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1、2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 1-4-11三角變換與解三角形、平面向量同步練習(xí) 理 人教版
班級(jí)_______ 姓名_______ 時(shí)間:45分鐘 分值:75分 總得分________
一、選擇題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng)填在答題卡上.
1.a(chǎn),b是不共線的向量,若=λ1a+b,=a+λ2b(λ1,λ2∈R),則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件為( )
A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1
C.λ1λ2+1=0 D.λ1λ2-1=0
解析:只要,共線即可,根據(jù)向量共線的條件即存在實(shí)數(shù)λ使得=λ,
即a+
2、λ2b=λ(λ1a+b),由于a,b不共線,根據(jù)平面向量基本定理得1=λλ1且λ2=λ,消掉λ得λ1λ2=1.
答案:D
2.(xx·遼寧)若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為( )
A.-1 B.1
C. D.2
解析:a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,
即a·b-(a·c+b·c)+c2≤0
∴a·c+b·c≥1.
又|a+b-c|=
=
=≤1.
答案:B
3.(xx·全國(guó))設(shè)向量a,b,c滿足|a|=|b|=1,a·b=
-,〈a-c,b-c〉=60°,則|c|的最大值等于( )
3、
A.2 B.
C. D.1
解析:設(shè)=a,=b,=c
(ⅰ)若OC在∠AOB內(nèi),如圖
因?yàn)閍·b=-,所以∠AOB=120°,
又〈a-c,b-c〉=60°,則O,A,C,B四點(diǎn)共圓.
|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA|·|OB|·cos120°=3,∴|AB|=.
2R===2,∴|OC|≤2,即|c|≤2.
(ⅱ)若OC在∠AOB外,如圖
由(ⅰ)知∠AOB=120°,又∠ACB=60°,
|OA|=|OB|=1,知點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓上,知|c|=||=1.
綜合(ⅰ),(ⅱ)|c|最大值為2.
答案:A
4.在平面直角坐標(biāo)
4、系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)向量=a,=b,其中a=(3,1),b=(1,3).若=λa+μb,且0≤λ≤μ≤1,C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰影表示正確的是( )
解析:由題意知=(3λ+μ,λ+3μ),取特殊值,λ=0,μ=0,知所求區(qū)域包含原點(diǎn),取λ=0,μ=1,知所求區(qū)域包含(1,3),從而選A.
答案:A
5.(xx·天津)如圖,在△ABC中,D是邊AC上的點(diǎn),且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,則sinC的值為( )
A. B.
C. D.
解析:如題圖所示
在△BCD中,∵BC=2BD,
∴=.
在△ABD中,∵AB=AD,2AB=BD,
5、
∴cos∠ADB==,
∴sin∠ADB=,∵∠ADB=π-∠BDC,
∴sin∠ADB=sin∠BDC,
∴sinC=×=.
答案:D
6.(xx·河南省重點(diǎn)中學(xué)第二次聯(lián)考)在△ABC中,sin2A+cos2B=1,則cosA+cosB+cosC的最大值為( )
A. B.
C.1 D.
解析:由sin2A+cos2B=1,得cos2B=cos2A.又A、B為△ABC的內(nèi)角,所以A=B,則C=π-2A.cosA+cosB+cosC=2cosA+cos(π-2A)=2cosA-cos2A=-2cos2A+2cosA+1=-22+,可知當(dāng)cosA=時(shí),cosA+
6、cosB+cosC取得最大值.
答案:D
二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在題中橫線上.
7.(xx·江蘇)已知tan=2,則的值為________.
解析:tan==2,∴tanx=,
tan2x==,
則==.
答案:
8.(xx·上海)函數(shù)y=sincos的最大值為________.
解析:y=cosx·=cos2x+sinx·cosx=·+sin2x
=cos2x+sin2x+=sin+.
故ymax=+.
答案:+
9.(xx·江西)已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,則a與b的夾角為________.
解
7、析:(a+2b)·(a-b)=-2
∴a2+a·b-2b2=-2
∵|a|=2,|b|=2,
∴4+a·b-8=-2,∴a·b=2
∴cosθ===,0≤θ≤π,∴θ=.
答案:
10.(xx·湖南)在邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC中,設(shè)=
2,=3,則·=________.
解析:∵=2,∴D為BC中點(diǎn).
∵=3,∴E為AC邊上距C近的一個(gè)三等分點(diǎn).
∴=(+),=-=-.
又||=||=1,與夾角為60°,
∴·=(+)·
=
=
==-.
答案:-
三、解答題:本大題共2小題,共25分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
11.(12分)(xx·廣東)
8、已知函數(shù)f(x)=2sin,x∈R.
(1)求f的值;
(2)設(shè)α,β∈,f=,f(3β+2π)=,求cos(α+β)的值.
解:(1)f=2sin=2sin=2sin=.
(2)∵f=2sin
=2sinα=,
∴sinα=,又α∈,∴cosα=,
∵f(3β+2π)=2sin=2sin
=2cosβ=,
∴cosβ=,又β∈,∴sinβ=.
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=.
12.(13分)(xx·湖北)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c.已知a=1,b=2,cosC=.
(1)求△ABC的周長(zhǎng);
(2)求cos(A-C)的值.
解:(1)∵c2=a2+b2-2abcosC=1+4-4×=4.
∴c=2
∴△ABC的周長(zhǎng)為a+b+c=1+2+2=5.
(2)∵cosC=,∴sinC== =.
∴sinA===.
∵a