2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題九 不等式(含解析)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題九 不等式(含解析) 抓住4個(gè)高考重點(diǎn) 重點(diǎn)1 不等式性質(zhì)的應(yīng)用 1.不等式性質(zhì)的應(yīng)用策略 (1)應(yīng)用不等式性質(zhì)時(shí)必須弄清楚前提條件; (2)“不等式取倒數(shù)”的性質(zhì): 2.利用性質(zhì)求數(shù)(式)的取值范圍的方法 應(yīng)用不等式的性質(zhì)求多個(gè)變量線性組合的范圍問題時(shí),由于變量間相互制約,在“取等號”的條件上會有所不同,故解此類問題要特別小心.一般來說,可采用整體換元或待定系數(shù)法解決. 3.比較實(shí)數(shù)大小的方法 (1)作差比較法 (2)作商比較法 [高考常考角度] 角度1 下面四個(gè)條件中,使成立的充分而不必要條件是( A ) A.

2、 B. C. D. 解析:選擇項(xiàng)為條件,即尋找命題使且推不出,逐項(xiàng)驗(yàn)證可選A 角度2設(shè)實(shí)數(shù)滿足則的最大值是 解析:考查不等式的基本性質(zhì),等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。 由已知得,,,的最大值是. 重點(diǎn)2 一元二次不等式及其解法 1.一元二次不等式或的解法 2.分式不等式的解法 3.高次不等式的解法 4.含參數(shù)不等式的解法 [高考??冀嵌萞 角度1不等式的解集是( D ) A. B. C. D. 解析:或,則不等式的解集為,故選D 角度2已

3、知函數(shù),則滿足不等式的的范圍是_____________. 解析:本題以分段函數(shù)為載體,考查分段函數(shù)的單調(diào)性,以及一元二次不等式的解法由題意有 或解得或,綜合得 角度3已知函數(shù)若有則的取值范圍為( B ) A. B. C. D. 解析:由題可知,, 若有則,即,解得。 角度4 若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有個(gè),則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________ 解析:原不等式可化為 ① 原不等式解集中的整數(shù)恰有個(gè),須有,又由①得 又,所以解集中的3個(gè)整數(shù)必為,所以,解得 角度5已知函數(shù),. (Ⅰ)討論函數(shù)的單

4、調(diào)區(qū)間; (Ⅱ)設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),求的取值范圍. 解:(Ⅰ)由 得 當(dāng)時(shí),,有, 在上遞增 當(dāng)或時(shí),由得 由或 由 在和遞增,在遞減, (Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),則有在區(qū)間恒成立 只需 的取值范圍是 重點(diǎn)3 簡單的線性規(guī)劃問題 1.正確作出二元一次不等式(組)表示的區(qū)域 2.簡單的線性規(guī)劃問題的求解策略 [高考??冀嵌萞 角度1 已知滿足,則符合條件的整點(diǎn)可行解有___4___個(gè). 解:畫出可行域,滿足條件的可行域中的整數(shù)點(diǎn)為 角度2已知是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn),若點(diǎn)為平面區(qū)域,上的一個(gè)動點(diǎn),則的取值范圍是 A.

5、 B. C. D. 解析:畫出可行域,,可知在點(diǎn)、取分別取到最小值、最大值。故選擇C。 角度3已知,滿足約束條件, 若的最小值為1,則( ) A. B. C. D. 解析:作出可行域,目標(biāo)函數(shù)在處取得最小值, 于是,解得。故選B 角度4 . 已知變量滿足約束條件,則的取值范圍是( A ) A. B. C. D. 解:畫出可行域,可視為原點(diǎn)與區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)連線的斜率, 得 角度5. 已知實(shí)數(shù)滿足線性約束條件則的取值范圍

6、是 解:畫出可行域,其中, 可以視為可行域中的動點(diǎn)到坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離的平方, 則 重點(diǎn)4 基本不等式 1.基本不等式,均值不等式 2.利用不等式求最值 [高考??冀嵌萞 角度1已知,則的最小值是( ) A. B. C. D. 解析:,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí), 等號成立,故選擇C。 角度2若對任意,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 解析:因?yàn)?,所以(?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立), 則,即的最大值為,故. 突破3個(gè)高考難點(diǎn) 難點(diǎn)1 不等式恒成立問題的求

7、解 1.恒成立問題 若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上。 若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上。 典例1 當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則的取值范圍是_________ 解析:設(shè),則2,設(shè),則原不等式恒成立,即函數(shù)在上恒成立 典例2 若不等式對滿足的所有都成立,則的取值范圍是 ___ 解析:將原不等式化為,令, 則時(shí),恒成立,只須解得 典例3 若不等式對任意的、恒成立,則正實(shí)數(shù)的最小值為( ) A. B. C. D. 解析:∴,故選擇C 難點(diǎn)2

8、 線性規(guī)劃中參變量問題的求解 典例 設(shè),在約束條件下,目標(biāo)函數(shù)的最大值小于,則的取值范圍為( A ) A. B. C. D. 解析:畫出可行域,可知在點(diǎn)取最大值, 由 解得。故選擇A 難點(diǎn)3 不等式的綜合運(yùn)用 典例1 已知正數(shù)滿足,則的最小值為__________ 解析: 令,由,當(dāng)且僅當(dāng)取等號, 設(shè),則,由,而 所以函數(shù)在上遞減,故 點(diǎn)評:的單調(diào)性也可以由“對鉤函數(shù)”圖象獲得 規(guī)避3個(gè)易失分點(diǎn) 易失分點(diǎn)1 忽視基本不等式應(yīng)用條件 典例 函數(shù)的值域是____________

9、 解析:誤解:,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號,故值域?yàn)? 原因:,應(yīng)當(dāng)有和兩種情況. 正解:當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號 當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號 綜上,原函數(shù)的值域?yàn)? 方法二:令或,而 故 或,原函數(shù)的值域?yàn)? 易失分點(diǎn)2 線性規(guī)劃問題尋找最優(yōu)整點(diǎn)解方法不當(dāng) 典例 已知,且滿足約束條件則的最小值 是( C ) A. B. C. D. 解析:畫出可行域,如圖所示,易得,且當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)取最大值,此時(shí),點(diǎn),過點(diǎn)時(shí)取得最小值,為最小值 但都是整數(shù),最接近的整數(shù)解為,故所求的最小值為14,故選B 點(diǎn)評:整數(shù)解是否為,代入約束條件驗(yàn)證可知. 易失分點(diǎn)3 平面區(qū)域不明 典例 在直角坐標(biāo)系中,若不等式組表示一個(gè)三角形區(qū)域,則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________ 解析:過定點(diǎn),如圖(1)所示,當(dāng)這條直線的斜率為負(fù)值時(shí),該直線與軸的交點(diǎn)必須在原點(diǎn)上方,時(shí),可構(gòu)成三角形區(qū)域;如圖(2)所示,當(dāng)這條直線的斜率為正值時(shí),所表示的是直線及其下方的半平面,此時(shí)不能構(gòu)成三角形區(qū)域;當(dāng)這條直線斜率為0時(shí),構(gòu)不成平面區(qū)域。因此的取值范圍是 點(diǎn)評:如果不加分析,會誤認(rèn)為直線的斜率為正值時(shí), 三條直線仍能夠構(gòu)成三角形區(qū)域.這樣的結(jié)果是

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