向量數(shù)量積的運算律
(1)交換律:a·b=b·a.
(2)結合律:(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R).
(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
思考1:根據(jù)實數(shù)乘法的分配律,得到向量數(shù)量積的分配律:
(1)實數(shù)a,b,c的乘
2、法分配律:(a+b)·c=______.
(2)向量a,b的數(shù)量積的分配律:(a+b)·c=____.
[提示](1)ac+bc(2)a·c+b·c
2.重要公式:
平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
完全平方公式
(a±b)2=a2±2a·b+b2
思考2:根據(jù)實數(shù)的乘法公式,得到向量數(shù)量積的公式:
(1)平方差公式:(a+b)(a-b)=__________;
向量數(shù)量積公式:(a+b)(a-b)=________.
(2)完全平方公式:(a±b)2=__________;
向量數(shù)量積公式:(a±b)2=__________.
[提示](1)a2-b2
3、;a2-b2
(2)a2±2ab+b2;a2±2a·b+b2
1.下面給出的關系式中正確的個數(shù)是( )
① 0·a=0;②a·b=b·a;③a2=|a|2;
④|a·b|≤a·b;⑤(a·b)2=a2·b2.
A.1 B.2
C.3 D.4
C [①②③正確,④錯誤,⑤錯誤,(a·b)2=(|a||b|·cos θ)2=a2·b2cos 2 θ≠a2·b2,選C.]
2.已知|a|=1,|b|=1,|c|=,a與b的夾角為90°,b與c的夾角為45°,則a·(b·c)的化簡結果是( )
A.0 B.a(chǎn)
C.b D.c
B [b·c=
4、|b||c|cos 45°=1.∴a·(b·c)=a.]
3.已知|a|=2,|b|=1,a與b之間的夾角為60°,那么向量|a-4b|2=( )
A.2 B.2
C.6 D.12
D [∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=22-8×2×1×cos 60°+16×12=12.]
4.設a,b,c是任意的非零向量,且它們相互不共線,給出下列結論:
①a·c-b·c=(a-b)·c;
②(b·c)·a-(c·a)·b不與c垂直;
③|a|-|b|<|a-b|;
④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.
其中正確的序號是________.
5、
①③④ [根據(jù)向量積的分配律知①正確;因為[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,
∴(b·c)·a-(c·a)·b與c垂直,② 錯誤;
因為a,b不共線,所以|a|,|b|,|a-b|組成三角形三邊,∴|a|-|b|<|a-b|成立,③正確;④正確.故正確命題的序號是①③④.]
利用向量數(shù)量積的運算律計算
【例1】(1)如圖,在平行四邊形ABCD中,AP⊥BD,垂足為P,且AP=3,則·=________.
(2)(2019·東營高一檢測)已知e1,e2是互相垂直的單位向量,a=e1-e2,b=e1+λe2.
①
6、若a⊥b,求實數(shù)λ的值;
②若a與b的夾角為60°,求實數(shù)λ的值.
[思路探究](1)利用向量垂直的充要條件轉化為向量的數(shù)量積計算.
(2)利用平面向量的數(shù)量積公式以及運算律,解方程求參數(shù)的值.
(1)18 [在平行四邊形ABCD中,得=+,=-.
由AP⊥BD,垂足為P,且AP=3,得·=·(+)=0?·=-·.
所以·=·(-)=·-·=-2·=2·
=2||||cos〈,〉=2||2=18.]
(2)[解]?、儆蒩⊥b, 得a·b=0,則(e1-e2)·(e1+λe2)=0,得e+λe1·e2-e1·e2-λe=0,-λ=0,所以λ=.
②因為e1-e2與e1+λe2的
7、夾角為60°,所以cos 〈e1-e2,e1+λe2〉=,且·=e+λe1·e2-e1·e2-λe=-λ,
|e1-e2|===2,
|e1+λe2|===,∴-λ=2××cos 60°=,
解得λ=.
利用向量數(shù)量積的運算律計算的注意事項
(1)計算(λa+μb)·(λa+μb),可以類比多項式乘法運算律,注意實數(shù)的乘法、數(shù)乘向量和向量的數(shù)量積在表示和意義的異同.
