《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第1課時 函數(shù)的概念學案 新人教B版必修第一冊》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第1課時 函數(shù)的概念學案 新人教B版必修第一冊(10頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第1課時 函數(shù)的概念
(教師獨具內(nèi)容)
課程標準:1.在初中用變量之間的依賴關系描述函數(shù)的基礎上,用集合語言和對應關系刻畫函數(shù),建立完整的函數(shù)概念,體會集合語言和對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用.2.了解構成函數(shù)的要素,能求簡單函數(shù)的定義域.
教學重點:函數(shù)的概念;符號“y=f(x)”的含義;函數(shù)的定義域和值域的求法.
教學難點:符號“y=f(x)”的含義及已知函數(shù)解析式求函數(shù)定義域的方法.
【情境導學】(教師獨具內(nèi)容)
夏天,大家都喜歡吃西瓜,而西瓜的價格往往與西瓜的重量相關.某人到一個水果店去買西瓜,價格表上寫的是:6斤以下,每斤0.4元;6斤以上9斤以下,每斤0.5元;9斤
2、以上,每斤0.6元.此人挑了一個西瓜,稱重后店主說5元1角,1角就不要了,給5元吧.可這位聰明的顧客馬上說,你不僅沒少要,反而多收了我的錢.當顧客講出理由,店主只好承認了錯誤,照實收了錢.
同學們,你知道顧客是怎么曉得店主坑人的嗎?
【知識導學】
知識點一 函數(shù)的概念
(1)函數(shù)的傳統(tǒng)定義
在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y,并且對于x的每一個確定的值,y都有唯一確定的值與其對應,那么就稱y是x的函數(shù).
(2)函數(shù)的近代定義
一般地,給定兩個非空實數(shù)集A與B,以及對應關系f,如果對于集合A中的每一個實數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的實數(shù)y與x對應,則稱f為定義在集合A上的一個函
3、數(shù),記作y=f(x),x∈A.
知識點二 函數(shù)的定義域和值域
在函數(shù)y=f(x),x∈A中,x稱為自變量,y稱為因變量,自變量取值的范圍(即數(shù)集A)稱為這個函數(shù)的定義域,所有函數(shù)值組成的集合{y∈B|y=f(x),x∈A}稱為函數(shù)的值域.
知識點三 確定函數(shù)的兩個要素
(1)定義域;
(2)對應關系.
知識點四 兩個函數(shù)相同的條件
(1)定義域相同;
(2)對應關系相同.
知識點五 求函數(shù)定義域常用的依據(jù)
(1)分式中分母不能為零;
(2)二次根式中的被開方數(shù)要大于等于零.
【新知拓展】
對函數(shù)概念的理解
(1)A,B都是非空實數(shù)集,因此定義域或值域為空集的函數(shù)不
4、存在,如y=就不是函數(shù).
(2)集合A就是定義域,因為給定A中的每一個x值都有唯一的y值與之對應.
(3)集合B不一定是函數(shù)的值域,即B中的元素可以沒有與之對應者,若將函數(shù)的值域記為C,容易得到C?B.
(4)符號“y=f(x)”表示“x對應的函數(shù)值”,f表示對應關系.
(5)“f(x)”是一個整體,不可分開,也不能理解成“f·x”.
(6)f(a)(a∈A)與f(x)的區(qū)別與聯(lián)系:f(a)表示當x=a時的函數(shù)值,是值域內(nèi)的一個數(shù)值,是常量;f(x)表示自變量為x的函數(shù),表示的是變量.例如,f(x)=2x表示函數(shù);當x=3時,f(3)=6,是一個常量.
(7)函數(shù)的概念中強調(diào)“三性
5、”:任意性、存在性、唯一性,這是因為函數(shù)定義中明確要求是對于非空實數(shù)集A中的任意一個(任意性)數(shù)x,在非空實數(shù)集B中都有(存在性)唯一確定(唯一性)的實數(shù)y和它對應,這“三性”只要有一個不滿足,便不能構成函數(shù).
1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)函數(shù)值域中的每一個實數(shù)都有定義域中的實數(shù)與之對應.( )
(2)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合.( )
(3)定義域和對應關系確定后,函數(shù)值域也就確定了.( )
(4)若函數(shù)的定義域只有一個元素,則值域也只有一個元素.( )
答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√
6、
2.做一做
(1)對于函數(shù)f:A→B,若a∈A,則下列說法錯誤的是( )
A.f(a)∈B
B.f(a)有且只有一個
C.若f(a)=f(b),則a=b
D.若a=b,則f(a)=f(b)
(2)已知f(x)=x2+1,則f[f(-1)]=( )
A.2 B.3
C.4 D.5
(3)求下列函數(shù)的定義域:
①f(x)=;
②f(x)=+.
