2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題五 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(含解析)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題五 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(含解析) 抓住5個(gè)高考重點(diǎn) 重點(diǎn) 1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與運(yùn)算 1.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)(為常數(shù)) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 2.可導(dǎo)函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則 (1) (2) (3) (4) 3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義 4.已知切線的斜率,求切線方程 [高考??冀嵌萞 角度1 曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( C ) A. B. C. D. 解析:,

2、故切線方程為,令,則 角度2在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)是函數(shù)的圖象上的動(dòng)點(diǎn),該圖象在處的切線交軸于點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn),設(shè)線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則的最大值是_______解析:設(shè)則,過點(diǎn)作的垂線 , ,所以,t在上單調(diào)增,在單調(diào)減,. 角度3已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,且滿足則( B ) A. B. C. D. 解析:由已知,令,得 角度4函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為為正整數(shù),則的值為__________ 解析:考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項(xiàng). 在點(diǎn)處的切線方程為:當(dāng)時(shí),解得, 所以.

3、 重點(diǎn) 2 定積分與微積分基本定理(理) 1.定積分的性質(zhì) (1) (2) (3)其中 2.微積分基本定理:一般地,如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),并且, 那么 [高考??冀嵌萞 角度1 的值為( C ) A. B. C. D. 解析: ,故選C 角度2由曲線,直線及軸所圍成的圖形的面積為( C ) A. B. 4 C. D. 6 解析:由,所求面積為,故選C 角度3 從如圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn),則點(diǎn)取

4、自陰影部分的概率為( B ) A. B. C. D. 解析:,故點(diǎn)取自陰影部分的概率為 重點(diǎn) 3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 [高考??冀嵌萞 角度1 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是( D ) A. B. C. D. 解析:由由,故選D 角度2設(shè)函數(shù) (Ⅰ)求的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)求所有實(shí)數(shù),使對(duì)恒成立.注:為自然對(duì)數(shù)的底數(shù). 解析:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查抽象概括、推理能力. (Ⅰ)解:因?yàn)?,其中?

5、 所以 由又 由 所以的增區(qū)間為,減區(qū)間為 (Ⅱ)證明:由題意得, ,即 由(Ⅰ)知在內(nèi)單調(diào)遞增 要使對(duì)恒成立, 只要 即 角度3(xx全國新課程Ⅱ)已知函數(shù). (Ⅰ)設(shè)是的極值點(diǎn),求,并討論的單調(diào)性; 解析:(Ⅰ) 由得, ,由于,所以令, 所以在為增函數(shù),且(所以必須分類為和討論) 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),, 所以在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增. 重點(diǎn) 4 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值 [高考??冀嵌萞 角度1設(shè)函數(shù),若為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),則下列

6、圖象不可能為的圖象是( D ) A. B. C. D. 解析:設(shè),∴, 又∴為的一個(gè)極值點(diǎn),∴,即, 對(duì)于選項(xiàng)A、B,函數(shù)為 故為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),滿足條件; 對(duì)于選項(xiàng)C,對(duì)稱軸且開口向下,也滿足條件; 對(duì)于選項(xiàng)D,對(duì)稱軸且開口向上,與圖矛盾,故選D 角度2設(shè)直線與函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn),則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)的值為( D ) A.1 B. C.

7、 D. 解析:由題,,不妨令,則,令解得, 因時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),達(dá)到最小. 即.故選擇D 角度3設(shè) (1) 若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求的取值范圍; (2) 當(dāng)時(shí),在上的最小值為,求在該區(qū)間上的最大值. 解:(1)已知,, 當(dāng)時(shí),的最大值為,令 因此時(shí),函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間, (2)令 所以在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí),有,所以在區(qū)間上的最大值為 又 所以在上的最小值為 從而在區(qū)間上的最大值為 角度4設(shè),其中為正實(shí)數(shù) (Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的極值點(diǎn); (Ⅱ)若為上的單調(diào)函數(shù),求的取值范圍. 點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)的

8、運(yùn)算,極值點(diǎn)的判斷,導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)變化之間的關(guān)系,求解二次不等式,考查運(yùn)算能力,綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力. 解:對(duì)求導(dǎo)得 ① (Ⅰ)當(dāng),若則解得 、隨的變化如下圖 + 0 - 0 + ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以,是極小值點(diǎn),是極大值點(diǎn). (Ⅱ)若為R上的單調(diào)函數(shù),則在R上不變號(hào),結(jié)合①與條件, 知在R上恒成立, 因此由此并結(jié)合,知 故的取值范圍為 重點(diǎn) 5 導(dǎo)數(shù)在研究不等式中的應(yīng)用 [高考??冀嵌萞 角度1已知函數(shù). (Ⅰ)討論的單調(diào)性; (Ⅱ)設(shè),證明:當(dāng)時(shí),

