2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 第1講 排列與組合、二項(xiàng)式定理教案

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1、2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 第1講 排列與組合、二項(xiàng)式定理教案 自主學(xué)習(xí)導(dǎo)引 真題感悟 1.(xx·安徽)(x2+2)5的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是 A.-3    B.-2    C.2    D.3 解析 第一個(gè)因式取x2,第二個(gè)因式取得:1×C(-1)4=5,第一個(gè)因式取2,第二個(gè)因式取(-1)5得:2×(-1)5=-2展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是5+(-2)=3. 2.(xx·大綱全國(guó)卷)6名選手依次演講,其中選手甲不在第一個(gè)也不在最后一個(gè)演講,則不同的演講次序共有 A.240種 B.360種 C.480種 D.720種 解析 解法一 甲先安排在除開(kāi)始與結(jié)尾的位置有C

2、個(gè)選擇,剩余的元素與位置進(jìn)行全排列有A種,故不同的演講次序共有CA=480種. 解法二 若不考慮元素甲的特殊性,共有A中演講次序,其中甲在第一個(gè)演講的有A種,甲在最后一個(gè)演講的也有A種,故不同的演講次序共有A-A-A=480(種). 考題分析 考查排列與組合的題目高考中多以小題的形式出現(xiàn),與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用;二項(xiàng)式定理的問(wèn)題常涉及展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù),特定項(xiàng)的求法,也可與其他知識(shí)交匯命題,如定積分計(jì)算,數(shù)列知識(shí),方程根的個(gè)數(shù)等. 網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 高頻考點(diǎn)突破 考點(diǎn)一:兩個(gè)原理及其應(yīng)用 【例1】用紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不

3、同的顏色,如果顏色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法? [審題導(dǎo)引] 顏色可以反復(fù)使用,即說(shuō)明在不相鄰的小方格內(nèi)可以使用同一種顏色,首先確定第一個(gè)小方格的涂法,再考慮其相鄰的兩個(gè)小方格的涂法. [規(guī)范解答] 如圖所示,將4個(gè)小方格依次編號(hào)為1,2,3,4,第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.  1 2 3 4 ①當(dāng)?shù)?、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí),有A=12(種)不同的涂法,第4個(gè)小方格有3種不同的涂法.由分步計(jì)數(shù)原理可知,有5×12×3=180(種)不同的涂法; ②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí),有4種涂法,由于相鄰兩格不同色,因此,第4

4、個(gè)小方格也有4種不同的涂法,由分步計(jì)數(shù)原理可知,有5×4×4=80(種)不同涂法. 由分類加法計(jì)數(shù)原理可得,共有180+80=260(種)不同的涂法. 【規(guī)律總結(jié)】 涂色問(wèn)題的解決方法 (1)涂色問(wèn)題沒(méi)有固定的方法可循,只能按照題目的實(shí)際情況,結(jié)合兩個(gè)原理與排列組合的知識(shí)靈活處理,其難點(diǎn)是對(duì)相鄰區(qū)域顏色不同的處理,解決的方法往往要采用分類討論的方法,根據(jù)“兩個(gè)原理”計(jì)算. (2)本題也可以考慮對(duì)使用的顏色的種數(shù)進(jìn)行分類,如果使用2種顏色,則只能是第1,4涂一種、第2,3涂一種,方法數(shù)是CA=20;若是使用3種顏色,若第1,2,3方格不同色,第4個(gè)方格只能和第1個(gè)方格相同,方法數(shù)是CA