(2)三個實數(shù)的積滿足結合律(ab)c=a(bc)=(ac)b,而三個向量的“數(shù)量積”不一定滿足結合律,即下列等式不一定成立:(a·b)·c=a·(b·c)=(a·c)·b,這是因為上式的本質(zhì)為λc=μa=kb,當
8、三個向量不共線時,顯然等式不成立.
1.已知△ABC外接圓半徑是1,圓心為O,且3+4+5=0,則·=( )
A. B. C.- D.
C [由3+4+5=0,得5=-3-4,兩邊平方,得252=92+162+24·,
因為△ABC外接圓半徑是1,圓心為O,所以25=9+16+24·,即·=0.
所以·=(5)·(-)=(-3-4)·(-)=(-3·+32-42+4·)=-.]
利用平面向量的數(shù)量積證明幾何問題
【例2】 如圖,已知△ABC中,C是直角,CA=CB,D是CB的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:AD⊥CE.
[思路探究]
9、借助平面向量垂直的充要條件解題,即通過計算·=0完成證明.
[證明] 設此等腰直角三角形的直角邊長為a,則
·=·
=·+·+·+·
=-a2+0+a·a·+·a·
=-a2+a2+a2=0.
所以AD⊥CE.
利用向量法證明幾何問題的方法技巧
(1)利用向量表示幾何關系,如位置關系、長度關系,角度關系.
(2)進行向量計算,如向量的線性運算、數(shù)量積運算.
(3)將向量問題還原成幾何問題,如向量共線與三點共線或者直線平行,向量的夾角與直線的夾角等.
2.在邊長為1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是線段CD上一點,滿足||=2||,如圖所示,設=a,=b.
10、(1)用a,b表示;
(2)在線段BC上是否存在一點F滿足AF⊥BE?若存在,確定F點的位置,并求||;若不存在,請說明理由.
[解](1)根據(jù)題意得:==b,
===-=-a,
∴=+=b-a;
(2)結論:在線段BC上存在使得4||=||的一點F滿足AF⊥BE,此時||=.
理由如下:
設=t=tb,則=(1-t)b,(0≤t≤1),
∴=+=a+tb,
∵在邊長為1的菱形ABCD中,∠A=60°,
∴|a|=|b|=1,a·b=|a||b|cos 60°=,
∵AF⊥BE,
∴·=(a+tb)·=a·b-a2+tb2
=×-+t=0,
解得t=,從而=a+
11、b,
∴||==
==.
1.向量的數(shù)量積與實數(shù)乘積運算性質(zhì)的比較
實數(shù)a,b,c
向量a,b,c
a≠0,a·b=0?b=0
a≠0,a·b=0?/ b=0
a·b=b·c(b≠0)?a=c
a·b=b·c(b≠0)?/ a=c
|a·b|=|a|·|b|
|a·b|≤|a|·|b|
滿足乘法結合律
不滿足乘法結合律
2.知識導圖
——數(shù)量積運算律——
∣
1.已知|a|=3,|b|=2,則(a+b)·(a-b)=( )
A.2 B.3
C.5 D.-5
C [因為|a|=3,|b|=2,所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=9-
12、4=5.]
2.已知?ABCD中,||=4,||=3,N為DC的中點,=2,則·=( )
A.2 B.5
C.6 D.8
C [·=(+)·(+)
=·=2-2
=×42-×32=6.故選C.]
3.已知向量|a|=2|b|=2,a與b的夾角為120°,則|a+2b|=( )
A.2 B.3
C.4 D.6
A [因為向量|a|=2|b|=2,a與b的夾角為120°,則|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=4+4|a||b|cos 120°+4=4.所以|a+2b|=2.]
4.已知向量a與b的夾角為30°,且|a|=1,|2a-b|=1,則|b|=________.
[因為|2a-b|=1,所以|2a-b|2=4a2+b2-4a·b=4+|b|2-4|b|cos 30°=1,
即|b|2-2|b|+3=0,所以(|b|-)2=0,所以|b|=.]
7