答案 (1)C (2)D (3)①{x|x≠-8}?、?
題型一 求函數(shù)的定義域
例1 求下列函數(shù)的定義域:
(1)y=2x+3;(2)y=+;(3)y=.
[解] (1)函數(shù)y=2x+3的定義域
7、為R.
(2)要使函數(shù)有意義,則即所以函數(shù)y=+的定義域是[-1,2)∪(2,+∞).
(3)要使函數(shù)有意義,則即即x≥1,所以函數(shù)y=的定義域為[1,+∞).
金版點睛
求函數(shù)定義域的步驟與方法
(1)求函數(shù)定義域的一般步驟
①列出使函數(shù)解析式有意義的自變量的不等式(組);
②解不等式(組);
③把解集表示成集合或區(qū)間的形式.
(2)列不等式(組)的依據(jù)
①分母不為零;
②偶次根式中被開方數(shù)大于或等于零;
③零指數(shù)冪的底數(shù)不為零.
④幾部分組成:若y=f(x)是由幾部分數(shù)學式子的和、差、積、商組成的形式,定義域是使各部分都有意義的集合的交集.
(3)定義域是一個集
8、合,要用集合或區(qū)間表示.若用區(qū)間表示,不同區(qū)間應該用“∪”連接.
求下列函數(shù)的定義域:
(1)y=;(2)y=+;
(3)y=;(4)y=(1-2x)0.
解 (1)要使函數(shù)式有意義,即分式有意義,則x+1≠0,x≠-1.故函數(shù)的定義域為{x|x≠-1}.
(2)要使函數(shù)式有意義,則即所以x=1,從而函數(shù)的定義域為{x|x=1}.
(3)因為當x2-1≠0,即x≠±1時,有意義,所以函數(shù)的定義域是{x|x≠±1}.
(4)∵1-2x≠0,即x≠,
∴函數(shù)的定義域為.
題型二 求函數(shù)值或求函數(shù)的值域
例2 (1)已知f(x)=(x∈R,且x≠-1),g(x)=
9、x2+2(x∈R).
①求f(2),g(2)的值;
②求f[g(3)]的值;
(2)求下列函數(shù)的值域:
①y=x+1,x∈{1,2,3,4,5};
②y=x2-2x+3,x∈[0,3);
③y=;
④y=2x-.
[解] (1)①∵f(x)=,∴f(2)==.
∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6.
②∵g(3)=32+2=11,
∴f[g(3)]=f(11)==.
(2)①(觀察法)因為x∈{1,2,3,4,5},分別代入求值,可得函數(shù)的值域為{2,3,4,5,6}.
②(配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2,由x∈[0,3),再結合函數(shù)的圖像(如
10、圖),可得函數(shù)的值域為[2,6).
③(分離常數(shù)法)y=
==2+,
顯然≠0,所以y≠2.
故函數(shù)的值域為(-∞,2)∪(2,+∞).
④(換元法)設t=,則x=t2+1,且t≥0,
所以y=2(t2+1)-t=22+,
由t≥0,再結合函數(shù)的圖像(如右圖),可得函數(shù)的值域為.
金版點睛
求函數(shù)值域的原則及常用方法
(1)原則:①先確定相應的定義域;②再根據(jù)函數(shù)的具體形式通過運算確定其值域.
(2)常用方法
①觀察法:對于一些比較簡單的函數(shù),其值域可通過觀察法得到.
②配方法:是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法.
③換元法:運用新元代換,將所給函數(shù)化成值域易
11、確定的函數(shù),從而求得原函數(shù)的值域.對于f(x)=ax+b+(其中a,b,c,d為常數(shù),且ac≠0)型的函數(shù)常用換元法.
④分離常數(shù)法:此方法主要是針對有理分式,即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)”類的形式,便于求值域.
求下列函數(shù)的值域:
(1)y=;
(2)y=x2-4x+6,x∈[1,5).
解 (1)∵y===1-,且≠0,
∴函數(shù)y=的值域為{y|y≠1}.
(2)配方,得y=(x-2)2+2.
由x∈[1,5),
結合函數(shù)的圖像可知,函數(shù)的值域為{y|2≤y<11}.
題型三 相同函數(shù)的判斷
例3 下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是( )
A.f(x)
12、=x,g(x)=()2
B.f(x)=x2+1,g(t)=t2+1
C.f(x)=1,g(x)=
D.f(x)=x,g(x)=|x|
[解析] A中,由于f(x)=x的定義域為R,g(x)=()2的定義域為{x|x≥0},它們的定義域不相同,所以它們不是同一函數(shù).