5、=60,如果第1,2,3方格只用兩種顏色,則第4個(gè)方格只能用第3種顏色,方法數(shù)是C×3×2=60;如果使用4種顏色,方法數(shù)是CA=120.根據(jù)加法原理總的涂法種數(shù)是260. [易錯(cuò)提示] 在涂色問(wèn)題中一定要看顏色是否可以重復(fù)使用,不允許重復(fù)使用的涂色問(wèn)題實(shí)際上就是一般的排列問(wèn)題,當(dāng)顏色允許重復(fù)使用時(shí),要充分利用“兩個(gè)基本原理”分析解決問(wèn)題. 【變式訓(xùn)練】 1.某次活動(dòng)中,有30個(gè)人排成6行5列,現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演,要求這3人任意2人不同行也不同列,則不同的選法種數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答). 解析 其中最先選出的一個(gè)有30種方法,此時(shí)這個(gè)人所在的行和列不能再選人,還剩一

6、個(gè)5行4列的隊(duì)形,選第二個(gè)人有20種方法,此時(shí)該人所在的行和列不能再選人,還剩一個(gè)4行3列的隊(duì)形,此時(shí)第三個(gè)人的選法有12種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,總的選法種數(shù)是30×20×12=7 200. 答案 7 200 考點(diǎn)二:排列與組合 【例2】(1)(xx·海淀一模)從甲、乙等5個(gè)人中選出3人排成一列,則甲不在排頭的排法種數(shù)是 A.12  B.24  C.36   D.48 (2)(xx·深圳模擬)值域?yàn)閧2,5,10},其對(duì)應(yīng)關(guān)系為y=x2+1的函數(shù)的個(gè)數(shù)為 A.1 B.27 C.39 D.8 [審題導(dǎo)引] (1)分“選甲”與“不選甲”兩類進(jìn)行討論; (2)根據(jù)函

7、數(shù)的值域,求出函數(shù)定義域中可能包含的元素,分類討論確定其定義域. [規(guī)范解答] (1)若選甲,則有AA種排法; 若不選甲,則有A種排法,則共有AA+A=48(種). (2)分別由x2+1=2,x2+1=5,x2+1=10解得x=±1,x=±2,x=±3,由函數(shù)的定義,定義域中元素的選取分四種情況: ①取三個(gè)元素:有C·C·C=8(種); ②取四個(gè)元素:先從±1,±2,±3三組中選取一組C,再?gòu)氖O碌膬山M中選兩個(gè)元素C·C,故共有C·C·C=12(種); ③取五個(gè)元素:C=6(種); ④取六個(gè)元素:1種. 由分類計(jì)數(shù)原理,共有8+12+6+1=27(種). [答案] (1)D 

8、(2)B 【規(guī)律總結(jié)】 排列、組合問(wèn)題的解法 解排列組合綜合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手.“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論.哪些是“元素”,哪些是“位置”;“分辨”就是辨別是排列還是組合,對(duì)某些元素的位置有無(wú)限制等;“分類”就是對(duì)于較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素往往分成互相排斥的幾類,然后逐類解決;“分步”就是把問(wèn)題化成幾個(gè)互相聯(lián)系的步驟,而每一步都是簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題,然后逐步解決. 【變式訓(xùn)練】 2.(xx·寧波模擬)某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù),如果要求至少有1名女生,那么不同的選派方案種數(shù)為 A.14 B.24 C.

9、28 D.48 解析 選1名女生的方案有:CC種; 選2名女生的方案有:CC種; 故至少選1名女生共有:CC+CC=14種方案. 答案 A 3.(xx·銀川模擬)用0,1,2,3,4排成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求偶數(shù)字相鄰,奇數(shù)字也相鄰,則這樣的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是 A.36 B.32 C.24 D.20 解析 0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字,偶數(shù)字相鄰,奇數(shù)字也相鄰的排法共有AAA種排法,其中0在首位的排法有AA種,所以共有AAA-AA=20個(gè)五位數(shù). 答案 D 考點(diǎn)三:二項(xiàng)式定理 【例3】(1)(xx·西城二模)(x-2)6的