9、; 解:(Ⅰ)的定義域?yàn)? (i)若則在單調(diào)遞增 (ii)若則由得 且當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 所以單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減 (Ⅱ)設(shè)函數(shù)則 當(dāng)時(shí),而 故當(dāng)時(shí), 角度2設(shè)(為常數(shù)),曲線與直線在相切. (1)求的值; (2)證明:當(dāng)時(shí), 點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的切線及恒成立問題,考查運(yùn)算求解能力,是難題. 解析:(1)由的圖象過點(diǎn),代入得 由在處的切線斜率為,得由在處的切線斜率為, 有,得 (2)(證法一)由均值不等式,當(dāng)時(shí),,故 記 則, 令,則當(dāng)時(shí), 因此在內(nèi)是減函數(shù),又由,得,所以 因此在內(nèi)

10、是減函數(shù),又由,得,于是當(dāng)時(shí), 突破3個(gè)高考難點(diǎn) 難點(diǎn)1 利用導(dǎo)數(shù)研究多元不等式問題 典例 已知函數(shù). (1)若函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù),求的取值范圍; (2)設(shè)且,求證: 解析:(1)由已知 因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以在上恒成立,即在上恒成立 當(dāng)時(shí),由得 設(shè),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)取等號(hào) (2)由于交換不影響不等式結(jié)構(gòu),故可設(shè),原不等式等價(jià)于, 即, 即 設(shè),由(1)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增,又, 成立, 即 難點(diǎn)2 利用導(dǎo)數(shù)研究數(shù)列問題 典例 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足,且其中. (1)求數(shù)列的

11、通項(xiàng)公式; (2)令記數(shù)列的前項(xiàng)積為其中,試比較與的大小,并加以證明. 解析:(1)由得 所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列 由,故數(shù)列的通項(xiàng)公式為 (2),證明如下:構(gòu)造函數(shù),則,故在上遞減 所以,故,所以 設(shè)則, 相減得 故 難點(diǎn)3 利用導(dǎo)數(shù)研究方程根的問題 典例 已知函數(shù) (Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍. 解析:(Ⅰ) 由或,由 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為 (Ⅱ) 由(Ⅰ)可知,函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減

12、 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),則有 ,故的取值范圍為 點(diǎn)評(píng):利用導(dǎo)數(shù)解決方程根的問題,會(huì)涉及到三個(gè)根、兩個(gè)根、一個(gè)根的情況,具體的等價(jià)關(guān)系需要通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行有效分析,找出合適的控制條件. 規(guī)避5個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義不明 典例 已知函數(shù)和點(diǎn),過點(diǎn)作曲線的兩條切線,切點(diǎn)分別為 (1)求證:為關(guān)于的方程的兩根 (2)設(shè)求的表達(dá)式. 解析:(1)由已知,, 切線方程為,又切線過點(diǎn), ① 同理,切線也過點(diǎn),可得 ② 由①②可得為關(guān)于的方程 (*) 的兩根 (2)由(*)式知 易失

13、分點(diǎn)2 導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系理解不透徹 典例 已知函數(shù) (1)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍; (2)若是的極值點(diǎn),求在的最小值和最大值. 解析:(1)由已知, 令 記,當(dāng)時(shí),是增函數(shù), 故實(shí)數(shù)的取值范圍是 (2)由題意,, 由或;由 又,故在上遞增,在上遞減, 時(shí),有極小值 于是 時(shí),,而 易失分點(diǎn)3 導(dǎo)數(shù)符號(hào)與極值關(guān)系理解不透徹 典例 已知函數(shù)在處有極值,求的值. 解析:由已知,,由題意得且, 即且,解之得或 (點(diǎn)評(píng):有些人以為到此就已經(jīng)解決問題了,其實(shí)不然,還需要作出判斷予以確認(rèn).) 當(dāng)時(shí),在附近兩側(cè)的符號(hào)相反

14、 所以滿足題意 當(dāng)時(shí),在附近兩側(cè)的符號(hào)相同 所以不滿足題意,舍去. 綜上, 易失分點(diǎn)4 導(dǎo)數(shù)符號(hào)與極值關(guān)系理解不透徹 典例 已知函數(shù) 在上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍 解析:由已知, 若在上單調(diào)遞增,則在上恒成立,即恒成立 令,,可得,故 若在上單調(diào)遞減,則在上恒成立,即恒成立 令,,可得,故 綜上可知,的取值范圍是 易失分點(diǎn)5 定積分與平面圖形面積關(guān)系理解不透徹(理) 典例 如圖,直線分拋物線與軸所圍圖形為面積相等的兩部分,則________ 解析:由已知,拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為, 所以拋物線與軸圍成的面積為 設(shè)拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為,則, 所以 , 又,

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