B中,函數(shù)的定義域、值域和對應關系都相同,所以它們是同一函數(shù).
C中,由于f(x)=1的定義域為R,g(x)=的定義域為{x|x≠0},它們的定義域不相同,所以它們不是同一函數(shù).
D中,兩個函數(shù)的定義域相同,但對應關系不同,所以它們不是同一函數(shù).
[答案] B
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判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)的條件
(1)判斷
13、兩個函數(shù)是同一函數(shù)的準則是兩個函數(shù)的定義域和對應關系分別相同.定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是同一函數(shù),即使定義域與值域都相同,也不一定是同一函數(shù).
(2)函數(shù)是兩個非空實數(shù)集之間的對應關系,所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.另外,在化簡解析式時,必須是等價變形.
下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x相同?
(1)y=()2;(2)y=;(3)y=;(4)y=.
解 (1)y=()2=x(x≥0),y≥0,與函數(shù)y=x定義域不同且值域不同,所以不相同.
(2)y==x(x∈R),y∈R,與函數(shù)y=x對應關系相同,定義域和值域也都相同,所以相同.
(3)y==
14、|x|=y(tǒng)≥0;與函數(shù)y=x值域不同,且當x<0時,它的對應關系與函數(shù)y=x不相同,所以不相同.
(4)y=的定義域為{x|x≠0},與函數(shù)y=x的定義域不相同,所以不相同.
題型四 求抽象函數(shù)的定義域
例4 (1)已知函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1],求函數(shù)f(2x-1)的定義域;
(2)已知函數(shù)f(x-1)的定義域為(1,4],求函數(shù)f(x)的定義域.
[解] (1)∵函數(shù)f(x)的定義域為[-1,1],
∴函數(shù)f(2x-1)中自變量x的取值應滿足-1≤2x-1≤1,即0≤x≤1.
∴函數(shù)f(2x-1)的定義域為[0,1].
(2)因為函數(shù)f(x-1)的定義域為(1
15、,4],即x∈(1,4],
∴0
16、,應將左、右兩端統(tǒng)一,也可以用“換元法”,將較難配湊的式子化簡.
(2)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a,b],則函數(shù)f[g(x)]的定義域應由不等式a≤g(x)≤b解出即得.若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a,b],則函數(shù)g(x)在x∈[a,b]時的值域即為所求函數(shù)f(x)的定義域.
若函數(shù)f(x)的定義域為[-3,5],求函數(shù)φ(x)=f(-x)+f(x)的定義域.
解 由函數(shù)f(x)的定義域為[-3,5],得
即
解得-3≤x≤3.
所以函數(shù)φ(x)的定義域為[-3,3].
1.函數(shù)f(x)=+(x-2)0的定義域為( )
A.[1,+∞)
17、 B.[1,2)∪(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(1,2)∪(2,+∞)
答案 D
解析 由題意,知解得x>1,且x≠2.
所以函數(shù)f(x)的定義域為(1,2)∪(2,+∞).
2.如果函數(shù)y=x2-2x的定義域為{0,1,2,3},那么其值域為( )
A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3}
C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3}
答案 A
解析 當x取0,1,2,3時,y的值分別為0,-1,0,3,則其值域為{-1,0,3}.故選A.
3.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是( )
A.y=2x+1與y=2m+1
B.y=與y=2
18、x+1
C.y=1與y=x0
D.y=與y=()2
答案 A
解析 B中兩函數(shù)解析式不同,值域不同.C,D中的兩個函數(shù)的定義域不相同不表示同一函數(shù),A中的兩個函數(shù)的定義域與對應關系都相同,表示同一函數(shù).故選A.
4.已知集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤4},則下列對應關系,能夠構成以A為定義域,B為值域的函數(shù)的是________(填寫滿足條件的所有函數(shù)的序號).
①y=2x;②y=x2;③y=|4-2x|;④y=x+5;⑤y=(x-2)2.
答案 ①②③⑤
解析 判斷能否構成以A為定義域,B為值域的函數(shù),就是看是否符合函數(shù)的定義.對于①y=2x,當定義域為A={x
19、|0≤x≤2}時,顯然其值域為B={y|0≤y≤4},故①滿足條件;顯然②③⑤同樣也滿足條件;對于④y=x+5,若其定義域為A={x|0≤x≤2},則其值域為{y|5≤y≤7},因此④不滿足條件.故填①②③⑤.
5.已知函數(shù)f(x)=x2+x-1.
(1)求f(2),f,f(a+1);
(2)若f(x)=5,求x.
解 (1)f(2)=22+2-1=5,
f=+-1=,
f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a2+3a+1.
(2)∵f(x)=x2+x-1=5,∴x2+x-6=0,
∴x=2或x=-3.
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