10、展開(kāi)式中,x3的系數(shù)是________(用數(shù)字作答). (2)已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)的值等于________. [審題導(dǎo)引] (1)利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解; (2)采用賦值法,分別求出a0+a2+a4和a1+a3+a5. [規(guī)范解答] (1)(x-2)6的展開(kāi)式中通項(xiàng)公式為 Tr+1=Cx6-r(-2)r, 令r=3,得T4=Cx3·(-2)3=-160x3, 所以x3的系數(shù)是-160. (2)分別令x=1、x=-1得 a0+a1+a2+a3+a4+a5=0. a0-a1+a2

11、-a3+a4-a5=32, 由此解得a0+a2+a4=16,a1+a3+a5=-16, (a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256. [答案]  (1)-160 (2)-256 【規(guī)律總結(jié)】 五招制勝,解決二項(xiàng)式問(wèn)題 二項(xiàng)式定理是一個(gè)恒等式,應(yīng)對(duì)二項(xiàng)式定理問(wèn)題主要有五種方法: (1)特定項(xiàng)問(wèn)題通項(xiàng)公式法;(2)系數(shù)和與差型問(wèn)題賦值法;(3)近似問(wèn)題截項(xiàng)法;(4)整除(或余數(shù))問(wèn)題展開(kāi)法;(5)最值問(wèn)題不等式法. [易錯(cuò)提示] 在二項(xiàng)式定理問(wèn)題中,常見(jiàn)的誤區(qū)有: (1)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)Tk+1中,項(xiàng)數(shù)與k的關(guān)系搞不清; (2)二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)混淆不清; (3)

12、在展開(kāi)二項(xiàng)式(a-b)n或求特定項(xiàng)時(shí),忽略中間的“-”號(hào). 【變式訓(xùn)練】 4.(xx·武漢模擬)4展開(kāi)式中常數(shù)為_(kāi)_______. 解析 4展開(kāi)式中的通項(xiàng)為 Tr+1=C(-1)rx12-4r, 令12-4r=0,得r=3, 所以常數(shù)項(xiàng)為T4=C(-1)3=-4. 答案?。? 5.(xx·山師附中模擬)二項(xiàng)式(1+sin x)n的展開(kāi)式中,末尾兩項(xiàng)的系數(shù)之和為7,且系數(shù)最大的一項(xiàng)的值為,則x在[0,2π]內(nèi)的值為_(kāi)_______. 解析 (1+sin x)n的展開(kāi)式中末尾兩項(xiàng)的系數(shù)和為 C+C=n+1=7, ∴n=6,則(1+sin x)6的展開(kāi)式中系數(shù)最大的一項(xiàng)為 T

13、4=C(sin x)3, ∴C(sin x)3=,∴sin x=. 又x∈[0,2π],∴x=或. 答案 或 名師押題高考 【押題1】 學(xué)校組織高一年級(jí)4個(gè)班外出春游,每個(gè)班從指定的甲、乙、丙、丁四個(gè)景區(qū)中任選一個(gè)游覽,則恰有兩個(gè)班選擇了甲景區(qū)的選法共有________種. 解析 從4個(gè)班中選2個(gè)班游覽甲景區(qū),有C種選法,剩余的2個(gè)班各有3種選法,有32種選法,根據(jù)乘法原理知,C·32=54. [押題依據(jù)] 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理、排列與組合是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的工具,在高考試題中可能單獨(dú)命題,以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),也可能與概率統(tǒng)計(jì)相結(jié)合命題,難度中等或偏下 【押題2】設(shè)a=sin xdx,則二項(xiàng)式4的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是 A.24         B.-24 C.48 D.-48 解析 a=sin xdx=-cos x=2, ∴=的展開(kāi)式中的通項(xiàng)為 Tr+1=(-1)rCx2-r·24-r,令2-r=0,得r=2, ∴T3=(-1)2C·22=6×4=24. 答案 A [押題依據(jù)] 二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的運(yùn)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,一般用以求展開(kāi)式中的特定項(xiàng),以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),本題與定積分交匯命題,立意新穎、考查全面,故押此題.

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